Параллакс $^*$

Представим эффект аберрации в векторном виде. Для этого запишем связь скоростей некоторого объекта, измеренных наблюдателями в системах $S$ и $S'$: $$\mathbf{u}' = \frac{\mathbf{u}-\gamma\mathbf{v} + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf u})} {\gamma(1-\mathbf{u}\mathbf{v})},~~~~~~\Gamma = \frac{\gamma^2}{\gamma+1}=\frac{\gamma-1}{v^2}.$$ Обозначим единичными векторами $\mathbf{n}$ и $\mathbf{n}'$ направления на источник света с точки зрения каждого наблюдателя. Соответственно, световой сигнал распространяется к наблюдателям, т.е. против этих векторов: $\mathbf{u}=-\mathbf{n}$ и $\mathbf{u}'=-\mathbf{n}'$, поэтому: $$\begin{equation}\label{aber_vec} \mathbf{n}' = \frac{\mathbf{n}+\gamma\mathbf{v} + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf n})} {\gamma(1+\mathbf{v}\mathbf{n})}. \end{equation}$$ Для угла $\theta$ между направлением на объект и вектором скорости имеем $\mathbf{n}\mathbf{v}=v\cos\theta$, и аналогично для штрихованных величин. Умножая левую и правую часть ($\ref{aber_vec}$) на $\mathbf{v}$, несложно получить соотношение для косинусов ($\ref{aberation2}$). Соотношение для синусов даёт векторное произведение $\mathbf{n}'\times\mathbf{v}$, модуль которого равен $v\sin\theta'$.

При малых скоростях в формуле для аберрации ($\ref{aber_vec}$) можно отбросить слагаемое ${\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf n})$ (порядок $v^2$, так как $\Gamma\approx 1/2$, $\gamma\approx 1$. Раскладывая в ряд знаменатель ($1/(1+x)\approx 1-x$), в линейном по $v$ приближении получаем: $$\begin{equation}\label{aber_vec_approx} \mathbf{n}' \approx\frac{\mathbf{n}+\mathbf{v}}{1+\mathbf{v}\mathbf{n}}\approx \mathbf{n}+\mathbf{v} - \mathbf{n}\,(\mathbf{n}\mathbf{v}) = \mathbf{n} - \mathbf{n}\times[\mathbf{n}\times\mathbf{v}], \end{equation}$$ где в последнем равенстве использована формула двойного векторного произведения (стр.\,\pageref{abc_bac_cab}). В качестве упражнения имеет смысл проверить, что эта приближенная формула с точностью до первого порядка по $v$ приводит к единичной длине штрихованного вектора $\mathbf{n}'^2\approx 1$.

Вычислив векторное произведение межу направлениями: $$\begin{equation} \mathbf{n}'\times\mathbf{n}=[\mathbf{v}\times\mathbf{n}] \,\frac{1 + ({\mathbf v}{\mathbf n})\, \Gamma/\gamma}{1+\mathbf{v}\mathbf{n}}, \end{equation}$$ можно найти синус угла между ними, равный (для единичных векторов) модулю $|\mathbf{n}'\times\mathbf{n}|$. Если скорость мала, то мал и угол аберрации: $$\alpha \approx |\mathbf{v}\times \mathbf{n}| = v\sin\theta.$$ Аберрация отсутствует, когда источник находится на прямой движения системы отсчёта, и максимальна, если $\mathbf{n}$ и $\mathbf{v}$ перпендикулярны. В этом случае угол $\alpha=v$ и направлен от вертикали по направлению движения.

---

Земля на самом деле движется не по прямой, а вращается вокруг Солнца по эллипсу. Эксцентриситет (сплюснутость) её орбиты не велик (минимальное и максимальное расстояния от Солнца отличаются друг от друга всего на 3%), поэтому для упрощения вычислений будем считать орбиту Земли круговой с радиусом $$R=149 597 870 700~м\approx 1.496\cdot 10^8~км = 1~a.e.$$ Это расстояние называется одной астрономической единицей (а.е.).

Пока забудем об аберрации. Даже в её отсутствие из-за обращения Земли вокруг Солнца близкие к нам звёзды испытывают видимое перемещение на небесной сфере, т.н. годовой параллакс. Когда звезда находится "над Солнцем", с точки зрения наблюдателя на Земле она описывает окружность:

Эта окружность видна на фоне "неподвижных" звёзд, которые удалены от Солнца существенно дальше, чем звезда, для которой измеряется параллакс. Фактически все звёзды описывают на небесной сфере окружности (если находятся над Солнцем) или эллипсы в общем случае. Эти эллипсы тем меньше, чем дальше звезда находится от Солнца. Размеры эллипсов позволяют из геометрических соображений найти расстояния к ближайшим звёздам.

