Помощь: Логические основы

Подставим в уравнение $x'=x_0'+u'\,t'$ преобразования ($\ref{lorenz_line0}$): $$\frac{D\,x+E\,t}{1+a\,t+b\,x} = x_0'+u'\,\frac{A\,t+B\,x}{1+a\,t+b\,x}.$$ Умножая правую и левую части на знаменатель, получаем: $$x = x_0+ u\cdot t,$$ где $x_0=x_0'/(D-x'_0\,b-u'\,B)$, $u=(x'_0\,a+u'\,A-E)/(D-x'_0\,b-u'\,B)$. Таким образом, снова получается линейная зависимость координаты от времени с новыми константами $x_0$ и $u$.

Из предыдущей задачи $u=(x'_0\,a+u'\,A-E)/(D-x'_0\,b-u'\,B)$. Скорость не будет зависеть от начальных условий $x'_0$, если $a=b=0$ (иначе две частицы с одинаковыми скоростями в $S'$, но различными начальными положениями $x'_0$ будут иметь в $S$ различные скорости).

Пусть преобразования координаты и времени: $t'=f(t,x)$, $x'=g(t,x)$ удовлетворяют определению инерциальных систем: $$\frac{du}{dt}=0 \quad\quad => \quad\quad \frac{du'}{dt'}=0.$$ Скорости в системах равны $u=dx/dt$ и $u'=dx'/dt'$, поэтому ($\lessdot$\,H$_{\ref{h_lorenz_project_dx}}$):\label{h_bk_lorenz_project_dx} $$u'=\frac{g_x \,u + g_t}{f_x \,u + f_t},$$ где $f_x=\partial f(x,t)/\partial x$, и т.д. Дифференцируя $u'$ по $dt'=(f_x u + f_t)\,dt$ и приравнивая нулю коэффициенты при степенях скорости $u$ (в силу ее произвольности), получаем ($\lessdot$\,H$_{\ref{h_lorenz_project_dx2}}$)\label{h_bk_lorenz_project_dx2} систему уравнений: $$\begin{eqnarray} f_{xx}\, g_x &=& g_{xx}\, f_x, \label{PrimSys1}\\ f_{tt}\,\,\, g_t &=& g_{tt}\,\,\, f_t, \label{PrimSys2}\\ f_{xx}\, g_t + 2\, f_{xt}\, g_x &=& g_{xx}\, f_t + 2\, g_{xt}\, f_x, \label{PrimSys3} \\ f_{tt}\,\, g_x + 2\, f_{xt}\, g_t &=& g_{tt}\,\, f_x + 2\, g_{xt}\, f_t. \label{PrimSys4} \end{eqnarray}$$ Умножим ($\ref{PrimSys3}$) на $f_t$, а ($\ref{PrimSys4}$) на $f_x$ и вычтем. Тогда при помощи ($\ref{PrimSys1}$), ($\ref{PrimSys2}$) получаем дифференциальное уравнение только для $f$: $$\begin{equation} \label{PrimDifF} 2\, f_{xt} = f_{xx}\,\frac{f_t}{f_x} + f_{tt}\,\frac{f_x}{f_t} \end{equation}$$ (для $g$ аналогично, в силу симметрии $f\mapsto g$ и $g\mapsto f$).

