Преобразования Лоренца

Чтобы найти общий вид функций $f$ и $g$, связывающих результаты наблюдения события в двух инерциальных системах отсчета $S$ и $S'$: $$\begin{equation}\label{Coord} t'=f(t,x,v),~~~~~~~~~~~~~~x'=g(t,x,v), \end{equation}$$ начнём задавать последовательность аксиом, которым они удовлетворяют. Далее предполагается, что ($\ref{Coord}$) -- это непрерывные, дифференцируемые и взаимно-однозначные преобразования. Это математическое требование очень естественное. Хотя оно и сужает класс возможных функций, тем не менее, оставляет его более чем широким.

В качестве первой физической аксиомы возьмём определение инерциальных систем отсчёта:

Аксиома I. Если частица движется равномерно и прямолинейно в системе $S$, то её движение будет равномерным и прямолинейным и в системе $S'$.

Несмотря на достаточно общий характер этого утверждения, оно полностью фиксирует функциональную зависимость преобразований от координат и времени: $$\begin{equation}\label{lorenz_line0} t'=\frac{A(v)\,t+B(v)\,x}{1+a(v)\,t+b(v)\,x},~~~~~~~~~x'=\frac{D(v)\,x+E(v)\,t}{1+a(v)\,t+b(v)\,x}. \end{equation}$$ Такие дробно-линейные преобразования с одинаковым знаменателем называются проективными. В геометрии это наиболее общие преобразования, переводящие уравнение прямой $x=x_0+u\,t$ снова в прямую $x'=x'_0+u'\,t'$ $\lessdot\,$(H). Следующая аксиома

Аксиома II. Если скорости двух свободных частиц равны в системе $S$, то они будут равны и в системе $S'$,

приводит к тому, что преобразования координат и времени должны быть линейными функциями $\lessdot\,$(H): $$\begin{equation}\label{lorenz_line} t'= A(v)\, t + B(v)\, x,~~~~~~~~~~~~~~ x'= D(v)\, x + E(v)\, t, \end{equation}$$ где коэффициенты $A,B,D,E$ зависят от относительной скорости систем отсчёта $v$, но не зависят от $t$ и $x$. Вывод проективных преобразований $\lessdot\,$(H). можно пока опустить, считая, что линейность ($\ref{lorenz_line}$), следующая из первых двух аксиом, естественна'' сама по себе. Заметим, что в ($\ref{lorenz_line0}$), ($\ref{lorenz_line}$) зафиксировано начало отсчета времени таким образом, чтобы при $t=t'=0$ начала систем совпадали: $x=x'=0$.

В силу процедуры согласования единиц скорости мы считаем, что точка $x'=0$ системы $S'$ движется относительно $S$ по траектории: $x=vt$. Подставляя $x'=0$, $x=v\,t$ во второе уравнение ($\ref{lorenz_line}$), получим $E=-v\,D$. Аналогично $x=0$, $x'=-v\,t'$ даёт $E=-v\,A$ или $A=D$. Поэтому введём две функции относительной скорости $A=D =\gamma(v)$ и $\sigma(v)=-B/A$, при помощи которых запишем преобразования в следующем виде: $$\begin{equation}\label{LorentzTransf2} \left\{ \begin{array}{lcl} t'&=& \gamma(v)\, \bigr[\, t - \sigma(v)\, x \,\bigr],\\[2mm] x'&=& \gamma(v)\, \bigr[\, x - v\,t \,\bigr]. \end{array} \right. \end{equation}$$

Третья аксиома выражает принцип относительности и является ключевой как в теории относительности, так и в классической механике:

Аксиома III. Инерциальные системы отсчета равноправны.

