Время

Рассмотрим два события (например, вспышки света), одновременные в системе $S'$ и происходящие в различных точках пространства. Запишем ещё раз преобразования Лоренца для приращений: $$\begin{equation}\label{delta_lorenz1} \Delta t' = \frac{\Delta t- v\Delta x}{\sqrt{1-v^2}},~~~~~~~~~~~~~~\Delta x' = \frac{\Delta x - v\Delta t}{\sqrt{1-v^2}}. \end{equation}$$ Одновременность означает, что $\Delta t'=0$ ($t'_1=t'_2$). Поэтому из первой формулы ($\ref{delta_lorenz1}$) имеем: $\Delta t = v\Delta x$. Если $\Delta x=x_2-x_1>0$, то тогда и $\Delta t=t_2-t_1>0$. Это означает, что, с точки зрения "неподвижного" наблюдателя в $S$, левое событие происходит раньше правого ($t_2>t_1$):

Понятие одновременности событий относительно и то, что одновременно для одного наблюдателя, не будет одновременным для другого. В частности, сферическая волна у каждого наблюдателя будет своя, так как сфера — это множество равноудалённых от центра одновременно наблюдаемых точек.

В силу принципа относительности все инерциальные системы отсчёта равноправны. Поэтому события, одновременные в системе отсчёта $S$, будут также выглядеть неодновременными для наблюдателей в системе $S'$. Из преобразований Лоренца при $\Delta t=0$ следует, что $\Delta t'=-v\Delta x'$.

Относительность одновременности приводит к невозможности синхронизации часов в различных инерциальных системах отсчёта во всём пространстве. Описанная в первой главе процедура синхронизации времени в рамках одной инерциальной системы подразумевает, что все часы в ней одновременно показывают одно и то же время. Однако с точки зрения другой инерциальной системы эти же часы показывают различное время (по сравнению с часами, синхронизированными в этой системе).

Неодновременность тем сильнее, чем больше скорость системы $S'$ и расстояние между событиями. Для восстановления в формуле $\Delta t=v\,\Delta x$ константы "$c$" необходимо сделать предложенные ранее замены: $$c \Delta t = \frac{v}{c}\,\Delta x,~~~~~~~~~или~~~~~~~~~~\Delta t = \frac{v}{c^2}\,\Delta x.$$ В классической механике $\Delta t=\Delta t'=0$, т.е. одновременность — понятие абсолютное, что сразу влечет за собой $c=\infty$.

---

Другой любопытный эффект связан с замедлением темпа течения времени в движущейся системе. Пусть $\Delta x'=0$, т.е. в $S'$ часы неподвижны и движутся относительно $S$, меняя своё положение: $\Delta x= v\Delta t$. В этом случае из ($\ref{delta_lorenz1}$) имеем:

Принято при помощи нулевого индекса обозначать интервал времени, измеренный "движущимися" часами $\tau_0=\Delta t'$, а тот же интервал с точки зрения "неподвижного" наблюдателя — без индекса ($\tau=\Delta t$): $$\begin{equation}\label{time_delay} \tau = \frac{\tau_0}{\sqrt{1-v^2}}. \end{equation}$$ Интервал времени $\tau_0$, измеренный движущимися часами, называется собственным временем этих часов. Так как $v<1$, то $\tau>\tau_0$, и все выглядит так, что движущиеся часы идут медленнее неподвижных.

Рассмотрим, например, "световые часы", в которых импульс света периодически отражается от двух зеркал. По собственному времени часов их высота и время "тика" связаны следующим образом: $L=c\tau_0$. Для неподвижного наблюдателя этот "тик" происходит по гипотенузе с той же скоростью света. По теореме Пифагора можно написать:

При $c=1$ получаем ($\ref{time_delay}$). Один тик на движущихся часах $\tau_0$, с точки зрения неподвижного наблюдателя, будет длиться дольше, так как свет со скоростью $c$ проходит более длинный путь $c\tau$. Любые процессы в $S'$ идут с одним темпом, поэтому все они будут выглядеть из $S$ медленнее.

Реально или нет подобное замедление времени? Оно реально ровно настолько, насколько реальны наши способы измерения времени и процедуры согласования единиц измерения. Летящий мимо объект будет "жить дольше" с точки зрения неподвижных наблюдателей. Этот эффект наблюдается для короткоживущих элементарных частиц. Если они движутся, то их среднее время жизни увеличивается. Естественно, замедление времени относительно. С точки зрения наблюдателей в системе $S'$ все часы в $S$ будут идти медленнее. Инерциальные системы отсчета равноправны, и любые процессы в них выглядят симметричным образом. В таком разнообразии мнений нет никакой странности, как неудивительно их разнообразие по поводу вкуса сыра рокфор.

