Эффект Доплера

При рассмотрении замедления времени, использовались часы, пролетающие со скоростью $v$ непосредственно мимо наблюдателя в $S$ . Аналогично можно измерять темп хода удалённых часов, получая от них периодические сигналы. Рассмотрим сначала одномерный случай, когда часы приближаются к "неподвижному" наблюдателю ${\bf A}$ , находящемуся в системе $S$ . Пусть движущиеся со скоростью $v$ часы каждую "секунду" по собственному времени испускают некоторый сигнал со скоростью $u>v$ (относительно системы $S$ ):

Следуя традиции, сигналы изображены в виде световой волны, однако это может быть любой объект, например, периодически выстреливаемый из пейнтбольного ружья шарик с $u<1$ . Каждый выстрел, с точки зрения наблюдателя ${\bf B}$ системы $S$ , расположенного рядом с часами, происходит в момент времени $t_i$ . Однако удаленный наблюдатель ${\bf A}$ получает информацию о выстреле (в виде шарика с краской) в более поздние моменты времени $\bar{t}_i$ . Рассмотрим два выстрела, первый из которых произошел на расстоянии $R$ от неподвижного наблюдателя ${\bf A}$ , а второй — после того, как "ружьё" пролетело расстояние $L$ : $\bar{t}_1 = t_1 + \frac{R}{u},~~~~~~~~~~~~~\bar{t}_2 = t_2 + \frac{R-L}{u}.$ Учитывая, что в системе $S$ путь $L=v\Delta t$ , получаем: $\Delta \bar{t} = \bar{t}_2-\bar{t}_1 = \Delta t - \frac{L}{u}=\Delta t\, \left(1-\frac{v}{u}\right).$ Для наблюдателя ${\bf B}$ системы $S$ , измеряющего $\Delta t$ , время часов в $S'$ идёт медленнее, и $\Delta t'= \Delta t \sqrt{1-v^2}$ . Поэтому связь между временами выстрелов по часам системы $S'$ и их получением удалённым от них наблюдателем в $S$ имеет вид: $\begin{equation}\label{dopler_delta_t} \Delta \bar{t} = \Delta t'\, \frac{1-v/u}{\sqrt{1-v^2}}. \end{equation}$ Числитель в этой формуле будет возникать и в классической механике, тогда как знаменатель имеет релятивистское происхождение и связан с замедлением хода времени в движущейся системе отсчета.

Полученное выше соотношение играет важную роль при определении скорости $v$ движения удалённого объекта. Пусть некоторый источник, летя со скоростью $v$ , испускает световую волну с частотой $\nu_0=1/\Delta t'$ (по часам источника). Два выстрела из ружья в данном случае — это два последовательных максимума амплитуды напряжённости электромагнитного поля. Удаленный наблюдатель, находящийся в $S$ , получит этот сигнал с частотой $\nu=1/\Delta \bar{t}$ . Световая волна распространяется с фундаментальной скоростью $u=c=1$ .

Рассмотрим две возможности: когда источник удаляется от наблюдателя и когда приближается. В первом случае скорость сигнала и скорость источника имеют противоположный знак $u=-1$ , а во втором — одинаковый $u=1$ , поэтому из ( $\ref{dopler_delta_t}$ ), соответственно, имеем:

$\nu = \nu_0 \, \sqrt{\frac{1-v}{1+v}}$

$\nu = \nu_0 \, \sqrt{\frac{1+v}{1-v}}.$

Подобное изменение частоты света, излучаемого движущимся источником, называют продольным эффектом Доплера. Частота излучения приближающегося к наблюдателю источника больше, чем собственное излучение в системе, связанной с источником. Удаляющийся от наблюдателя источник, наоборот, имеет меньшую частоту. Волны красного света характеризуются относительно меньшей частотой, чем синего. Поэтому спектр свечения удаляющегося источника смещается в красную область ( красное смещение), а приближающегося — в синюю ( синее смещение).

Наглядно эффект Доплера изображен на рисунке выше. Источник света из каждого своего нового положения испускает сферическую волну. В направлении движения новые волны "прижимаются" к старым, поэтому их длина $\lambda$ уменьшается, а частота увеличивается. Для удаляющегося источника все наоборот.

Пусть источник, пролетая "над наблюдателем", в течение короткого момента времени не приближается и не удаляется от него. Тогда единственный вклад в изменение частоты вносит эффект замедления времени $\Delta t'=\Delta {\bar{t}}\,\sqrt{1-v^2}$ , и поэтому:

$\nu = \nu_0 \, \sqrt{1-v^2}.$

В этом случае говорят о поперечном эффекте Доплера. Он, в отличие от продольного эффекта, имеет чисто релятивистскую природу. В качестве упражнения (

$\lessdot$ \,H

$_{\ref{h_Dopler}}$ ) предлагается восстановить константу "

$c$ " в формулах для продольного и поперечного эффектов Доплера.