Рассмотрим три системы $S_1$, $S_2$ и $S_3$. Пусть $S_2$ движется относительно $S_1$ со скоростью $v_1$, а $S_3$ относительно $S_2$ со скоростью $v_2$:

Обозначим через $t_1$ и $x_1$ время и координату события, наблюдаемого в $S_1$, и аналогично для $S_2$ и $S_3$. Запишем преобразования: $$\left\{ \begin{array}{lcl} t_2&=& \gamma_1\, [ t_1 - \sigma_1\, x_1 ],\\ x_2&=& \gamma_1\, [ x_1 - v_1\,t_1 \,], \end{array} \right. ~~~~~~~~~~~~~~ \left\{ \begin{array}{lcl} t_3&=& \gamma_2\, [ t_2 - \sigma_2\, x_2 ],\\ x_3&=& \gamma_2\, [ x_2 - v_2\,t_2 \,], \end{array} \right.$$ где $\gamma_1=\gamma(v_1)$, $\sigma_1=\sigma(v_1)$, и т.д. Подставим $\{t_2,x_2\}$ из первой системы во вторую: $$\left\{ \begin{array}{lclcl} t_3&=& \gamma_1\gamma_2\, [ (1+v_1\sigma_2)\,t_1\,- (\sigma_1+ \sigma_2)\, x_1] &=& \gamma_3 \,[t_1-\,\sigma_3\, x_1],\\ x_3&=& \gamma_1\gamma_2\, [ (1+v_2\sigma_1)\,x_1 - (v_1+v_2)\,t_1~] &=& \gamma_3 \,[x_1-v_3\, t_1]. \end{array} \right.$$ Вторые равенства в уравнениях являются преобразованием между системами $S_1$ и $S_3$, движущимися с относительной скоростью $v_3$. Эти уравнения должны выполняться при любых $t_1$ и $x_1$. Приравняем коэффициенты при $t_1$ в первом уравнении системы и при $x_1$ во втором: $$\begin{equation}\label{Res1Axiom6} \left\{ \begin{array}{l} \gamma_3 = (1+v_1\,\sigma_2)\, \gamma_1\gamma_2,\\ \gamma_3 = (1+v_2\,\sigma_1)\, \gamma_1\gamma_2, \end{array}\right. \end{equation}$$ откуда $1+v_1\,\sigma_2=1+v_2\,\sigma_1$, или: $$\begin{equation} \frac{\sigma(v_1)}{v_1} = \frac{\sigma(v_2)}{v_2} = \alpha = const. \end{equation}$$ Так как скорости $v_1$ и $v_2$ -- произвольные независимые величины, то $\alpha$ -- это некоторая константа, единая для всех инерциальных систем отсчета.

✦ Равноправие систем приводит также к тому, что переход от $S$ к $S'$ ($\ref{LorentzTransf2}$) будет таким же, как и от $S'$ к $S$. Другими словами, обратное преобразование с точностью до замены $v\mapsto -v$ должно совпадать с прямым. Например, для координаты [см. второе уравнение ($\ref{LorentzTransf2}$)]: $$x = \gamma(-v)\, \bigr[\,x'+v\, t'\,\bigr] = \gamma(-v)\,\gamma(v)\,\bigr[\,1- \alpha\,v^2\, \bigr]\,x,$$ где во втором равенстве подставлено $t'$, $x'$ из прямого преобразования ($\ref{LorentzTransf2}$) и учтено, что $\sigma(v)=\alpha\,v$. Ð’ результате: $$\begin{equation}\label{ResInverse} \gamma(-v)\,\gamma(v)=\frac{1}{1-\alpha\,v^2}. \end{equation}$$

Для окончательного определения $\gamma(v)$ потребуется ещё одна аксиома:

Аксиома IV. Пространство в инерциальных системах отсчёта изотропно.

