Фотографирование объектов

Как выглядит релятивистский объект при фотографировании или "визуальном" наблюдении? В силу конечности скорости света мы видим его точки в различном прошлом, если они удалены от нас на различное расстояние. При фотографировании происходит отображение некоторой точки 3-мерного пространства $(x,y,z)$ на 2-мерную поверхность фотографии $(X,Y)$, которая расположена в плоскости $x,y$. Рассмотрим сначала ортогональную проекцию, при которой регистрируются только лучи, падающие перпендикулярно к фотографии. Устройство такого "фотоаппарата" можно реализовать, например, при помощи находящейся перед фотопленкой толстой пластины с множеством цилиндрических отверстий. Их стенки поглощают наклонно падающие лучи и пропускают вертикальные. При ортогональном отображении информация о координате $z$ теряется и преобразование имеет вид: $X=x$ и $Y=y$.

✦ Рассмотрим летящий куб с длиной рёбер $L$ (в связанной с ним системе отсчета). Сфотографируем его при помощи "ортогонального" фотоаппарата. Он фиксирует кванты света, пришедшие на плёнку в данный момент времени (выдержка очень короткая). Однако эти кванты были испущены в разное время в прошлом. Сигналы от точек $A$ и $B$ пройдут одинаковое расстояние (выше средний рисунок). Грань куба, обращённая к плёнке, имеет длину $L\sqrt{1-v^2}$ и будет выглядеть сжатой. Однако от точки $C$ фотон путешествует дополнительное расстояние вдоль ребра (перпендикулярно фотоплёнке), поэтому испускается на время $t=L/c$ раньше (далее, как обычно, $c=1$). В это время куб был левее на $vt=vL$. В нерелятивистском случае ($c=\infty$) при ортогональной проекции куба на фотографии получается квадрат — образ одной грани. Для релятивистского объекта эта грань сжата, но видна также и левая боковая грань, сжатая в $v$ раз. Результат получается такой же, как и при фотографировании неподвижного куба, повернутого на угол $\alpha=\arcsin v$ (см. выше последний рисунок).

✦ Аналогична ситуация при фотографировании летящего шара:

На фотографии неподвижной сферы видны только точки полусферы, обращённой к фотоаппарату. Летящая сфера может выскальзывать вправо "из-под фотона", испущенного точкой $B$, не закрывая ему путь к плёнке. В результате будет видна часть её задней поверхности. Точки же, расположенные на передней по движению поверхности далее некоторой $C$, не видны, так как сфера при движении поглотит испущенные ими фотоны.

Запишем уравнения сферы с центром, удалённым от плёнки на радиус $R$, в системе сферы $(x',y',z')$, и в системе фотоаппарата $(x,y,z)$: $$\begin{equation}\label{kinimimat_shere_2sys} x'^2+y'^2+(z'-R)^2 = R^2,~~~~~~\gamma^2\,(x-vt)^2+y^2+(z-R)^2 = R^2, \end{equation}$$ где во втором случае подставлены преобразования Лоренца. Рассмотрим луч света попадающий на плёнку ($z=0$) в точку $X=x$, $Y=0$ при $t=0$. Его траектория вдоль оси $z$ равна $z=-t$. Подставляя её в уравнение движущейся сферы ($\ref{kinimimat_shere_2sys}$), находим время испускания света: $$\begin{equation} t = v\,(X+vR)-R \,\pm\, \frac{1}{\gamma}\, \sqrt{R^2-(X+vR)^2}. \end{equation}$$ Решение существует, если детерминант (подкоренное выражение) больше нуля, что даёт диапазон изменения координат $X$ сферы на плёнке: $$\begin{equation} X_{min}=-R\, (1+v),~~~~~~~~~~~X_{max}=R\, (1-v). \end{equation}$$ Разность этих двух точек равна $2R$, т.е. диаметру неподвижной сферы. Времена испускания сферой луча этими точками равны $t=-R\,(1+v)$ и $t=-R(1-v)$, что, в силу $z=-t$, даёт координаты на поверхности сферы крайних видимых точек: $z=R\, (1+v)$ и $z=R\, (1-v)$.

В ортогональной проекции и куб, и сфера выглядят повёрнутыми без лоренцевского сжатия. Этот эффект называется вращением Терелла-Пенроуза и является обычным при "ортогональном" фотографировании объёмных тел. В отличии от них, плоская линейка, летящая параллельно плёнке, по-прежнему получается сжатой, в соответствии с лоренцевым сокращением.

