Сжатие и вращение $^*$

Любой объект, подобно линейке, сплюснут в направлении движения, если в данный момент времени одновременно фиксируются координаты точек его поверхности. В частности, квадрат (в собственной системе отсчёта) будет "выглядеть" прямоугольником, если он движется вдоль одной из своих сторон. Если же вектор скорости направлен по диагонали квадрата, он окажется сплюснутым вдоль неё, "превратившись" в ромб. При этом длина диагонали перпендикулярная движению, не изменится.

Представим, что стороны квадрата — это координатные оси $(x',y')$ движущейся системы отсчёта. Тогда при произвольном направлении её скорости эти оси будут не ортогональны друг другу и к тому же повернутся относительно неподвижной системы отсчёта. Ниже пунктирными линиями изображены координатные сетки "неподвижной" системы, а сплошными — движущейся, для наблюдателей в $S$. Модуль скорости равен $v=0.8$:

Задавая координаты $\mathbf{r}'$ точек в системе отсчёта $S'$, связанной с телом, при помощи преобразований Лоренца можно получить координаты точек $\mathbf{r}$ в неподвижной системе $S$. Найдём мгновенную форму движущегося тела в момент времени $t$ в системе $S$. Необходимо так переписать преобразования Лоренца, чтобы радиус-вектор $\mathbf{r}$ зависел от $t$ и $\mathbf{r}'$. Для этого запишем обратные преобразования Лоренца: $$t=\gamma\, (t'+{\mathbf v}{\mathbf r}'),~~~~~~~ {\mathbf r} = {\mathbf r}' + \gamma{\mathbf v} t' + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf r}'),~~~~~~~\Gamma=\frac{\gamma-1}{v^2}=\frac{\gamma^2}{\gamma+1}$$ и исключим из них время $t'$: $$\begin{equation}\label{shape_coord_sys} \mathbf{r}=\mathbf{v}t + \mathbf{r}' - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{r}'). \end{equation}$$ Это соотношение позволяет вычислять положение точек движущегося тела в данный момент времени $t$ в системе $S$.

Первое слагаемое $\mathbf{v}\,t$ в ($\ref{shape_coord_sys}$) указывает на то, что все точки движутся параллельно с постоянной скоростью $\mathbf{v}$. Когда $t=0$, начала систем отсчёта совпадают и форма движущегося тела определяется вторым и третьим слагаемыми ($\ref{shape_coord_sys}$).

✦ При $t=0$ из ($\ref{shape_coord_sys}$) следует, что: $$\begin{equation}\label{shape_coord_sys1} \mathbf{v}\mathbf{r}=\mathbf{v}\mathbf{r}'/\gamma,~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf{r}^2 = \mathbf{r}'^2 - (\mathbf{v}\mathbf{r}')^2, \end{equation}$$ т.е. продольные размеры испытывают лоренцевское сокращение, а поперечные (если $\mathbf{v}\mathbf{r}'=0$) остаются неизменными. Рассмотрим две фиксированные точки тела. Для радиус-векторов к каждой из них запишем соотношение ($\ref{shape_coord_sys}$). Их скалярные произведения в двух системах отсчёта связаны следующим образом: $$\begin{equation}\label{shape_coord_sys2} \mathbf{r}_1\mathbf{r}_2 = \mathbf{r}'_1\mathbf{r}'_2 - (\mathbf{v}\mathbf{r}'_1)(\mathbf{v}\mathbf{r}'_2). \end{equation}$$ Пусть движение происходит в плоскости $(x,y)$. Выберем одну точку на оси $x'$, а вторую — на оси $y'$:

