Сложение скоростей

Рассмотрим инерциальные системы отсчёта $S$ и $S'$. Пусть их оси $x$ и $x'$ направлены параллельно к относительной скорости. Скорость системы $S'$ относительно $S$ равна $v$, а скорость $S$ относительно $S'$: $-v$'':

Ключевым понятием кинематики является событие. Предполагается, что оно имеет сколь угодно малую длительность и локализацию в пространстве. Событие характеризуется временем $t$ и положением $\{x,\,y\}$. Наблюдатели в каждой системе отсчета регистрируют это событие по своим приборам, получая значения $\{t,\,x,\,y\}$ для $S$ и $\{t',\,x',\,y'\}$ для $S'$. Напомним, что наблюдатели способны проводить измерения только в своей непосредственной окрестности. Поэтому каждую систему отсчета мы представляем заполненной'' наблюдателями. Событие регистрируют два наблюдателя в $S$ и $S'$, находящихся там, где оно произошло. Благодаря процедуре синхронизации времени, полученные ими наблюдения будут непротиворечиво восприняты и другими собратьями из их систем отсчета. Эффекты теории относительности проявляются при больших скоростях и, для получения заметных отличий от классической кинематики, часто потребуется изучать большие расстояния. Поэтому введение множества наблюдателей оказывается полезным.

Аналогично сравниваются результаты наблюдений некоторого процесса. Пусть он состоит из двух последовательных событий: начала в момент времени $t_1$ (в системе $S$) и конца в момент $t_2$. Его локализация в пространстве также характеризуется двумя точками $\{x_1,\,y_1\}$ и $\{x_2,\,y_2\}$. Интервал времени между событиями и разности координат равны: $$\Delta t=t_2-t_1,~~~~~~~~~~~~~~\Delta x= x_2-x_1,~~~~~~~~~~~~~~\Delta y= y_2-y_1.$$ Для каждого из событий запишем преобразования Лоренца и вычтем их. В силу линейности преобразований и постоянства скорости $v$, для приращений справедливы преобразования лоренцевского вида: $$\begin{equation}\label{delta_lorenz} \Delta t' = \frac{\Delta t- v\Delta x}{\sqrt{1-v^2}},~~~~~\Delta x' = \frac{\Delta x - v\Delta t}{\sqrt{1-v^2}},~~~~~\Delta y'=\Delta y \end{equation}$$ (часто мы будем ограничиваться 2-мерным пространством $\{x,\,y\}$, так как, в силу симметрии, ось $z$ аналогична оси $y$).

✦ Рассмотрим движущийся объект. Можно измерить его положение, т.е. координаты $\{x_1,\,y_1\}$ в момент времени $t_1$, а затем положение $\{x_2,\,y_2\}$ в момент времени $t_2$. По определению, проекции его скорости ${\bf u}=\{u_x, u_y\}$ в системе $S$ равны $$u_x=\frac{\Delta x}{\Delta t},~~~~~~~~~~~~~u_y=\frac{\Delta y}{\Delta t},$$ и, аналогично, со штрихами в $S'$. Если скорость объекта постоянна, то значение $\Delta t$ роли не играет. Для движения с переменной скоростью предполагается, что $\Delta t$ сколь угодно мало и скорость является производной координаты по времени.

Из преобразований для приращений ($\ref{delta_lorenz}$) несложно найти связь между скоростями объекта для наблюдателей в системах $S$ и $S'$: $$\begin{equation}\label{speed_add0} u'_x =\frac{u_x-v}{1-u_x\,v},~~~~~~~~~~~~~~~u'_y=\frac{u_y\,\sqrt{1-v^2}}{1-u_x\,v}. \end{equation}$$ Обратные преобразования скорости получаются прямыми вычислениями. Впрочем, в силу эквивалентности инерциальных систем отсчета, можно сразу изменить знак у скорости $v$ и переставить местами штрихованные и нештрихованные величины: $$\begin{equation}\label{speed_add} u_x =\frac{u'_x+v}{1+u'_x\,v},~~~~~~~~~~~~~~~u_y=\frac{u'_y\,\sqrt{1-v^2}}{1+u'_x\,v}. \end{equation}$$ Если, например, мы стоим на перроне и ${\bf u}'=\{u'_x,\,u'_y\}$ -- это скорость мухи относительно поезда, который движется со скоростью $v$, то скорость мухи относительно нас будет складываться из движения поезда и движения мухи. В классической механике это сложение имеет вид: $$u_x\approx u'_x+v,~~~~~~~~~~~~~~~u_y\approx u'_y.$$ В теории относительности подобные соотношения -- лишь некоторое приближение, справедливое до тех пор, пока скорости поезда и мухи много меньше фундаментальной скорости $c=1$. Чем быстрее движется муха или поезд, тем сильнее сложение'' их скоростей ($\ref{speed_add}$) отличается от классического.

Попрактикуемся в восстановлении фундаментальной константы $c$. Для всех скоростей необходимо сделать замену $v\mapsto v/c$, поэтому преобразование скоростей, например, вдоль оси $x$ принимает вид: $$\begin{equation}\label{1D_add_vel_with_x} u'_x =\frac{u_x-v}{1-u_x\,v/c^2}. \end{equation}$$ Классический закон сложения скоростей получается при $u_x v \ll c^2$.