---

Разберемся подробнее, что видит наблюдатель, связанный с движущимися часами. Для наглядности представим, что в системе $S$ на большом расстоянии друг от друга вдоль оси $x$ расставлены "космические станции". На здании каждого такого космопорта висят синхронно идущие часы. Рисунок ниже приведен для наблюдателей в системе $S$:

Космический корабль, пролетая мимо первых часов в точке $x=0$, синхронизирует с ними своё время. В результате часы на корабле и на станции показывают одно значение, например, полночь (первый рисунок). Пока движущиеся друг относительно друга наблюдатели на корабле и станции находятся рядом, каждый из них регистрирует более медленное тиканье "чужих" часов по сравнению со своими. Если "тик" движущихся часов конечен для его измерения, вообще говоря, требуется пара неподвижных синхронизированных часов. Будем считать, что на корабле они есть.

Что произойдёт, когда корабль достигнет следующей станции? Для космонавта часы космопорта по-прежнему идут медленнее. Тем не менее, они покажут более позднее время, чем часы на корабле. Сравнение показания часов в одной точке пространства, в отличие от темпа их хода, процедура абсолютная. Поэтому сотрудники космопорта тоже будут наблюдать отставание корабельных часов.

Рассмотрим математику этого эффекта. В преобразованиях Лоренца $$t'=\frac{t-vx}{\sqrt{1-v^2}},~~~~~~~~~~~x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2}}$$ положим координату космонавта равной $x'=0$. Его уравнение движения в системе $S$ имеет вид $x=vt$. Время, прошедшее после совпадения начал отсчета $x=x'=0$, в системе $S'$ меньше, чем в $S$: $$\begin{equation}\label{time_future} t' = \frac{t-v (vt)}{\sqrt{1-v^2}} = t\,\sqrt{1-v^2} < t. \end{equation}$$ С другой стороны, часы, неподвижные в $S$ ($\Delta x=0$), идут с точки зрения космонавта медленнее (см. ($\ref{delta_lorenz1}$)): $$\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-v^2}} > \Delta t.$$ Таким образом, хотя все конкретные часы в системе $S$ идут медленнее с точки зрения наблюдателя в $S'$, разные часы вдоль его траектории показывают время, ушедшее вперед. Если космонавт надумает сойти на некоторой станции, резко затормозив, то после остановки он увидит, что часы на космопорте уже тикают синхронно с его собственными часами, однако по-прежнему показывают для него более позднее время. В результате космонавт попадёт в "будущее" неподвижной системы $S$.

---

В чем физическая причина такого странного с точки зрения космонавта поведения часов в "неподвижной" системе отсчета? Для ответа потребуется эскадра космических кораблей, летящих вдоль оси $x$ друг за другом. Пусть центральный корабль $x'=0$ синхронизует свои часы с часами на космопорте $x=0$ (рисунок с точки зрения $S'$):

Одновременно с этим событием (в системе $S'$) космонавты на других кораблях эскадры наблюдают различную картину в зависимости от того, спереди или сзади они летят от центрального корабля. Так как время внутри эскадры единое, совпадение начал отсчета (центральный корабль) происходит для всех кораблей в одно время $t'=0$. Из преобразований Лоренца имеем $t = v\,x$, поэтому космопорты, находящиеся сзади ($x<0$), будут для наблюдателей в $S'$ выглядеть в прошлом ($t<0$), а космопорты, находящиеся спереди по движению, — в будущем. Когда центральный корабль достигает новых космопортов, время на них оказывается будущее, хотя их часы тикают медленнее. Их замедленный ход не успевает компенсировать начальный "сдвиг в будущее", см. ($\ref{time_future}$). На замедление времени всегда "накладывается" эффект относительности одновременности. Настоящее для наблюдателей в одной системе является объединением их будущего и прошлого с точки зрения другой системы.

✦ Любопытно проанализировать, что произойдет, если эскадра решит очень быстро остановиться, например, при $t'=0$. Понятно, что в неподвижной системе отсчета $S$ такая "одновременная остановка" не будет выглядеть одновременной: $t=v\,x$. Сначала начнёт тормозить последний корабль эскадры, затем центральный, и позже всех включит двигатели флагманский корабль. Однако внутри эскадры расстояние между кораблями всё время выдерживается неизменным. Поэтому когда скорость центрального корабля относительно $S$ будет нулевой, такая же скорость должна быть и для неподвижных относительно него других кораблей. После остановки корабли оказываются в системе $S$ и должны воспринимать окружающую действительность так же, как и все наблюдатели в $S$, для которых часть кораблей уже стоит, а часть всё ещё движется. Для объяснения такого " парадокса остановки" необходимо рассмотреть ускоренные системы отсчета, что будет сделано в главе 6. Сейчас же мы проанализируем более простой и известный "парадокс" близнецов.

Кинематика

Парадокс близнецов