Парсек — это расстояние, с которого средний радиус орбиты Земли виден под углом в одну секунду. На рисунке пропорции сильно искажены и на самом деле $r_0\gg R$, и, следовательно, $R/r_0=\tg\theta\approx \theta$. Одна угловая секунда составляет 1/3600 часть градуса, поэтому: $$1~пк = \frac{1\,а.е.}{1"}=\frac{1\,а.е.}{2\pi/(360\cdot 3600)} = 206\,265~а.е.=3.0857\cdot 10^{13}\,км.$$ Слово "парсек" происходит от объединения слов "параллакс" и "секунда". Расстояние в один парсек свет преодолевает в течение 3.26 года. Для сравнения 1 а.е. соответствует 500 световым секундам (8 мин. 20 сек.). Расстояние до ближайшей звёздной системы Альфа-Центавра составляет 1.3 пк. Измерение параллаксов при помощи орбитальных телескопов позволяет охватить расстояния до 500 пк. Это наиболее прямой способ измерения расстояния до относительно близких к нам звёзд. К сожалению, несмотря на то, что 500 пк — это огромное расстояние, сфера радиусом 500 пк содержит в себе лишь небольшую часть нашей Галактики. Для измерения расстояния до других галактик метод параллакса уже не применим.

---

Для описания параллакса введём единичный вектор $\mathbf{n}_0=\mathbf{r}_0/r_0$ в направлении звезды с точки зрения "наблюдателя на Солнце", где $\mathbf{r}_0$ — радиус-вектор от Солнца к звезде. Для земного наблюдателя направление на звезду равно $\mathbf{n}=\mathbf{r}/r$. Радиус-векторы наблюдателей связаны следующим образом $\mathbf{r}=\mathbf{r}_0-\mathbf{R}$, где $\mathbf{R}$ — радиус-вектор, направленный от Солнца к Земле:

Считая, что $r_0\gg R$, аналогично эффекту Доплера для расстояния звезды от Земли запишем: $$r =\sqrt{(\mathbf{r}_0-\mathbf{R})^2}\approx \sqrt{\mathbf{r}^2_0-2\mathbf{r}_0\mathbf{R}}\approx r_0 - \mathbf{n}_0\mathbf{R} =r_0\, (1-\mathbf{n}_0\mathbf{P}),$$ где $\mathbf{P}=\mathbf{R}/r_0$ — называется вектором параллакса. Поэтому: $$\mathbf{n}=\frac{\mathbf{r}}{r}\approx\frac{\mathbf{r}_0-\mathbf{R}}{r_0(1-\mathbf{n}_0\mathbf{P})}=\frac{\mathbf{n}_0-\mathbf{P}}{1-\mathbf{n}_0\mathbf{P}}.$$ Раскладывая знаменатель по малым $P$, получаем: $$\mathbf{n}\approx (\mathbf{n}_0-\mathbf{P})(1+\mathbf{n}_0\mathbf{P}) \approx \mathbf{n}_0+\mathbf{n}_0(\mathbf{n}_0\mathbf{P}) -\mathbf{P}.$$ При помощи тождества "бац минус цаб" (стр.\,\pageref{abc_bac_cab}) связь единичных векторов в направлении звезды с Солнца ($\mathbf{n}_0$) и с Земли ($\mathbf{n}$) можно записать при помощи двойного векторного произведения: $$\begin{equation}\label{parallax} \mathbf{n} \approx \mathbf{n}_0 + \mathbf{n}_0\times [\mathbf{n}_0\times \mathbf{P}]. \end{equation}$$ Выразим компоненты единичного вектора $\mathbf{n}_0$ через углы $(\theta,\phi)$ сферической системы координат (см. выше второй рисунок): $$\mathbf{n}_0=(s_\theta c_\phi, ~s_\theta s_\phi, ~c_\theta),$$ где $s_\theta=\sin\theta$, $c_\theta=\cos\theta$. На поверхности сферы можно ввести два ортогональных единичных вектора $\mathbf{e}_\phi\sim \partial \mathbf{n}_0/\partial \phi$, $\mathbf{e}_\theta = \partial \mathbf{n}_0/\partial \theta$, перпендикулярных к $\mathbf{n}_0$ ($\lessdot$\,C$_{\ref{c_vec_on_sphere}}$): $$\begin{equation}\label{e_theta_e_phi} \mathbf{e}_\phi = (-s_\phi,~ c_\phi,~ 0),~~~~~~~~~~~~\mathbf{e}_\theta = (c_\theta c_\phi,~ c_\theta s_\phi,~-s_\theta). \end{equation}$$ Несложно проверить, что $\mathbf{e}_\phi \mathbf{e}_\theta=0$ и $\mathbf{e}^2_\theta=\mathbf{e}^2_\phi=1$. Кроме этого, векторы направлены в сторону малого изменения угловых координат. Стоит проверить ортогональность этих векторов к $\mathbf{n}_0$: $\mathbf{n}_0\mathbf{e}_\phi=\mathbf{n}_0\mathbf{e}_\theta=0$.

