Инерциальные системы отсчёта

Перейдём теперь к наблюдателям в различных инерциальных системах отсчёта. Для простоты будем говорить о двух таких системах, обозначая одну буквой $S$ , а вторую $S'$ . Нас интересует связь между временем и координатой некоторого события, наблюдаемого из каждой системы отсчета. Рассмотрим одномерный случай, обозначая время события и его координату для наблюдателей в $S$ как $\{t,x\}$ , а для наблюдателей в $S'$ , соответственно, как $\{t',x'\}$ . Их связь означает существование функциональной зависимости: $\begin{equation}\label{coord_gen_con} t'=f(t,x, v),~~~~~~~~~~~~~~x'=g(t,x, v). \end{equation}$ Её наличие является аксиомой теории. Если угодно -- Аксиомой познаваемости мира''. Результаты наблюдений, проведенные в различных системах, должны быть между собой как-то связаны. Предполагается, что функции $f(t,x,v)$ и $g(t,x,v)$ зависят от относительной скорости систем $v$ . Вообще говоря, в эту связь могла бы попасть, например, температура каждого из наблюдателей. Однако в кинематике мы считаем, что для полного описания некоторого события достаточно измерения его координаты и момента времени, а единственный параметр, отличающий инерциальные системы, -- это их относительная скорость.

Наблюдатели в каждой системе неподвижны относительно друг друга. Характеризуя скорость системы $S'$ относительно $S$ одним числом $v$ , мы предполагаем, что все наблюдатели $S'$ движутся мимо $S$ с одинаковой скоростью $v$ .

Чтобы сравнение результатов измерений имело смысл, наблюдатели в разных системах отсчета, как и в одной, должны согласовать свои единицы длины и времени.

✦ Начнем снова с единиц скорости. Представители двух систем отсчета могут договориться считать одинаковой их относительную скорость $v$ . Если оси систем направлены в одну сторону, то для наблюдателя в $S$ (левый рисунок) скорость системы $S'$ будет равна $v$ , а для наблюдателя в $S'$ скорость $S$ , соответственно, $-v$ (правый рисунок):

Подчеркнем, что это не постулат, а именно способ согласования единиц скорости. Хотя в нём заложена идея об эквивалентности инерциальных систем отсчета.

✦ Для согласования единиц длины наблюдатели могут разместить свои линейки перпендикулярно движению (вдоль оси $y$ ) и совместить их друг с другом. Образно говоря, это означает, что наблюдатель, например, системы $S'$ , пролетая мимо забора'', расположенного в системе $S$ , проводит на нём две линии, параллельные оси $x$ , высотою в один метр, оставляя тем самым информацию о своей единице длины. Вместо забора можно, конечно, использовать две летящие параллельно оси $x$ частицы. Кратчайшее расстояние между их траекториями в обеих системах принимается за единичное. Обратим внимание, что подобная процедура возможна только в пространстве с размерностью большей единицы. Таким образом, при выбранной ориентации координатных осей, преобразования ( $\ref{coord_gen_con}$ ) необходимо дополнить соотношениями: $y'=y$ , $z'=z.$

Согласовав перпендикулярные к движению единицы длины, наблюдатели могут считать, что они согласовали и любые линейки. Их уверенность основана на изотропности пространства в каждой системе отсчета и возможности медленного'' поворота линеек без их деформации.

Согласование единицы скорости и длины приводит к согласованию единицы времени. Начало отсчета времени можно привязать к некоторому событию, например, совпадению начал систем $x=x'=0$ , считая, что в этот момент $t=t'=0$ : $f(0,0, v)=g(0,0, v) = 0.$

✦ Сформулируем теперь важное свойство функций $f(t,x,v)$ и $g(t,x,v)$ . Если разрешить уравнения ( $\ref{coord_gen_con}$ ) относительно $t$ и $x$ , то получится обратная связь (от штрихованных величин к нештрихованным). При этом функции оказываются теми же самыми, а скорость -- меняет знак: $\begin{equation} t=f(t',x', -v)~~~~~~~~~~~~~~x=g(t',x', -v). \end{equation}$ Это достаточно сильное требование, и оно имеет глубокий смысл. Исходные преобразования ( $\ref{coord_gen_con}$ ) можно интерпретировать с позиции наблюдателя в системе $S$ . Он измеряет координаты и время некоторого события $\{t,x\}$ и при помощи преобразований выясняет'', каковы значения измерений того же события в системе $S'$ , движущейся относительно него со скоростью $v$ . Обратные преобразования решают эту же задачу, но с позиции наблюдателя в $S'$ . Однако, в силу сонаправленности осей $x$ и $x'$ , для него скорость системы $S$ будет равна $-v$ ''. Поэтому штрихованные и нештрихованные величины меняются местами и совершается замена $v\mapsto -v$ . Во всём остальном функциональная форма преобразований должна быть эквивалентной. Это является отражением принципа относительности (тождественности всех инерциальных систем отсчета).

