Звёздное небо

Аберрация, как и эффект Доплера, имеет различные проявления. Предположим, что в некоторой системе отсчета звёзды в пространстве имеют равномерное распределение. Рассмотрим, как выглядят эти звёзды из быстро летящего космического корабля.

Наблюдая звёздное небо из фиксированной точки, мы воспринимаем звёзды спроектированными на "небесную сферу" ( $\lessdot$ \,C $_{\ref{c_astronom}}$ ). При равномерном распределении плотность числа звёзд в любом направлении постоянна. Введём сферические углы $(\theta, \phi)$ и рассмотрим небольшой участок сферы,\index{сферическая система координат} ограниченный малыми приращениями $(d\theta, d\phi)$ :

Если $\phi=const$ , изменение угла $d\theta$ описывает на сфере радиуса $R$ дугу длиной $R d\theta$ . При постоянном $\theta$ изменение угла $d\phi$ описывает дугу $R\sin \theta\, d\phi$ , где $R\sin \theta$ — расстояние от этой дуги до оси $z$ . В результате площадь, вырезаемая приращениями $(d\theta, d\phi)$ , равна $R^2\sin\theta\,d\theta\, d\phi$ . Её отношение к квадрату радиуса сферы называется телесным углом $d\Omega=\sin\theta\,d\theta\, d\phi$ . Площадь сферы равна $4\pi R^2$ , поэтому интегрирование по $(\theta, \phi)$ телесного угла даёт $4\pi$ : $\int d\Omega = \int\limits^{2\pi}_0 d\phi \int\limits^{\pi}_0 \sin\theta \, d\theta = 2\pi \int\limits^{1}_{-1} d(\cos\theta) = 4\pi.$ Телесный угол $d\Omega$ является малой площадью на поверхности сферы единичного радиуса. Однако при фиксированных $d\theta$ и $d\phi$ эта площадь различна при различных значениях $\theta$ . Поэтому удобно использовать относительные величины. Отношение количества звёзд $dN$ , видимых в телесном углу $d\Omega$ , к величине этого угла называется плотностью углового распределения $n(\theta, \phi)$ . В общем случае эта плотность является функцией обоих углов: $dN = n(\theta, \phi)\, d\Omega = n(\theta, \phi)\, \sin\theta \, d\theta \, d\phi = - n(\theta,\phi)\, d(\cos\theta)\, d\phi.$ Для равномерного распределения плотность постоянна, и если общее число видимых звёзд $N$ , то она равна $n(\theta,\phi)=N/4\pi$ . Интегрирование по всей поверхности сферы даст $N$ звёзд.

✦ Перейдём теперь в систему отсчёта (штрихованную), связанную с космическим кораблём. Пусть его скорость $v$ направлена вдоль оси $z$ . Аберрация угла $\theta'$ между скоростью и направлением на звезду ( $\ref{aberation1}$ ) равна: $\begin{equation}\label{aberation_cos} \cos \theta = \frac{\cos\theta' - v}{1-v\cos\theta'}. \end{equation}$ Запишем $s_\theta \,d\theta=-dc_\theta=-(\partial c_\theta/\partial c_{\theta'})\,dc_{\theta'}$ и возьмём производную ( $\ref{aberation_cos}$ ) по $\cos\theta'$ . Учитывая, что $\phi'=\phi$ , для $n(\theta,\phi)=N/4\pi$ получаем: $dN = - \frac{N}{4\pi} \, \frac{\partial(\cos \theta)}{\partial(\cos \theta')} \, d(\cos \theta')\, d\phi = - \frac{N}{4\pi} \frac{1-v^2}{(1-v\cos \theta')^2} \, d(\cos\theta') \, d\phi'.$ В результате плотность распределения звёзд на "небесной сфере" с точки зрения космического корабля имеет вид: $\begin{equation} n'(\theta', \phi') = \frac{N}{4\pi} \, \frac{1-v^2}{(1-v\cos \theta')^2}. \end{equation}$ Это выражение достигает максимума при $\theta'=0$ и минимума при $\theta'=\pi$ : $n'(0, \phi') = \frac{N}{4\pi} \, \frac{1+v}{1-v},~~~~~~~~~~~~n'(\pi, \phi') = \frac{N}{4\pi} \, \frac{1-v}{1+v}.$ Стоит проверить ( $\lessdot$ \,H $_{\ref{h_tot_stars_N}}$ ), что интегрирование $n(\theta', \phi')$ по всей поверхности сферы $0\leqslant\theta'\leqslant\pi$ и $0\leqslant\phi'<2\pi$ , как и следовало ожидать, даёт в точности $N$ видимых звёзд.

Ниже на "фотографиях" приведено звёздное небо. Первая фотография соответствует неподвижной системе отсчета. Вторая и третья сделаны из космического корабля, летящего со скоростью $v=0.9$ (вторая фотография — по ходу движения, а третья — в противоположном направлении):

Напомним, что в силу эффекта Доплера спектр звёзд по курсу корабля сдвинется в сторону синего спектра (частоты увеличиваются), а в обратном направлении — в красный (частоты уменьшаются). Однако на этом эффекты искажения звёздного неба, связанные с аберрацией, не оканчиваются.

