Ускоренное движение

В релятивистской теории равноускоренное движение, аналогичное классической механике, невозможно. Если скорость тела всё время увеличивается $u(t)=a\,t$, то она рано или поздно превысит фундаментальную скорость $c$. Это невозможно в силу энергетических ограничений, которые обсуждаются в главе 4. Рассмотрим один из вариантов ускоренного движения, при котором скорость постоянно увеличивается, оставаясь, тем не менее, все время меньше единицы ($c=1$).

Пусть для наглядности мимо неподвижного наблюдателя летит космический корабль со скоростью $u=u(t)$, которая постепенно увеличивается. Перейдём в систему отсчёта, связанную с кораблём (правый рисунок):

Так как за малое время $dt'$ скорость корабля изменится незначительно, можно считать, что относительно своего предыдущего состояния она увеличилась на $a\,dt'$, где $a$ — некоторая константа. По закону сложения скоростей новая скорость, с точки зрения неподвижного наблюдателя, равна ($v=u(t)$, $u'_x=a\,dt'$): $$u(t+dt) = \frac{a\, dt'+u(t)}{1+u(t)\, a\,dt' }.$$ Так как $dt'$ мал, разложим знаменатель в ряд [$1/(1+x)\approx 1-x$] и, сохраняя порядок малости по $a\,dt'$, перемножим его с числителем: $$u(t+dt) \approx (u+a\, dt')(1-u\, a\,dt') \approx u + (1-u^2) \, a\,dt',$$ где $u=u(t)$. Учитывая, что время по часам корабля $dt'=dt\sqrt{1-u^2}$ идёт медленнее, и вводя производную скорости $du/dt=[u(t+dt)-u(t)]/dt$, получим: $$\begin{equation}\label{df_eq_for_u_with_a} \frac{du}{dt} = a\, (1-u^2)^{3/2},~~~~~~~~или~~~~~~~~\frac{d}{dt} \left(\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\right) = a. \end{equation}$$ Это дифференциальное уравнение описывает, как изменяется скорость объекта для неподвижного наблюдателя, если с "точки зрения" самого объекта он "пытается" двигаться равноускоренно.

Выбрав начальное условие в виде $u_0=u(0)$ и проинтегрировав уравнение ($\ref{df_eq_for_u_with_a}$), получим: $$\begin{equation}\label{uskor_mov_u} \frac{u(t)}{\sqrt{1-u^2(t)}}= \pi(t)=\pi_0+a\,t,~~~~~~~где~~~\pi_0=\frac{u_0}{\sqrt{1-u_0^2}}. \end{equation}$$ Динамика величины $\pi(t)=\pi_0+at$ совпадает с классической зависимостью скорости от времени, и $\pi(t)$ может быть сколь угодно большой. Однако релятивистская скорость $u(t)$ всегда остаётся меньше единицы: $$\begin{equation}\label{acsel_u} u(t) = \frac{\pi_0+at}{\sqrt{1+(\pi_0+at)^2}}. \end{equation}$$

Учитывая, что $u(t)=dx/dt$, после ещё одного интегрирования ($\lessdot$\,H$_{\ref{h_acsel_x}}$) с начальным условием $x(0)=x_0$, получаем закон движения: $$\begin{equation}\label{accel_length} x(t) = x_0+\frac{1}{a} \left( \sqrt{1+(\pi_0+a\,t)^2} - \sqrt{1+\pi_0^2}\right). \end{equation}$$ Его можно выразить через скорость: $$x(t) = x_0+\frac{1}{a} \left( \frac{1}{\sqrt{1-u^2(t)} } - \frac{1}{\sqrt{1-u^2_0} }\right)\approx x_0 +\frac{u^2(t)-u^2_0}{2a},$$ где приближенное равенство записано для малых скоростей. Чтобы восстановить в формулах фундаментальную скорость $c$, необходимо сделать замены $t\mapsto ct$, $u\mapsto u/c$ и $a\mapsto a/c^2$ ($\lessdot$\,H$_{\ref{h_acsel_c}}$). В этом случае и $a\,t$, и $\pi_0$ будут делиться на $c$. В пределе $c\to \infty$, раскладывая ($\ref{accel_length}$) в ряд по малым $\pi_0$ и $a\,t$, получаются классические выражения для движения равноускоренного объекта: $$u(t)\approx u_0+at+...,~~~~~~~~~x(t)\approx x_0+u_0 t+ \frac{at^2}{2}+....$$ Ниже приведены графики изменения скорости и координаты объекта, который ускоряется в течение единичного времени с единичным ускорением, после чего начинает тормозить:

Верхние тонкие линии на каждом графике соответствуют классической равноускоренной динамике.