Примером преобразований между двумя инерциальными системами служат преобразования Галилея. В классической механике предполагается, что время имеет одинаковый темп хода для всех наблюдателей: $t'=t$ . Пусть две системы отсчета расположены так, что их оси $x$ параллельны друг другу, и в момент времени $t'=t=0$ начала систем совпадают. Тогда координаты и время некоторого события, наблюдаемого из каждой системы, связаны между собой следующим образом:

$\begin{equation}\label{galileo_galiley} \left\{ \begin{array}{l} t'=t,\\ x'=x-v\,t. \end{array} \right. \end{equation}$

Галилей не записывал подобных преобразований и они появились значительно позже. Однако ему принадлежит формулировка принципа относительности, изложенная в книге Диалоги о двух главнейших системах мира -- птоломеевой и коперниковой'' (1632 г.). Мы приведем её с некоторыми сокращениями:

Уединитесь с кем-либо из друзей в просторное помещение под палубой какого-нибудь корабля, запаситесь мухами, бабочками и другими подобными мелкими летающими насекомыми; подвесьте, далее, наверху ведерко, из которого вода будет падать капля за каплей в другой сосуд с узким горлышком, подставленный внизу. Пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте прилежно, как мелкие летающие животные с одной и той же скоростью движутся во все стороны помещения; все падающие капли попадут в подставленный сосуд, и вам, бросая какой-нибудь предмет, не придется бросать его с большей силой в одну сторону, чем в другую, если расстояния будут одни и те же. Заставьте теперь корабль двигаться с любой скоростью, и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту и другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно.
[Галилей]Галилео Галилей - '' Диалог о двух главнейших системах мира - птоломеевой и коперниковой'', перевод Долгова А.И., Москва, (1948)

Часто говорят, что принцип относительности Галилея сформулирован только для механических систем, тогда как Эйнштейн распространил его на все физические явления. Это не совсем верно. Как мы видим, Галилей считал, что в инерциальных системах отсчета одинаковым образом протекают все явления, даже биологические

$\ddot\smile$ . Он не разделял физику на механику и прочие явления. Для него, по всей видимости, не было даже физики. Он просто размышлял о природе мира.

Преобразования между системами отсчёта должны быть однозначными, т.е. при данных $t,x$ всегда получаются единственные значения $t',x'$ . Кроме этого они обладают групповыми свойствами. Это означает, что существует единичное преобразование, обратное, и композиция (последовательность) преобразований снова является преобразованием. Проиллюстрируем это на примере преобразований Галилея.

Единичное преобразование соответствует $v=0$ . В этом случае $t'=t$ и $x'=x$ , т.е. две системы отсчета совпадают.

Обратное преобразование несложно записать, обратив уравнения ( $\ref{galileo_galiley}$ ): $\left\{ \begin{array}{l} t=t',\\[1mm] x=x'+v\,t'. \end{array} \right.$ В результате, как и должно быть, получаются те же преобразования Галилея, но с заменой $v\mapsto -v$ .

Для определения композиции преобразований, рассмотрим три инерциальные системы отсчета $S_1$ , $S_2$ и $S_3$ . Пусть $S_2$ движется относительно $S_1$ со скоростью $v_1$ , а $S_3$ относительно $S_2$ со скоростью $v_2$ . Наконец, третья система движется относительно первой с некоторой скоростью $v_3$ :

Преобразования Галилея между парами систем имеют вид: $\left\{ \begin{array}{lcl} t_2 &=&t_1,\\[1mm] x_2 &=&x_1-v_1\, t_1, \end{array} \right. ~~~~~~~ \left\{ \begin{array}{lcl} t_3&=&t_2,\\[1mm] x_3&=&x_2-v_2\, t_2, \end{array} \right. ~~~~~~~ \left\{ \begin{array}{lcl} t_3&=&t_1,\\[1mm] x_3&=&x_1-v_3\, t_1. \end{array} \right.$ Все эти соотношения, в силу равноправия систем отсчета, одинаковы, отличаясь лишь значением относительной скорости.

Подставляя первую систему во вторую и сравнивая с третьей, несложно убедиться, что скорость $v_3$ не произвольна, а связана с $v_1$ и $v_2$ : $\begin{equation} v_3 = v_1+v_2. \end{equation}$ Это простое правило сложения скоростей вытекает из преобразований Галилея. Его можно также получить, рассматривая только две системы и некоторый объект, летящий относительно них. Выше в качестве такого объекта выступала третья система отсчета.

Групповые аксиомы -- очень сильные требования и при нескольких дополнительных предположениях позволяют найти явный вид функций $f(t,x,v)$ и $g(t,x,v)$ в достаточно общем случае.

Свойства пространства

Преобразования Лоренца