Рассмотрим некоторый источник света (звезду), излучающий световую энергию равномерно во все стороны (в собственной системе отсчёта). Интенсивностью потока фотонов

$J$ в данном направлении называется количество фотонов

$dN$ , испускаемых в единицу времени

$dt$ в телесный угол

$d\Omega$ . Аналогично определяется светимость звезды

$I$ при помощи потока энергии

$E$ , приносимой этими фотонами:

$\begin{equation}\label{light_energy_def} J = \frac{dN}{d\Omega\, dt},~~~~~~~~~~~~~~~~I = \frac{dE}{d\Omega\, dt} = h\nu\,J, \end{equation}$ где для простоты считается, что спектр звезды сконцентрирован в окрестности одной частоты

$\nu$ и энергия равна

$dE=h\nu\,dN$ , где

$h=2\pi\hbar$ — постоянная Планка. Как и плотность звёзд на небе

$I$ ,

$J$ могут зависеть от угловых координат сферической системы с центром отсчёта в звезде. В евклидовом пространстве площадь сферы окружающую звезду на расстоянии

$R$ равна

$4\pi R^2$ , поэтому

Пусть звезда движется относительно наблюдателя со скоростью $v$ вдоль оси $x$ . В координатах, приведенных на рисунке, фотоны имеют компоненту скорости $u_x=\cos\theta$ и сложение скоростей $u'_x = (u_x-v)/(1-u_x v)$ даёт формулу аберрации:

$\cos\theta' = \frac{\cos\theta-v}{1-v\cos\theta}$

Поток в системе, связанной со звездой, равен $J_0=const$ и, в силу изотропности излучения, не зависит от $\theta'$ . Телесный угол $d\Omega'=-d(\cos\theta')\,d\phi'$ при помощи формулы для аберрации выражается через $d\Omega$ неподвижного наблюдателя. Кроме этого, учтём, что период испускания фотонов $dt'$ связан с периодом их получения $dt$ в соответствии с формулой (3.3.3). Повторив вычисления, аналогичные распределению звёзд на небе, для потока числа фотонов получаем: $dN = J_0 \,d\Omega' \,dt' = J_0\, \frac{1-v^2}{(1-v\cos\theta)^{2}} \,d\Omega\, \frac{\sqrt{1-v^2}}{1-v\cos\theta}\,d\bar{t}.$ Заметим, что иногда пишут $dt'=\sqrt{1-v^2}\,dt$ . Это неверно, так как число фотонов измеряется не наблюдателями, "расставленными вдоль движения звезды", а одним наблюдателем, к которому эти фотоны летят. Поэтому необходимо пользоваться доплеровской формулой.

В результате для неподвижного наблюдателя интенсивность потока фотонов зависит от угла наблюдения к скорости звезды: $\begin{equation} J = J_0 \,\frac{(1-v^2)^{3/2}}{(1-v\cos\theta)^3}. \end{equation}$ Это выражение достигает максимума при $\theta=0$ и минимума при $\theta=\pi$ , в результате чего "лучи" летящей звезды "сбиваются" вперёд и наибольшее число фотонов излучается по движению звезды (выше второй рисунок).

✦ Чтобы определить световой поток, необходимо ещё раз учесть эффект Доплера. Проекция единичного вектора $\mathbf{n}$ на скорость $\mathbf{v}$ определяется при помощи угла $\theta$ : $\mathbf{n}\mathbf{v} = -v\cos\theta$ и $\nu = \nu_0\, \frac{\sqrt{1-v^2} }{1-v\cos\theta},$ где $\nu_0$ — собственная частота излучения фотонов в системе отсчёта звёзды. Учитывая, что $I=h\nu\,J$ , получаем: $\begin{equation}\label{light_move} I=I_0 \,\frac{(1-v^2)^{2}}{(1-v\cos\theta)^4}. \end{equation}$ Перекос в энергетическом распределении излучения, кроме аберрации, дополнительно усиливается эффектом Доплера, так как летящие к наблюдателю фотоны имеют большую частоту (энергию).

Возвращаясь к звёздному небу, наблюдаемому из космического корабля, мы должны сделать вывод, что не только звёзд по курсу будет больше, но их яркость станет существенно выше. Это обусловлено эффектом Доплера и дважды эффектом аберрации (смещение положения звёзд и перераспределения интенсивности их излучения).

✦ Полученные формулы позволяют продемонстрировать ещё один эффект. Найдём общую энергию, излучаемую звездой до её полного "выгорания". Если полная световая энергия в собственной системе звезды равна $E_0$ , то общее число излучённых фотонов равно $N=E_0/h\nu_0$ , а в единицу телесного угла их испустится $dN=(N/4\pi)\,d\Omega'$ . Для неподвижного наблюдателя $dE=h\nu\, dN= \frac{h\nu\,N}{4\pi}\,d\Omega' =\frac{E_0}{4\pi}\,\frac{\nu}{\nu_0}\,d\Omega' =\frac{E_0}{4\pi}\,\frac{\sqrt{1-v^2}}{1-v\cos\theta}~\frac{1-v^2}{(1-v\cos\theta)^2}\,d\Omega.$ Интегрируя по всему телесному углу, получаем: $E = \int dE=\frac{E_0}{4\pi}\,\int \frac{(1-v^2)^{3/2}}{(1-v\cos\theta)^3}\,d\Omega = \frac{E_0}{2}\int\limits^1_{-1}\frac{(1-v^2)^{3/2}}{(1-vz)^3}\, dz = \frac{E_0}{\sqrt{1-v^2}}.$ Движущаяся звезда в неподвижной системе имеет большую энергию $E$ , чем её собственная энергия $E_0$ . Подобная связь энергии и скорости $\begin{equation} E=\frac{E_0}{\sqrt{1-v^2}}, \end{equation}$ как мы увидим в следующей главе, носит достаточно общий характер.

Параллакс

Ускоренное движение