Эффект Доплера и "парадокс" близнецов

Эффект Доплера имеет самые различные проявления. Кроме изменения спектра излучения движущегося объекта, он приводит к деформации восприятия длительности любых удаленных процессов. Например, первое в истории измерение скорости света при наблюдении Рёмером (1676 г.) за периодом обращения спутников Юпитера было проявлением эффекта Доплера. Когда Земля приближалась к Юпитеру, период уменьшался, а когда удалялась — увеличивался. При таких скоростях релятивистскую составляющую измерить проблематично. Классическая же составляющая является эффектом первого порядка.

Проанализируем при помощи эффекта Доплера ещё раз "парадокс" близнецов. Пусть братья с момента расставания начинают транслировать друг другу свои изображения. Путешественник видит брата, сидящего в кресле у камина, над которым висят часы. Тот, в свою очередь, на мониторе видит кабину космолёта с электронными часами над штурвалом, за которым стоит его мужественный брат-путешественник. Космический корабль должен достичь ближайшей звезды и вернуться обратно. Приведём выписки из бортового журнала корабля.

Дневник путешествия. Совершив быстрый разгон, выхожу на около световую скорость. Перегрузки колоссальные, но благодаря последним достижениям биокибернетики переношу их сравнительно легко. Время начала путешествия по моим часам совпадает со временем брата-домоседа, однако частота принимаемого сигнала со стремительно "улетающей" Земли заметно уменьшилась. По мере удаления от Земли ситуация не меняется. Секундная стрелка на каминных часах брата еле ползёт и время, которое они показывают, существенно отстаёт от моего. Это результат суммирования эффекта Доплера и задержки видеотрансляции из-за конечности скорости света. Очень яркие звёзды по курсу сбились в кучу, тогда как сзади их заметно поубавилось, и они покраснели. Расстояния между автоматическими маяками, расставленными вдоль моей трассы уменьшились $\left<...\right>$. , и, следовательно, время полёта к звезде по моим часам составит $t'_1=(L\sqrt{1-v^2})/v$, а не $t_1=L/v$, как виделось нам с братом с Земли. Поэтому время путешествия должно получиться короче $t'_1=t_1\sqrt{1-v^2}$, чем по часам моего брата. Посмотрим, посмотрим. Кстати, о брате — секундная стрелка на его каминных часах еле ползёт, и время, которое они показывают, существенно отстаёт от моего.

Достигнув цели путешествия, резко торможу и делаю памятные фотографии на фоне звезды. После торможения стрелка на каминных часах брата сразу начала свой естественный бег, хотя общее время, прошедшее с начала полёта, не изменилось и сильно отстаёт от моего. Больше делать у одинокой звезды нечего, поэтому резко ускоряюсь в обратном направлении. Придя в себя после разгона, вижу, что часы брата заметно ускорились и их секундная стрелка крутится, как угорелая. $\left<...\right>$

До Земли осталось совсем немного. За время обратного путешествия часы брата успели наверстать отставание и, более того, обогнали мой хронометр. Завтра торможение и наша долгожданная встреча. Однако уже нет никаких сомнений в том, что теперь в семье младший брат — я.

✦ Объясним эффекты наблюдаемые путешественником и домоседом. Пусть братья передают друг другу каждую секунду $\nu_0=1$ (по своим часам) сигналы точного времени. Будем считать, что ускоренные движения космолёта очень короткие (с точки зрения обоих братьев) по сравнению со временем всего путешествия. Пока космолёт удаляется от Земли, каждый брат (в силу эффекта Доплера) видит уменьшение частоты (увеличение периода) принимаемых сигналов. После торможения у звезды путешественник перестаёт "убегать" от земных сигналов, и их период сразу становится равным его секунде. Однако, в силу задержки сигнала, он видит брата "в прошлом". Развернувшись и разогнавшись, путешественник начинает "наскакивать" на идущие ему навстречу сигналы, и их частота увеличивается (период уменьшается). Время путешествия по его часам в одну сторону равно $t'_1$, и такое же в обратную. Количество принятых "земных секунд" за время путешествия $t'=2t'_1$ равно их частоте $\nu$, умноженной на время: $$t = t'_1\, \sqrt{\frac{1-v}{1+v}} + t'_1\, \sqrt{\frac{1+v}{1-v}} = \frac{2t'_1}{\sqrt{1-v^2}}.$$ При удалении от Земли космонавт получил меньше секунд (первое слагаемое), а при приближении, соответственно, больше (второе слагаемое). Суммарное количество секунд, полученных с Земли, больше, чем переданных на неё, в соответствии с формулой замедления времени.

Несколько иная арифметика у землянина. Пока его брат удаляется, он также регистрирует увеличение периодов точного времени, передаваемых с космолёта. Однако, в отличие от брата, землянин наблюдает такое замедление дольше. Время полёта к звезде составляет по земным часам $t_1$. Торможение путешественника у звезды землянин увидит спустя дополнительное время $t_2=L/c=L$ (так как $c=1$), требуемое свету для прохождения расстояния от звезды. Поэтому только через $t_1+t_2$ от начала путешествия на мониторе он увидит ускоренную работу часов приближающегося брата:

Учитывая, что времена равны $t_2=L=vt_1$ и $t_3=t_1-t_2$, имеем: $$t'=(t_1+t_2)\,\sqrt{\frac{1-v}{1+v}} + t_3 \,\sqrt{\frac{1+v}{1-v}} =2 t_1\,\sqrt{1-v^2}.$$ Таким образом, эффект замедления времени брата, менявшего свою систему отсчета, абсолютен (одинаков для обоих братьев).