Возьмём производные якобиана преобразований $D=f_xg_t-f_tg_x\neq 0$ по $x,t$, исключив смешанные производные при помощи ($\ref{PrimSys1}$)-($\ref{PrimSys4}$): $$2\, \frac{D_x}{D} = 3\, \frac{f_{xx}}{f_x}, \qquad\qquad 2\, \frac{D_t}{D} = 3\, \frac{f_{tt}}{f_t}.$$ Эти уравнения легко интегрируются: $$\begin{equation}\label{PrimDifF_AB_AB} \frac{f_x}{A(t)}= \frac{f_t}{ B(x)} = \frac{g_x}{\bar{A}(t)}=\frac{ g_t}{\bar{B}(x)} = D^{2/3}, \end{equation}$$ где $A(t),B(x),\bar{A}(t),\bar{B}(x)$ -- некоторые функции (константы'' интегрирования) и равенства для $g_x$, $g_t$ записаны в силу упомятуй выше симметрии. Найдём $f_{xx}$ и $f_{tt}$ из $f_x=f_t \,A(t)/B(x)$ и подставим в ($\ref{PrimDifF}$): $$\dot{A}(t) = - B'(x) = \alpha.$$ Так как $t$ и $x$ независимые переменные, то $\alpha$ -- произвольная константа. В силу симметрии, аналогичные уравнения справедливы и для $\bar{A}(t)$, $\bar{B}(x)$: $$A(t) = \alpha\, t + \beta, \quad B(x) =-\alpha\, x + \gamma, \quad \bar{A}(t) = \bar{\alpha}\, t + \bar{\beta},\quad \bar{B}(x) = -\bar{\alpha}\, x + \bar{\gamma},$$ где $\alpha,\beta,\gamma,\bar{\alpha},\bar{\beta},\bar{\gamma}$ -- константы. Интегрируя $f_x\,\bar{A}(t)=g_x\,A(t)$ по $x$ и аналогично $f_t\,\bar{B}(x)=g_t\,B(x)$ по $t$, имеем: $$f(x,t)\, \bar{A}(t) = g(x,t)\, A(t) + M(t),~~~~~~f(x,t)\, \bar{B}(x) = g(x,t)\,B(x)+N(x).$$ Возьмём производную по $t$ первого соотношения и по $x$ второго. Исключая первые производные при помощи ($\ref{PrimDifF_AB_AB}$), получаем: $$\dot{M}(t)=-N'(x) = \sigma,$$ где $\sigma$ -- снова константа в силу независимости $t,x$. Следовательно: $$M(t) = \sigma\, t + \lambda, \qquad\qquad N(x) = -\sigma\, x + \mu,$$ что приводит к дробно-линейным пребразованиям. Этот результат справедлив и для произвольного числа измерений. Действительно, считая, что движение было только вдоль оси $x$ мы приходим к выводу, что коэффициенты дробно-линейного преобразования являются также функциями от $y$. Однако, при движении вдоль $y$ весь вывод в точности повторится и мы снова прийдем к дробно-линейным преобразованиям относительно $t,y$ с коэффициентами зависящими от $x$. Так как $x$ и $y$ равноправны, дробно-линейное преобразование должно выполняться и относительно $t,x,y$. При этом и в числителе и в знаменателе, могут быть члены вида $x y$ которые линейны и по $x$ и по $y$. Подстановка траектории $x_i = u_i t + x_{0i}$ в преобразования даёт, что для сохранения линейности, коэффициенты при членах $x y$ должны равняться нулю.

По определению дифференциалов: $$dt' = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial t}\,dt= f_x\, dx + f_t\, dt,~~~~~~~ dx' = \frac{\partial g}{\partial x}\,dx+\frac{\partial g}{\partial t}\,dt= g_x\, dx + g_t\, dt.$$ Их отношение даёт преобразование скорости: $$\frac{dx'}{dt'}=\frac{g_x\, dx + g_t\, dt}{f_x\, dx + f_t\, dt}=\frac{g_x \,u + g_t}{f_x \,u + f_t},$$ где в последнем равенстве числитель и знаменатель разделены на $dt$.

$$du'=d\Bigr(\frac{g_x \,u + g_t}{f_x \,u + f_t}\Bigr) = \frac{(g_{xx}\,dx + g_{xt}\, dt )\,u + g_{tx}\,dx+g_{tt}\,dt}{f_x \,u + f_t}$$ $$~~~-~\frac{g_x \,u + g_t}{(f_x \,u + f_t)^2}\,((f_{xx}\, dx +f_{xt}\, dt )\,u + f_{tx}\,dx+f_{tt}\,dt).$$ Далее делим на $dt$, умножаем на $(f_x \,u + f_t)^2$ и приравниваем нулю: $$(f_x \,u + f_t)\,(g_{xx}\,u^2 + 2g_{xt}\,u +g_{tt})- (g_x \,u + g_t)\,(f_{xx}\, u^2 +2f_{xt}\,u +f_{tt})=0.$$

Запишем преобразования для компонент скорости ($\ref{speed_add0}$): $$\mathbf{u}'^2 = u'^2_x+u'^2_y =\frac{(u_x-v)^2+(1-v^2)\,u^2_y}{(1-u_xv)^2},$$ откуда: $$1-\mathbf{u}'^2=\bigr(1+\mathbf{u}^2\, v^2-\mathbf{u}^2-v^2\bigr)\,(1-u_xv)^{-2} =\frac{(1-\mathbf{u^2})(1-v^2)}{(1-u_xv)^2}.$$

$$u_x=\frac{u'_x+v}{1+u'_x v} ~~~~~~=>~~~~~~~1\pm u_x = \frac{1+u'_x v \pm (u'_x+v)} {1+u'_x v}=\frac{(1\pm u'_x)(1\pm v)}{1+u'_x v}.$$

Используя преобразования для приращений, имеем: $$(\Delta s)^2 = (\Delta t')^2-(\Delta x')^2-(\Delta y')^2 = \frac{(\Delta t- v\Delta x)^2-(\Delta x - v\Delta t)^2}{1-v^2}-(\Delta y)^2.$$ Возводя в квадрат приходим к инвариантности интервала: $$(\Delta s)^2 = (\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2.$$