Это означает, что при обращении осей систем, т.е. $x \mapsto -x$ и $x' \mapsto -x'$, преобразования ($\ref{LorentzTransf2}$) не должны изменить своего вида. При таком обращении скорость меняет знак, $v \mapsto -v$, поэтому для ($\ref{LorentzTransf2}$): $$-x'= \gamma(-v)\, [ -x + v\,t ].\\ $$ Оно снова перейдёт в ($\ref{LorentzTransf2}$), только если $\gamma(v)$ будет четной функцией скорости: $\gamma(-v)=\gamma(v)$. Это позволяет найти $\gamma(v)= 1/\sqrt{ 1-\alpha\,v^2}$. Положительный знак при извлечении корня выбран, чтобы при нулевой скорости получались тождественные преобразования, т.е. $\gamma(0)=1$.

В главе 3 будет рассмотрен эффект сокращения длины стержня при одновременном ($\Delta t=0$) измерении координат его начала и конца. Результат этого измерения $\Delta x'=\gamma(v)\,\Delta x$ не должен зависеть от направления скорости, откуда также следует чётность функции $\gamma(v)$.

Числовое значение константы $\alpha$ и её знак без дополнительных аксиом или экспериментов зафиксировать нельзя. Логически возможны три теории с $\alpha>0$, $\alpha=0$ и $\alpha<0$. Все они имеют право на существование и не содержат противоречий, хотя случай $\alpha<0$ имеет довольно необычные физические следствия. Случай $\alpha\neq 0$ более общий, чем $\alpha=0$, так как содержит последний в пределе малых значений $\alpha$.

Таким образом, функциональная форма преобразований между наблюдателями двух инерциальных систем отсчёта полностью определяется с точностью до константы $\alpha$. Выяснение её значения и знака -- это уже вопрос экспериментальный. Фундаментальная константа $\alpha$ могла оказаться и нулевой, однако в нашем мире она больше нуля.

✦ Удобно выразить $\alpha$'' через константу $c$'', имеющую размерность скорости: $\alpha = 1/c^2$. Ð’ результате: $$\begin{equation} t'=\frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},~~~~~~~~~~~~~ x'=\frac{x-v\,t}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \end{equation}$$ Эти преобразования удовлетворяют сформулированным выше четырем аксиомам и положительному выбору константы $\alpha$.

Для аксиоматического определения значения константы фундаментальной скорости $c$'' необходимы дополнительные аксиомы. Так, классическая механика также опирается на аксиомы (I)-(IV), однако добавляет к ним следующее утверждение:

Аксиома V. Если два события одновременны в одной системе отсчета, то они будут одновременны и в любой другой.

Одновременность событий ($\Delta t'=0$, следовательно $\Delta t=0$) приводит к значению $c=\infty$ (подробнее см. главу 3) и преобразованиям Галилея: $$t'=t,~~~~~~~~~~~~~x'=x-v\,t.$$

Аксиомы (I)-(V) полностью определяют функции $f(t,x,v)$ и $g(t,x,v)$. Если отбросить пятую аксиому, то количество информации уменьшится и мы получим неполную теорию. Однако эта неполнота замечательным образом ограничивается только появлением неопределяемой константы $c$'', т.е. приводит к параметрически неполной теории. В этом смысле пятая аксиома обладает минимальным количеством содержательной информации.

✦ Заметим, что мы не только вывели преобразования Лоренца, но также продемонстрировали, что

теория относительности непротиворечива, если непротиворечива классическая механика.

Это следует из того, что преобразования Лоренца и Галилея основаны на одинаковом подмножестве аксиом. Та или иная теорема теории выводится из некоторой группы аксиом. Если любые подобные выводы в классической механике не приводят к противоречиям, то они тем более не будут приводить к противоречиям в теории относительности, которая использует меньше аксиом. Когда одна из теорий (классическая механика) непротиворечивым образом добавляет новую аксиому, то появляется возможность получать новые теоремы, уменьшающие произвол исходной ограниченной системы аксиом (например, доказать, что $c=\infty$). Поэтому логических противоречий теория относительности содержать не может, так как непротиворечивы её исходные постулаты.

Инерциальные системы отсчёта

Система единиц