---

Более типичным для человеческого восприятия является способ фотографирования при котором реализуется проективное отображение. В этом случае в тонком экране находится единственное маленькое отверстие (диафрагма). Падающие через неё на фотографию лучи создают изображение объекта ($z$ отсчитывается от экрана):

В силу пропорций подобных треугольников связь 2-мерных и 3-мерных координат имеет вид: $$\begin{equation}\label{kinem_proj_photo} X=F\,\frac{x}{z},~~~~~~~~~~Y=F\,\frac{y}{z}, \end{equation}$$ где $F$ — фокусное расстояние между экраном и фотоплёнкой. Изображение в подобной " камере Обскура" оказывается перевернутым, поэтому на рисунке повернута плоскость фотографии (координаты $X,Y$). Благодаря появлению в знаменателе отображения координаты $z$ далёкие объекты выглядят меньше близких, что создаёт эффект перспективы. и основу интуитивного восприятия человеком 3-мерного пространства.

✦ Пусть источник света летит по траектории $x=x_0+vt$, $y=0$, $z=z_0$. В момент времени $\bar{t}$ в диафрагму попадает свет, испущенный в прошлом: $t=\bar{t}-\sqrt{x^2+z^2}$. Подставим $t$ в траекторию, найдём $x$ и при помощи ($\ref{kinem_proj_photo}$), получим закон движения источника по фотоплёнке: $$\begin{equation} X(\bar{t}) = \frac{F}{z_0}\, \gamma^2\, \Bigr(x_0+v\bar{t} - v\sqrt{(x_0+v\bar{t})^2+z^2_0/\gamma^2}\Bigr). \end{equation}$$ Рассмотрим летящий параллельно плёнке стержень с собственной длиной $L_0$. Относительно фотоаппарата он испытывает лоренцево сокращение, имея длину $L=L_0/\gamma$. Положим для двух источников света (начало и конец стержня) $x_{01}=-L_0/2\gamma$ и $x_{02}=L_0/2\gamma$. Тогда его длина $\Delta X=X_2(\bar{t})-X_1(\bar{t})$ на плёнке меняется со временем: $$\Delta X = \frac{F}{z_0}\, \gamma\left[\,L_0- v\sqrt{\Bigr(\frac{L_0}{2}+v\gamma\,\bar{t}\Bigr)^2+z^2_0}+ v\sqrt{\Bigr(\frac{L_0}{2}-v\gamma\,\bar{t}\Bigr)^2+z^2_0} \,\right].$$ При $\bar{t}\to-\infty$ стержень выглядит удлинённым $(F/z_0)\,L_0\gamma\,(1+v)$. Постепенно он укорачивается до лоренцевского значения $(F/z_0)\,L_0/\gamma$, а затем становится ещё короче и при $\bar{t}\to\infty$ его длина равна $(F/z_0)\,L_0\,\gamma(1-v)$.

✦ Рассмотрим также, как выглядят на фотографии объёмные объекты. Пусть уравнение поверхности такого тела в его собственной системе отсчета имеет вид $f(x',y',z')=0$. Момент времени, в который были испущены фотоны от точки $(x,y,z)$, отстоит в прошлое от текущего $\bar{t}$ на величину расстояния от диафрагмы: $t=\bar{t}-\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Подставляя в уравнение поверхности преобразования Лоренца, а затем проективные преобразования $x=zX/F$, $y=zY/F$, получаем: $$\begin{equation} f\Bigr( z\,\gamma\,\Bigr[\frac{X}{F}+v\sqrt{1+(X^2+Y^2)/F^2}\Bigr]- v\,\gamma\,\bar{t},~z \, \frac{Y}{F},~z\Bigr)=0. \end{equation}$$ Проекция на фотографию будет получаться в результате быстрого открытия и закрытия диафрагмы. Для каждой точки фотографии $(X,Y)$ это уравнение необходимо решить относительно $z$. Когда решений несколько, выбирается то, которое соответствует минимальному расстоянию до диафрагмы (остальные точки поверхности будут перекрыты телом). Зная время $t=\bar{t}-z\,\sqrt{1+(X^2+Y^2)/F^2}$, можно, при помощи преобразований Лоренца, получить точку поверхности $(x',y',z')$, которая отображается на фотографию $(X,Y)$.

Ниже приведена подобная "фотография" куба (первый рисунок — неподвижный куб $v=0$, второй — летящий со скоростью $v=0.9$):

Заметим, что любой вертикальный стержень, летящий в горизонтальном направлении, выглядит изогнутым, так как изображения его центра и краёв испускаются в различное время в прошлом, и концы стержня будут загибаться "назад". Летящая сфера на фотографии поворачивается как и в ортогональной проекции.

Таким образом, внешний вид релятивистского мира существенно зависит от того, как мы его наблюдаем. Для получения реалистичной модели фотографии необходимо, кроме проективных моментов, учитывать свойства освещения, подправленные на эффект Доплера и аберрацию, которая также меняет светимость объекта. Заметим, что рассматриваемые выше задержки сигнала, можно также трактовать как аберрацию, "искажающую" положение видимого нами объекта. Рассмотрим этот эффект подробнее.

Сжатие и вращение

Аберрация