Объединим формулы для продольного и поперечного эффекта Доплера. Пусть период испускаемых импульсов много меньше времени их путешествия к наблюдателю:

Направим радиус-вектор $\mathbf{R}$ от наблюдателя к источнику в момент испускания первого сигнала. Учитывая, что $\sqrt{1+x}\approx 1+ x/2$ ( $\lessdot$ \,C $_{\ref{c_series}}$ ), разложим расстояние от точки испускания второго сигнала до наблюдателя в ряд по малым значениям $\Delta t$ : $\sqrt{({\bf R}+{\bf v}\Delta t)^2}\approx \sqrt{{\bf R}^2+ 2\,{\bf R}\,{\bf v}\,\Delta t} \approx R + \frac{{\bf R}\, {\bf v}}{R}\,\Delta t = R + {\bf n}\, {\bf v}\,\Delta t,$ где $R=|{\bf R}|$ — расстояние до источника, а ${\bf n}={\bf R}/R$ — единичный вектор в его направлении. Пусть сигналы имеют скорость $u=c=1$ . Тогда время между их приходами для удаленного наблюдателя равно: $\begin{equation}\label{dopler_dt} \Delta \bar{t} = \bar{t}_2-\bar{t}_1 = (t_2 + R + {\bf n}\, {\bf v}\,\Delta t) - (t_1 + R) = \Delta t\, (1+{\bf n}\,{\bf v}). \end{equation}$ Учитывая замедление времени $\Delta t=\Delta t'/\sqrt{1-v^2}$ , приходим к связи интервалов времени между сигналами $\Delta \bar {t}$ , получаемыми в неподвижной системе и испускаемыми в движущейся $\Delta t'$ , и аналогично для частот: $\begin{equation}\label{dopler_nv} \Delta \bar{t} = \Delta t' \,\frac{1+{\bf n}\,{\bf v}}{\sqrt{1-{\bf v}^2}},~~~~~~~~~~~~~~~~ \nu=\nu_0\,\frac{\sqrt{1-{\bf v}^2}}{1+{\bf n}\, {\bf v}}. \end{equation}$ Если источник движется к наблюдателю, то ${\bf n}{\bf v}=-v$ , если удаляется, то ${\bf n}{\bf v}=v$ . При поперечном движении ${\bf n}{\bf v}=0$ .

✦ Рассмотрим одно любопытное проявление эффекта Доплера. Пусть наблюдатель знает расстояние $L$ между двумя удалёнными от него на расстояние $R$ неподвижными маркерами. Движущийся объект излучает свет в момент $t_1$ (по местным часам) при прохождении первого маркера и в $t_2$ при прохождении второго. Наблюдатель получит сигналы в $\bar{t}_1$ и $\bar{t}_2$ . Если использовать их для определения скорости объекта, то, из ( $\ref{dopler_dt}$ ): $\bar{\bf v}=\frac{{\bf L}}{\Delta \bar{t}} = \frac{\bf L}{\Delta t \,(1+{\bf n}\,{\bf v}) } =\frac{\bf{v}}{1+{\bf n}\,{\bf v}},$ Таким образом, "видимая" $\bar{\mathbf v}$ скорость отличается от "реальной" скорости ${\bf v}={\bf L}/\Delta t$ . Слово "реальная" означает, что именно эту скорость регистрируют наблюдатели, находящиеся возле маркеров. Если объект движется к наблюдателю, то модуль его видимой скорости $\bar{v}=v/(1-v)$ может оказаться сколь угодно больше единицы (скорости света). %Подобный эффект видимой сверхсветовой скорости иногда возникает при астрономических наблюдениях.

✦ $^*$ Выше наблюдатель (приёмник сигнала) был неподвижен. В силу принципа относительности, имеет значение только относительная скорость источника и приёмника. Поэтому в полученных выше соотношениях для световых сигналов $(u=1)$ скорость $\mathbf{v}$ равна именно такой относительной скорости независимо от того, "кто считает" себя неподвижным — источник сигнала или приёмник.

Чтобы подчеркнуть отличие подобной ситуации от распространения сигнала в среде в классической физике, напомним вывод эффекта Доплера в акустике. Пусть скорость звука относительно воздуха равна $c$ . Обозначим через $w$ скорость источника (ниже треугольник) относительно воздуха, а через $u$ — скорость приёмника (ниже квадрат). Пусть обе скорости направлены вдоль оси $x$ (на рисунке движутся слева направо):

Рассмотрим два последовательных "хлопка". Первый создаётся источником в момент времени $t_1$ , а второй — в момент времени $t_2$ . К приёмнику эти сигналы приходят в моменты времени $\bar{t}_1$ и $\bar{t}_2$ . После первого хлопка источник успевает сместиться вправо на $w\,(t_2-t_1)$ , а к моменту получения второго хлопка приёмник перемещается от начального положения на $u\,(\bar{t}_2-t_1)$ . В результате (правый рисунок выше): $L - w\,(t_2-t_1)+ u\,(\bar{t}_2-t_1) = c\, (\bar{t}_2-t_2).$ Вычитая аналогичное соотношение $L+u\,(\bar{t}_1-t_1)=c\,(\bar{t}_1-t_1)$ для первого сигнала (выше левый рисунок), получаем: $\frac{t_2-t_1}{\bar{t}_2-\bar{t}_1}=\frac{\Delta t}{\Delta \bar{t}}=\frac{\nu}{\nu_0} = \frac{1-u/c}{1-w/c} \approx 1 - \frac{u-w}{c}+...,$ где последнее приближенное равенство получено при разложении знаменателя в ряд ( $1/(1+x)\approx 1-x$ ), а $\nu_0$ — собственная частота излучения (замедление времени не учитываем). Таким образом, если скорости источника и приёмника относительно воздуха малы, то, с точностью до эффектов первого порядка малости, важна только их относительная скорость $v=u-w$ . Однако для скоростей, близких к скорости звука, это уже не так, и существенную роль играет, кто и как движется относительно среды (источник или приёмник). В этом состоит существенное отличие релятивистского эффекта Доплера от классического эффекта распространения сигнала в среде.

Парадокс близнецов

Эффект Доплера и ''парадокс'' близнецов