Пусть объект движется вдоль оси $x$ с фундаментальной скоростью $u_x=c$. Тогда в другой системе $S'$ его скорость ($\ref{1D_add_vel_with_x}$) будет равна: $$c' = \frac{c-v}{1-c\,v/c^2} = c.$$ Таким образом, объект, имеющий скоростью $c$'', в одной системе отсчета, будет иметь ту же скорость и в любой другой системе. Поэтому $c$'' также называют инвариантной скоростью.

✦ При помощи преобразований ($\ref{speed_add0}$) можно $\lessdot\,$(H) проверить, что квадрат длины скорости ${\bf u}^2=u_x^2+u_y^2$ преобразуется следующим образом: $$\begin{equation}\label{transf_u2} 1-\mathbf{u}'^2 = \frac{\bigr( 1-\mathbf{u}^2 \bigr)\,\bigr(1-\mathbf{v}^2\bigr)}{(1-\mathbf{u}\mathbf{v})^2}, \end{equation}$$ где $\mathbf{u}\,\mathbf{v}=u_x\,v$ -- проекция скорости объекта $\mathbf{u}$ на скорость системы $\mathbf{v}$. Если в одной системе отсчета объект движется в произвольном направлении с фундаментальной скоростью ${\bf u}^2=c^2=1$, то и в любой другой инерциальной системе ${\bf u}'^2=1$, поэтому $c$'' является инвариантной скоростью независимо от её направления.

Подобная инвариантность обычно в качестве постулата используется при выводе преобразований Лоренца. Однако это, на самом деле, следствие теории относительности, причем одно из наиболее необычных и непривычных для нашего обыденного опыта. В повседневной жизни человек привыкает к галилеевому правилу сложения скоростей и невозможность догнать'' свет выглядит чуть ли не противоречием теории. Естественно, ни какого противоречия нет. Просто складывать большие скорости необходимо совсем не так, как это делается в классической механике.

$\rhd^*$ Запишем при помощи векторных преобразований Лоренца, преобразование для скорости в векторном виде. Разделив $\Delta\mathbf{r}'$ на $\Delta t'$, получаем: $$\begin{equation}\label{transf_u_vec0} \mathbf{u}' = \frac{\mathbf{u}-\gamma\,\mathbf{v} + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf u})} {\gamma\,(1-\mathbf{u}\mathbf{v})}. \end{equation}$$ При помощи двойного векторного произведения (бац минус цаб''), это преобразование можно переписать в таком виде (см. определение $\Gamma$)): $$\begin{equation}\label{transf_u_vec} \mathbf{u}' = \frac{\mathbf{u}-\mathbf{v} + [\mathbf{v}\times [\mathbf{v}\times\mathbf{u}]]\,\Gamma/\gamma }{1-\mathbf{u}\mathbf{v}}. \end{equation}$$ Если скорость системы отсчёта $S'$ параллельна скорости тела, то произведение $\mathbf{v}\times\mathbf{u}=0$ и ($\ref{transf_u_vec}$) совпадает с одномерным преобразованием скорости вдоль оси $x$ ($\ref{speed_add0}$).

Фундаментальная инвариантная скорость $c$'' является предельно возможной скоростью движения материального'' объекта. В самом деле, пусть наблюдатель в системе $S$ создаёт своего клона и отправляет его в полет со скоростью $v$ (система $S_1$). Первый клон создает второго и отправляет'' его с той же скоростью относительно себя (система $S_2$), и т.д. до бесконечности. В классической физике $n$-тый клон относительно системы $S$ имел бы скорость $u_n=n\,v$, которая при $n\to\infty$ стремилась бы к бесконечности. В релятивистском мире скорость $n$-того и $(n-1)$-го клонов относительно системы отсчета $S$ связаны следующим образом:

$$u_{n}=\frac{u_{n-1}+v}{1+u_{n-1}\,v}$$

Если протабулировать это соотношение, начиная с $u_0=0$, $v=1/2$, то получится график, приведенный на рисунке справа. Скорость $u_n$ при $n\to\infty$ стремится к $c=1$. Хотя $u_n$ постоянно увеличивается, относительно наблюдателя в $S$ каждая добавка становится всё меньше. При $n\to\infty$ можно положить $u_{n}=u_{n-1}=u_\infty$ и получить асимптотическое значение, не зависящее от $v$: $u_\infty = (u_\infty + v)/(1+u_\infty \,v),$ откуда $u_\infty = 1.$

$\rhd^*$ Найдём явную зависимость $u_n$ от $n$. Из закона сложения скоростей ($\ref{speed_add}$) следует $\lessdot\,$(H) соотношение: $$\begin{equation}\label{u_pm_transf} \frac{1+u_x}{1-u_x} = \frac{1+u'_x}{1-u'_x}\,\frac{1+v}{1-v}. \end{equation}$$ Вводя гиперболический арктангенс, имеем: $$\ath(u_x)=\ath(u'_x)+\ath(v),~~~~~~~где~~~\ath(v)=\frac{1}{2}\,\ln \frac{1+v}{1-v}.$$ Поэтому $\ath (u_{n})=n \,\ath (v)$, или: $$\begin{equation} u_n = \frac{1-w^n}{1+w^n},~~~~~~~~~~~~w=\frac{1-v}{1+v} < 1. \end{equation}$$ Понятно, что при $n\to \infty$, $u_n\to 1$. Формула сложения скоростей, записанная при помощи гиперболического арктангенса, имеет важный геометрический смысл, который мы обсудим при рассмотрении пространства Лобачевского во второй части книги.

Кроме мысленного эксперимента с клонами, существуют также веские энергетические причины предельности скорости $c$'', которые также рассматриваются чуть позже.