Свойства пространства

Для измерения скорости объектов, наблюдателям необходима линейка. Предполагаем, что она небольшая (наблюдатель в данной точке пространства мыслится как точечный). Для измерения больших расстояний можно использовать радиолокационный метод'' с посылкой и возвращением некого объекта с постоянной скоростью $u$ . Её значение роли не играет, однако должно быть известным. Если движение туда и обратно длится время $\Delta t$ , то пройденное расстояние в одну сторону по определению равно $L=u\,\Delta t/2$ (его неизменность свидетельствует об относительной неподвижности наблюдателей).

Различные пары наблюдателей могут измерить подобным образом расстояния друг между другом. Множество этих расстояний не произвольно и определяется геометрическими свойствами пространства. Его ключевым свойством является размерность. Рассмотрим множество точек, равноудалённых от данной. Это поверхность (сфера), и по определению её размерность на единицу меньше, чем размерность всего пространства. На этой поверхности можно выбрать фиксированную точку и рассмотреть множество точек на поверхности, равноудалённых от центральной. Получится окружность, размерность которой на единицу меньше, чем у сферы. Считается, что даже на микроуровне подобная процедура рано или поздно оканчивается и финальное множество точек конечно. Число выполненных итераций и равняться размерности пространства:

Постулируется, что проведение подобного измерения размерности пространства в различных его точках будет приводить к одинаковым результатам. Другими словами, размерность -- глобальная характеристика пространства. Как известно, наше пространство трёхмерно.

Кроме способа, описанного выше, возможно совместное изучение геометрии пространства и его размерности. Например, если на евклидовой плоскости (2-мерное пространство) есть 4 точки, не лежащие на одной прямой, то расстояния между ними не могут быть произвольными. Выше расстояние

$AD$ зависит от остальных пяти расстояний. Если же эти точки лежат не в плоскости, то подобной связи уже не возникает и все расстояния оказываются независимыми.

Второе важное свойство

пустого'' пространства -- его однородность. Любые эксперименты, проводимые в различных точках пространства (различными наблюдателями), должны давать одинаковые результаты.

Третье свойство пространства -- изотропность. Измеряя скорость объекта, наблюдатели получают не только её величину, но и направление (вектор). Мы будем считать, что

выделенных направлений'' в пространстве нет и все они равноправны.

В силу изотропности пространства, окружность можно разделить на равное число

секторов'', введя понятие угла. При этом полный угол окружности в радианах принимается за

$2\pi$ . Углы и расстояния позволяют изучать свойства геометрии пространства. Например, если сумма углов треугольника, образованного тремя наблюдателями, равна

$2\pi$ , то такое пространство евклидово.

На самом деле однородное и изотропное пространстве может обладать тремя видами геометрии, отличающимися знаком кривизны пространства. Если сумма углов в треугольнике больше

$2\pi$ , то это пространство положительной кривизны, а если меньше -- отрицательной. В силу однородности и изотропности треугольники с одинаковыми сторонами будут иметь одинаковое отклонение от

$2\pi$ , т.е. кривизна постоянна в разных направлениях и точках пространства. Наглядный пример однородного изотропного пространства постоянной положительной кривизны -- это 2-мерное пространство на поверхности сферы.

В первой книге мы будем считать наше пространство 3-мерным и евклидовым. В дальнейшем будет рассмотрен более общий случай. В евклидовом пространстве можно ввести систему координат. Для этого один из наблюдателей объявляется находящимся в

начале'' системы отсчета. С каждым наблюдателем связывается тройка чисел

$\{x,y,z\}$ , которые называются координатами. Они задают его положение в пространстве. Эти три числа

нумеруют'' наблюдателей (или

точки пространства'', в которых они находятся).

В евклидовом пространстве подобную нумерацию можно выбрать таким образом, что квадрат расстояния между любыми двумя точками с координатами

$\{x_1,y_1,z_1\}$ и

$\{x_2,y_2,z_2\}$ будет равен:

$L^2 = (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2.$ Значения координат начала системы отсчёта принимаются нулевыми. Добавление к координатам момента времени

$\{t,x,y,z\}$ позволяет полностью идентифицировать любое событие, происходящее в данный момент времени

$t$ , в некоторой точке пространства

$\{x,y,z\}$ .

Неподвижные наблюдатели Инерциальные системы отсчёта