В системе $S'$ их координаты равны: $\mathbf{r}'_1=\{1,0\}$, $\mathbf{r}'_2=\{0,1\}$. Координаты $\mathbf{r}_i=\{x_i,~y_i\}$ этих же точек в неподвижной системе отсчёта получаются из уравнения ($\ref{shape_coord_sys}$): $$\begin{equation} x_1 = 1 - \frac{\gamma v^2_x}{\gamma+1},~~~~y_1 = - \frac{\gamma v_xv_y}{\gamma+1};~~~~~~~ x_2 = - \frac{\gamma v_xv_y}{\gamma+1},~~~~y_2 = 1 - \frac{\gamma v^2_y}{\gamma+1}, \end{equation}$$ где $\gamma=1/\sqrt{1-\mathbf{v}^2}=1/\sqrt{1-v^2_x-v^2_y}$. В результате синус угла $\alpha_x$ между осями $x'$ и $x$ и аналогично для $\alpha_y$ между осями $y'$ и $y$ равны: $$\begin{equation} \sin\alpha_x=\frac{\gamma}{\gamma+1}\,\frac{v_xv_y}{\sqrt{1-v^2_x}},~~~~~~~~~~~~~~~~\sin\alpha_y=\frac{\gamma}{\gamma+1}\,\frac{v_xv_y}{\sqrt{1-v^2_y}}, \end{equation}$$ где модули $\mathbf{r}_1$ и $\mathbf{r}_2$ найдены при помощи второго соотношения ($\ref{shape_coord_sys1}$).

Косинус угла между осями движущейся системы отсчёта находится из соотношения ($\ref{shape_coord_sys2}$): $$\begin{equation} \cos\alpha=-\frac{v_xv_y}{\sqrt{(1-v^2_x)(1-v^2_y)}}. \end{equation}$$

Таким образом, координатные оси системы $S'$ будут ортогональными для наблюдателей в $S$, только если одна из компонент скорости равна нулю. Это происходит при движении вдоль координатной оси.

---

Рассмотрим ещё один любопытный эффект. Пусть относительно "неподвижной" системы $S$ вдоль оси $x$ со скоростью $v$ движется система $S'$. Если наблюдатели в системе $S'$ изучают движение квадрата вдоль оси $y'$, то он для них будет выглядеть сплюснутым в направлении движения (второй рисунок ниже). С этим квадратом можно связать третью систему отсчёта $S"$. Как выглядит этот квадрат для наблюдателей в неподвижной системе $S$? Он движется под углом к оси $x$, и, естественно, превратится в ромб. Однако этот ромб будет иметь наклонными только "горизонтальные" стороны, тогда как вертикальные останутся параллельными осям $y$ и $y'$:

При движении в системе $S'$ параллельно оси $y'$ происходит одновременное перемещение всех точек квадрата вверх. В частности, его нижние вершины (точки $DC$) одновременно поднимаются вверх (второй рисунок). Если в момент времени $t'=0$ точка $D$ находилась в начале системы отсчёта ($x'=y'=0$), то и точка $C$ также будет находится на оси $x'$ ($y'=0$). Однако эта одновременность существует только в системе $S'$.

В системе $S$ между событиями, одновременными в $S'$ ($\Delta t'=0$), проходит время $\Delta t = v\Delta x$. Поэтому, хотя в $S'$ обе вершины одновременно пересекают ось $x'$, в системе $S$ правая вершина $C$ сделает это позже, чем левая вершина $D$. Так как квадрат вместе с системой $S'$ перемещается вдоль оси $x$ со скоростью $v$, он оказывается сжатым по $x$ в $\gamma$ раз. Можно представить две вертикальные направляющие в системе $S'$ по которым скользят стороны квадрата. В системе $S$ расстояние между этими направляющими будет $L_0/\gamma$. Вертикальные линейки в системах $S$ и $S'$ имеют одинаковые длины. Поэтому так как сторона, например, $AD$ в системе $S'$ при движении со скоростью $u'$ сокращается в $\gamma'=1/\sqrt{1-u'^2}$ раз, то и в системе $S$ она будет иметь такую же длину. Однако сторона $BC$ будет отставать от $AD$, в результате чего получится ромб, не сжатый по диагонали, а "скошенный" вертикально вниз ($\lessdot$\,H$_{\ref{h_cube_xy}}$). В частности, если наблюдатель в системе $S'$ поднимет вверх горизонтальный стержень, то для наблюдателей в $S$ этот стержень повернётся.

