Система единиц

⚫ Фундаментальная скорость численно совпадает со скоростью света: $$c\,=\,299\,792\,458~м/с.$$ Удобно так определить единицы времени, чтобы $c=1$. Например, можно в качестве новой секунды'' выбрать $1/299\,792\,458$ часть обычной секунды'' в системе СИ. Все формулы теории относительности в этой системе единиц выглядят проще. Например, преобразования Лоренца, в которые добавлена неизменность перпендикулярной к движению координаты ("линии на заборе"), имеют вид: $$\begin{equation} \label{Lorenz_txy} t' = \frac{ t- v\, x}{\sqrt{1-v^2}},~~~~~~~~x' = \frac{ x - v \,t}{\sqrt{1-v^2}},~~~~~~~y'= y. \end{equation}$$ Если в формуле необходимо восстановить константу $c$'', то величины, имеющие в своей размерности время в некоторой степени, умножаются на $c$'' в той же степени. Например, для времени $t$, скорости $u=dx/dt$ и ускорения $a=d^2x/dt^2$ совершаются следующие замены: $$\begin{equation}\label{sys_t_u_a} t\mapsto c\,t,~~~~~~~~~~u\mapsto \frac{u}{c},~~~~~~~~~~a\mapsto \frac{a}{c^2}. \end{equation}$$ Далее мы будем придерживаться системы единиц, в которой $c=1$. Для всех физических величин, возникающих в теории, справедливы простые правила, подобные ($\ref{sys_t_u_a}$). За счёт подходящего выбора системы единиц мы существенно упростим математику, не потеряв'' при этом фундаментальной константы $c$, так как её можно легко восстановить.

Ещё одно упрощение связано с введением обозначений для релятивистских факторов: $$\begin{equation}\label{gamma_Gamma_def} \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Gamma=\frac{\gamma-1}{v^2}. \end{equation}$$ При $v=0$ фактор $\gamma$ равен единице, а при $v\to 1$ стремится к бесконечности. Для малых скоростей $\gamma$ и $\Gamma$ можно разложить в ряд Тейлора: $$\gamma \approx 1+\frac{v^2}{2} + \frac{3\,v^4}{8} + ...,~~~~~~~~~~~~~\Gamma \approx \frac{1}{2}+\frac{3\,v^2}{8} + \frac{15\,v^4}{16} + ...$$ С гамма-факторами часто придётся совершать различные алгебраические манипуляции, поэтому приведём некоторые тождества: $$\begin{equation} v^2 = 1-\frac{1}{\gamma^2},~~~~~~~\Gamma=\frac{\gamma^2}{1+\gamma},~~~~~~~\gamma-\Gamma=\frac{\gamma}{\gamma+1}, \end{equation}$$ проверить которые предлагается в качестве несложного упражнения.