Земля вращается вокруг Солнца по окружности, и компоненты радиус-вектора $\mathbf{R}$ равны: $$\mathbf{R} = \{R\,\cos (2\pi t), ~R\,\sin (2\pi t), ~0\},$$ где время $t$ измеряется в годах. Когда $t$ изменяется от 0 до 1, радиус-вектор возвращается в исходное положение. В результате вращения $\mathbf{R}$ периодически изменяются и компоненты вектора параллакса: $$\begin{equation}\label{P_R_t} \mathbf{P}=\frac{\mathbf{R}}{r_0}=\{P\, \cos (2\pi t), ~P\,\sin (2\pi t), ~0\}. \end{equation}$$ Вектор $\mathbf{n}_0$ перпендикулярен базисным векторам $\mathbf{e}_\phi$ и $\mathbf{e}_\theta$. Поэтому умножая ($\ref{parallax}$) на $\mathbf{e}_\phi$ и $\mathbf{e}_\theta$, найдём проекции вектора $\mathbf{n}$ на угловые базисные векторы: $$\mathbf{n}\mathbf{e}_\phi = -\mathbf{P}\mathbf{e}_\phi=P\sin(\phi-2\pi t),~~~~~~~\mathbf{n}\mathbf{e}_\theta = -\mathbf{P}\mathbf{e}_\theta = -P\cos\theta\cos(\phi-2\pi t),$$ где учтены ($\ref{e_theta_e_phi}$), ($\ref{P_R_t}$) и формулы разности углов для синуса и косинуса. Так как эллипс вращения мал, в его окрестности векторы $\mathbf{e}_\phi,~\mathbf{e}_\theta$ на сфере играют роль перпендикулярных декартовых осей (сфера в малых масштабах — плоскость). Величины $\mathbf{n}\mathbf{e}_\phi$ и $\mathbf{n}\mathbf{e}_\theta$ являются проекциями на эти оси ($\lessdot$\,C$_{\ref{c_vec_on_sphere2}}$). В результате на поверхности небесной сферы звезда описывает эллипс с полуосями $P$ и $P\cos\theta$: $$\frac{(\mathbf{n}\mathbf{e}_\phi)^2}{P^2}+\frac{(\mathbf{n}\mathbf{e}_\theta)^2}{P^2\cos^2\theta} = 1.$$ При $\theta=0$ (звезда над Солнцем) получается окружность с радиусом, равным параллаксу $P$.

✦ Учтём теперь эффект аберрации из-за движения Земли. Подставляя в ($\ref{aber_vec_approx}$) связь ($\ref{parallax}$) и пренебрегая членами порядка $P\, v$, можно записать: $$\begin{equation}\label{paralax_aberation} \mathbf{n}' \approx \mathbf{n}_0 + \mathbf{n}_0\times [\mathbf{n}_0\times (\mathbf{P}-\mathbf{v})]. \end{equation}$$ Скорость движения Земли $\mathbf{v}$ по круговой орбите перпендикулярна $\mathbf{R}$ и составляет 30 км/c, или $v\sim 10^{-4}$ в долях скорости света. Если взять производную радиус-вектора $\mathbf{R}$ по времени, то для компонент скорости получим $\mathbf{v}=\{-v\sin (2\pi t),~v\cos (2\pi t),~0\}$. Стоит проверить, что при этом большая полуось эллипса равна $\sqrt{P^2+v^2}$.

Параллакс даже для ближайшей звёзды равен $P=R/r_0\sim 4\cdot 10^{-6}$, т.е. в 27 раз меньше безразмерной скорости $v$. Поэтому движение звёзд в течение года по эллипсу в результате аберрации — эффект более заметный, чем параллакс. Заметим, что формула ($\ref{paralax_aberation}$) не учитывает релятивистских эффектов, которые имеют порядок $v^2$.

Аберрация

Звёздное небо