---

Как в равномерно движущемся, так и в ускоряющемся корабле время замедляется. Рассмотрим этот эффект с позиции земного наблюдателя. Пусть корабль разгоняется в течение времени $\tau_1$, затем равномерно летит время $\tau_2$, после чего начинает тормозить в течение времени $\tau_1$:

Вычислим собственное время путешествия, прошедшее на корабле. За малый интервал времени $dt$ скорость корабля изменяется незначительно, и её можно рассматривать, как локально инерциальную систему отсчета. Поэтому время, прошедшее на движущихся часах, связано со временем неподвижного наблюдателя следующим образом: $$dt'=\sqrt{1-u^2(t)}\,dt~~~~~~~~=>~~~~~~~~~~~t'_2-t'_1 = \int\limits^{t_2}_{t_1} \sqrt{1-u^2(t)}\, dt.$$ В результате интегрирования суммируются малые интервалы времени на Земле и на корабле. При этом предполагается, что ускорение не влияет на ход времени. В 6-й главе мы подробнее проанализируем это допущение.

Будем, как и раньше, помечать интервал времени у космонавта нулевым индексом. На первом этапе разгона корабля имеем: $$\begin{equation}\label{time_del_acsel} \tau_{01}=\int\limits^{\tau_1}_0 \sqrt{1-u^2(t)} \, dt = \int\limits^{\tau_1}_0 \frac{dt}{\sqrt{1+(at)^2}} = \frac{1}{a}\,\ash(a\,\tau_1), \end{equation}$$ где $\ash(x)$ — гиперболический арксинус, являющийся обратным к гиперболическому синусу: $$\sh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2},~~~~~~~~~~\ash(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})\approx x-\frac{x^3}{6}+....$$ За время разгона $\tau_1$ корабль достигает скорости ($\ref{acsel_u}$): $$u=\frac{a\tau_1}{\sqrt{1+(a\tau_1)^2}},$$ и дальше движется равномерно. Поэтому на втором этапе: $$\tau_{02} = \tau_2\sqrt{1-u^2} = \frac{\tau_2}{\sqrt{1+(a\tau_1)^2}},$$ и время замедляется наиболее сильно, так как скорость максимальна.

Финальный интервал времени при торможении равен $$\tau_{03}= \int\limits^{2\tau_1+\tau_2}_{\tau_1+\tau_2} \sqrt{1-u^2(t)} \, dt = \int\limits^{2\tau_1+\tau_2}_{\tau_1+\tau_2} \frac{dt}{\sqrt{1+(\pi_0+at)^2}} = \frac{1}{a}\,\ash(a\,\tau_1).$$ Впрочем, из соображений симметрии можно сразу взять результат разгона корабля ($\ref{time_del_acsel}$). Складывая интервалы времени каждого этапа, окончательно получаем: $$\tau_0 = \frac{2}{a}\,\ash(a \tau_1) + \frac{\tau_2}{\sqrt{1+(a\tau_1)^2}}.$$ Первое слагаемое меньше чем $\tau_1$, а второе меньше, чем $\tau_2$. Их можно ($\lessdot$\,H$_{\ref{h_acsel_ser_time_travel}}$) разложить в ряд Тейлора: $$\tau_0 \approx 2\tau_1+ \tau_2 - \left(\frac{\tau_1}{3}+\frac{\tau_2}{2}\right)\,(a\tau_1)^2.$$ Время, прошедшее в неподвижной системе отсчета, равно $2\tau_1+\tau_2$. Время путешествия по часам корабля $\tau_0$ меньше. На ускоренных этапах оно замедлялось медленнее, чем на этапе равномерного движения.

Сделаем оценки времени полёта к звёздной системе Альфа-Центавра, удалённой от Земли на расстояние 4.3 световых лет. Световой год — это расстояние, которое свет проходит в течение года: $$1~св.год = (299792458\,м/c)\cdot(365.25\cdot 24\cdot 3600~с) \approx 0.9461\cdot 10^{16}~м = 0.307~пк.$$ Измеряя расстояние в световых годах, а время — в обычных годах, мы по-прежнему работаем в системе $c=1$. В этой системе единичное ускорение $1~св.год/год^2= 9.5~м/c^2$ близко к ускорению свободного падения на поверхности Земли. Пусть из соображений комфорта (искусственная гравитация) космический корабль движется с ускорением $a=1$ половину пути, а затем сразу начинает тормозить ($\tau_2=0$). С точки зрения Земли [см.($\ref{accel_length}$)] половина пути к звезде $x=4.3/2$ св. лет занимает время: $$x = \frac{1}{a}\left[\sqrt{1+(a\tau_1)^2}-1\right]~~~~~~=>~~~~~~\tau_1=\frac{1}{a}\sqrt{\left(1+ax\right)^2-1} \approx 3~года.$$ Соответственно, общее время полёта туда и обратно составит 12 лет. Собственное же время космонавта в момент возвращения будет равно $4\ash(a\tau_1)/a=7.3$ года, т.е. на 40\ меньше. За 64 года собственного времени космонавт может "слетать" (вернувшись) к галактике Андромеды, удалённой на 2.5 млн. св. лет. На Земле пройдёт около 5 млн. лет. К сожалению, всё не так просто, и технологическая реалистичность подобных перелётов будет проанализирована в следующей главе.

Звёздное небо

Динамика