Произвольное направление скорости

✦^* Обобщим преобразования Лоренца на случай произвольного направления скорости. Пусть начало системы $S'$ движется со скоростью ${\bf v}$ относительно инерциальной системы $S$ (первый рисунок):

Рисунок выполнен на плоскости, но предполагается, что в общем случае движение происходит в 3-мерном пространстве. Наблюдатели согласовывают единицы времени договариваясь о равенстве модуля относительной скорости, а единицы длины -- сравнивая линейки'' в перпендикулярном к скорости направлении. Фиксирование компонент $\mathbf{v}=\{v_x,v_y,v_z\}$ (проекций на оси) означает выбор ориентации координатных осей (с точностью до вращения вокруг $\mathbf{v}$). Для наблюдателя в $S'$ компоненты скорости начала системы $S$ имеют обратный знак.

На третьем рисунке радиус-вектор ${\bf r}$ разложен по двум векторам ${\bf r}_{\shortparallel}$ и ${\bf r}_{\perp}$. Первый из них направлен вдоль скорости ${\bf v}$, а второй ей перпендикулярен ($v=\sqrt{\mathbf{v}^2}=|\mathbf{v}|$ -- модуль вектора скорости): $${\bf r} = {\bf r}_{\shortparallel}+{\bf r}_{\perp},~~~~~~~~~~{\bf r}_{\shortparallel} = \frac{({\bf r}{\bf v})}{v^2}\,{\bf v}.$$ Длина вектора ${\bf r}_{\shortparallel}$ равна проекции ${\bf r}$ на единичный вектор ${\bf v}/v$ вдоль направления скорости. Он же задаёт направление ${\bf r}_{\shortparallel}$. Теперь можно записать преобразования Лоренца для каждой компоненты: $$t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}_{\shortparallel}),~~~~~~~{\mathbf r}'_\shortparallel = \gamma\, ({\mathbf r}_{\shortparallel}-{\mathbf v }\, t),~~~~~~~ {\mathbf r}'_{\perp}={\mathbf r}_{\perp}.$$ Действительно, ${\mathbf r}_\shortparallel$ направлен вдоль ${\mathbf v}$ и играет роль $x$ в обычных преобразованиях Лоренца. Аналогично ${\mathbf r}_{\perp}$ перпендикулярен скорости и играет роль $y$. Учитывая, что ${\mathbf r}'={\mathbf r}'_{\shortparallel}+{\mathbf r}'_{\perp}$, заменяя ${\mathbf r}_{\perp}$ на ${\mathbf r}-{\mathbf r}_\shortparallel$, можно записать преобразования Лоренца в виде: $$\begin{equation}\label{lorenz_vec0} t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ {\mathbf r}' = {\mathbf r} - \gamma\,{\mathbf v}\, t + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf r}). \end{equation}$$ Обратные преобразования получаются перестановкой штрихованных и нештрихованных величин местами и заменой ${\mathbf v}\mapsto -{\mathbf v}$. Если $\mathbf{v}=\{v,0,0\}$, то из ($\ref{lorenz_vec0}$) следуют "обычные преобразования Лоренца". Как мы увидим позднее, совпадение относительных скоростей, вообще говоря, не означает параллельности осей координат обоих систем. Преобразования Лоренца в форме ($\ref{lorenz_vec0}$) лишь означают, что наблюдатели выполнили описанную выше процедуру согласования единиц измерения.

Система единиц

Сложение скоростей