✦$^*$ Выше в системе $S'$ проекции скорости системы $S"$ равны $u'_x=0$ и $u'_y=u'$. В силу сложения скоростей, скорость $S"$ относительно $S$ равна: $$\mathbf{u}=\bigr\{u_x,u_y\bigr\} = \bigr\{ v,~u'\,\sqrt{1-v^2}\bigr\},~~~~~~~~~~\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}=\gamma\gamma',$$ где $\gamma=1/\sqrt{1-v^2}$, $\gamma'=1/\sqrt{1-u'^2}$. Казалось бы, между системами $S"$ и $S$ должны выполняться обычные преобразования Лоренца: $$t"=\gamma_u\, (t-{\mathbf u}{\mathbf r}),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ {\mathbf r}" = {\mathbf r} - \gamma_u{\mathbf u}\,t + \Gamma_u\,{\mathbf u}\,({\mathbf u}{\mathbf r}).$$ или в компонентах: $$\begin{equation}\label{SxxSyyS} \left\{ \begin{array}{lcll} t" & = & \gamma_u\,(t - u_x x - u_y y),\\ x" & = & x - \gamma_u u_x \,t + \Gamma_u u_x \,(u_x x + u_y y),\\ y" & = & y - \gamma_u u_y \,t + \Gamma_u u_y \,(u_x x + u_y y).\\ \end{array} \right. \end{equation}$$ Однако это не так! Действительно, запишем последовательность преобразований от $S$ к $S'$ и от $S'$ к $S"$: $$\begin{array}{lcllcllcl} t'&=&\gamma\,(t-vx),&~~~~~~x'&=&\gamma\,(x-vt),&~~~~~~y'&=&y,\\ t"&=&\gamma'\,(t'-u'y'),&~~~~~~x"&=&x',&~~~~~~y"&=&\gamma'\,(y'-u't').\\ \end{array}$$ В преобразованиях от $S'$ к $S"$ (вторая строчка) переставлены местами $x'$ и $y'$, так как движение происходит не вдоль оси $x'$, а вдоль оси $y'$. Если подставить $t',x',y'$ из первой строки во вторую ($u'=u_y\gamma$), то для $t"$ получится преобразование такое же, как и в ($\ref{SxxSyyS}$). А вот $x"$ и $y"$ имеют другую зависимость от $t,x,y$: $$\left\{ \begin{array}{lcll} x" & = & \gamma\,(x-u_y\,t)\\ y" & = & \gamma'y-\gamma\gamma_u\,u_y\,(\,t-u_x\,x).\\ \end{array} \right.$$ Это может показаться странным, тем более, что преобразования Лоренца в одномерном случае были получены как раз при помощи композиции преобразований. Почему в одномерном случае последовательные преобразования Лоренца снова приводят к преобразованиям Лоренца, а при движении в плоскости — уже нет?

Ответ связан с достаточно тонкими вопросами математической природы теории относительности. Как мы увидим позже, пространство и время образуют единое 4-мерное псевдоевклидово пространство. В таком пространстве возможны различные преобразования координат и времени, оставляющие интервал $\Delta s^2$ неизменным. В частности, кроме чистых лоренцевских преобразований (т.н. бустов) возможны также обычные 3-мерные повороты декартовых осей. Оказывается, что в общем случае композиция двух бустов эквивалентна бусту и выполнению после этого 3-мерного поворота осей $x",y"$ на некоторый угол $\phi$. Подробно эти вопросы мы будем рассматривать во втором томе.

Лоренцево сокращение

Фотографирование объектов