Аберрация

Аберрация аналогична эффекту Доплера, однако при этом "искажается" не частота излучения источника, а его видимое положение. Как и эффект Доплера, аберрация имеет классическую составляющую и поправки, связанные с релятивистскими эффектами. Впервые аберрация была обнаружена, как изменение положения звёзд при движении Земли по орбите вокруг Солнца. Поэтому начнём с этого примера.

Пусть неподвижный относительно Солнца наблюдатель $S$ видит в направлении $\theta$ от плоскости орбиты Земли также неподвижную звезду (этот угол называется склонением). Другой наблюдатель $S'$ вместе с Землёй движется относительно первого со скоростью $v$ (рисунок слева):

Когда наблюдатели окажутся в одной точке, землянин $S'$ увидит звезду под углом $\theta'$ (второй рисунок). Звезда движется ему навстречу со скоростью $v$, поэтому она видна из положения $A$, которое занимала некоторое время $t'$ назад. Это время необходимо свету, чтобы пройти гипотенузу треугольника ($c=1$). "Истинное" положение звезды соответствует точке $B$. Неподвижный относительно звезды наблюдатель $S$ также видит её в прошлом, но всё время в одном направлении (под углом $\theta$). Разложение гипотенузы $t'$ по катетам позволяет связать между собой углы: $$\left\{ \begin{array}{l} t'\sin \theta' = H'\\ t'\cos\theta' = vt' + L' \end{array} \right.~~~~~~~~=>~~~~~~~\frac{\sin\theta'}{\cos\theta' - v}=\frac{H'}{L'}=\frac{H}{L\sqrt{1-v^2}} = \frac{\tg\theta}{\sqrt{1-v^2}},$$ где учтено, что для неподвижного относительно звезды наблюдателя $\tg \theta = H/L$ и, в силу лоренцевского сокращения, расстояние по горизонтали до звезды для землянина сокращается $L'=L\sqrt{1-v^2}$, а $H'=H$. Учитывая, что $\cos\theta=1/\sqrt{1+\tg^2\theta}$, получаем: $$\begin{equation}\label{aberation1} \cos \theta = \frac{\cos \theta' - v}{1- v\cos\theta'},~~~~~~~~~~~~ \sin \theta = \frac{\sqrt{1-v^2}\, \sin \theta'}{1- v\cos\theta'}. \end{equation}$$ Рассмотренные в предыдущем разделе искажения фотографической формы движущихся объектов, по сути, также являлись проявлением аберрации.

✦ Формулы для аберрации можно получить и при помощи закона сложения скоростей. В этом случае объектом, движущемся со скоростью $\mathbf{u}$ относительно системы $S$ и c $\mathbf{u}'$ относительно $S'$, является световой сигнал, распространяющийся от источника к наблюдателям:

Из рисунка следует, что проекции скорости света равны $u_x=-\cos \theta$ и $u_y=-\sin \theta$. Аналогично со штрихами для движущегося наблюдателя $S'$, так как модуль скорости света $c=1$ в обеих системах одинаков. Подстановка компонент скорости в закон сложения скоростей даёт: $$\begin{equation}\label{aberation2} \cos \theta' = \frac{\cos \theta + v}{1+ v\cos\theta},~~~~~~~~~~~~ \sin \theta' = \frac{\sqrt{1-v^2}\, \sin \theta}{1+ v\cos\theta}. \end{equation}$$ Эти формулы обратны к найденным выше. Как обычно, их можно получить заменой $v\mapsto -v$ или прямым обращением. При помощи тождества $\cos \theta=(1-\tg^2\theta/2)/(1+\tg^2\theta/2)$ можно также записать: $$\begin{equation} \tg\frac{\theta'}{2} = \sqrt{\frac{1-v}{1+v}}\,~ \tg\frac{\theta}{2}. \end{equation}$$

Разница в углах наблюдения источника для неподвижного и движущегося наблюдателей выражается через синус разности углов $\alpha=\theta-\theta'$: $$\sin \alpha=\sin\theta\cos\theta'-\cos\theta\sin\theta'=\frac{v+\left(1-\sqrt{1-v^2}\right)\cos\theta}{1+ v\cos\theta}\sin\theta.$$ При малых скоростях имеем приближенное соотношение: $$\sin \alpha \approx v\,\sin\theta.$$ Так как $v\ll 1$, следовательно, угол $\alpha$ мал: $\sin \alpha\approx \alpha\approx v\sin\theta$. Разность в наблюдениях максимальна, когда $\theta=\pi/2$, т.е. источник находится над головой неподвижного наблюдателя. В этом случае, в первом приближении по $v$, отклонение от вертикали для движущегося наблюдателя составит $\alpha\approx v$.

В релятивистской теории нет разницы, движется приёмник или источник сигнала. Все движения относительны. Не так обстоит дело, например, с распространением звука. В этом случае есть выделенная система отсчета, связанная с воздухом. Относительно этой системы звук всегда распространяется с постоянной скоростью независимо от скорости движения источника. Однако скорость звука зависит от того, с какой скоростью движется относительно воздуха приемник. Поэтому получаются различные эффекты аберрации в зависимости от того, кто движется относительно среды — приёмник или источник. В качестве ещё одного упражнения предлагается вывести в рамках классической механики формулы аберрации звука самолёта для неподвижного относительно Земли наблюдателя ($\lessdot$\,H$_{\ref{h_aber_jet}}$). Аналогичные соотношения необходимо получить в ситуации, когда пилот в летящем самолёте слышит взрыв, произошедший на Земле ($\lessdot$\,H$_{\ref{h_aber_bang}}$). Обе ситуации стоит рассмотреть как при помощи анализа задержки звукового сигнала, так и из классических формул сложения скоростей.

Естественно, двигаясь в одну сторону, обнаружить аберрацию звезды нельзя. Однако Земля, вращаясь вокруг Солнца, меняет свою скорость, что приводит к изменению положения звёзд на небе. Рассмотрим этот эффект подробнее.

Фотографирование объектов

Параллакс