Принцип параметрической неполноты

Трудно переоценить значение фундаментальных констант $c$ и $\hbar$ в современной физике. Они определяют структуру основных формул релятивистской и квантовой теорий. Их числовые значения задают масштабы явлений, на которых оказываются существенными соответствующие поправки к классической механике. С фундаментальными константами связано множество вопросов, полные ответы на которые неизвестны:

Почему мы не можем вычислить значения фундаментальных констант, не обращаясь к эксперименту?
Почему фундаментальные константы появляются в более общих физических теориях, но отсутствуют в классической физике?
Возможны ли фундаментальные константы, отличные от $c$ и $\hbar$ , и соответствующие им обобщения классической механики?
Конечен ли набор возможных фундаментальных констант?
Не изменяются ли "константы" со временем?

Уточним, что понимается далее под фундаментальными физическими константами. Физика состоит из трех тесно связанных между собой частей:

Структура: электрон, кварк, атом,...;
Взаимодействие: электромагнитное, сильное,...;
Механика: релятивистская, квантовая.

Под термином "механика" мы понимаем не "механические" явления классической физики, а общие свойства пространства и времени, влияние измерения на объекты и т.д., то есть всё то, что лежит в основе всех физических теорий. Механика задает законы, которым подчиняются любые структурные единицы и взаимодействия между ними. Она служит фундаментом, на который опираются две другие части физического здания. Например, принципы теории относительности ограничивают класс возможных взаимодействий. Одно и то же взаимодействие возникает между различными структурными единицами, многообразие которых и составляет основу нашего мира.

Условимся понимать под фундаментальными константами те параметры физики, которые определяют структуру формул теорий, применимых ко всем формам материи и видам взаимодействий. Эти константы задают свойства механики.

Сейчас известны три такие константы: фундаментальная скорость $c$ , постоянная Планка $\hbar$ , и, по-видимому, константа гравитации $G_{грав}$ . Заряд электрона, массы элементарных частиц и другие важнейшие параметры не являются фундаментальными в указанном выше смысле.

Так, к примеру, говоря о константе " $c$ ", обычно употребляют термин "скорость света". При этом под одним названием объединяют две принципиально различные константы: скорость распространения электромагнитных волн в вакууме " $c_{эл/м}$ " и фундаментальную скорость " $c$ ", определяющую структуру теории относительности. То, что скорость электромагнитной волны " $c_{эл/м}$ " совпадает по значению с фундаментальной скоростью " $c$ ", является свойством одного из существующих взаимодействий. Константа " $c$ " определяет релятивистскую теорию, справедливую для любых форм материи. В частности, чтобы измерить значение фундаментальной скорости, нет необходимости проводить электродинамические эксперименты. Достаточно сравнить результаты наблюдений в двух системах отсчета и из преобразований Лоренца определить значение " $c$ ". Даже если бы фотон имел отличную от нуля массу и не существовало других безмассовых частиц, теория относительности с константой " $c$ " от этого бы не изменилась. Вообще, как отмечалось во введении, роль световых сигналов при основании теории относительности сильно преувеличена.

Поэтому параметр " $c$ " называется фундаментальной физической константой. В то же время " $c_{эл/м}$ ", совпадая с ней численно, является лишь параметром одного из взаимодействий, связанным с нулевой массой фотона. В этом смысле " $c_{эл/м}$ " фундаментальной не является. Естественно, определение "не фундаментальная" не должно умалять важности " $c_{эл/м}$ ".

В классической механике фундаментальные константы отсутствуют. Точнее, их значение тривиальным образом фиксировано ( $0$ или $\infty$ ). Гравитационная константа $G_{грав}$ , как и скорость света, присутствует в классической физике, но свой фундаментальный смысл приобретает только в современных теориях пространства и времени.

Механики, обобщающие классическую теорию, не отменяют, а лишь ограничивают область её применимости. Если фундаментальные константы устремить к их предельным значениям, то более общие теории переходят в классическую физику. В этом состоит принцип соответствия. Он, естественно, не означает, что любое явление имеет свой классический аналог. Однако преемственность новых теорий достаточно высокая, и всегда можно сформулировать условия "плавного перехода" от новых концепций к старым. Формальное изменение значений фундаментальных констант (их уменьшение или увеличение) является основным инструментом такого перехода.

Итак, почему возникают фундаментальные константы и соответствующие им более общие механики? Ответ на этот вопрос связан с аксиоматическим анализом оснований физических теорий. В математике аксиоматический метод используется со времен Евклида, однако вопросам аксиоматики стали уделять серьезное внимание только после появления неевклидовой геометрии и парадоксов в теории множеств.

Более двух тысячелетий продолжались попытки доказательства "пятой" аксиомы о параллельных в геометрии Евклида. Для этого выводилось множество теорем, не зависящих от этой аксиомы, - "идеальная геометрия" по терминологии Бояи. В результате возникла новая теория - неевклидова геометрия.

В отличие от геометрии Евклида, в ее формулах появляется константа $\lambda$ - кривизна пространства, значение которой нельзя найти из исходных аксиом. При $\lambda \to 0$ формулы неевклидовой геометрии переходят в соответствующие теоремы евклидовой теории. Более того, добавление пятой аксиомы автоматически фиксирует значение $\lambda=0$ .

Неевклидова геометрия оказалась, по-видимому, первой теорией, в которой фундаментальная константа $\lambda$ , определяющая её структуру, возникла в результате уменьшения исходной аксиоматической информации. Аналогичная ситуация и в физике.

✦ Система аксиом любой теории должна обладать тремя свойствами: быть независимой, непротиворечивой и полной (стр.\,\pageref{axioms_3_property}). Полнота означает, что любое утверждение можно доказать или опровергнуть при помощи аксиом. В этих терминах классическая физика, по отношению к фундаментальным константам, является полной, тогда как релятивистская теория - нет. Действительно, утверждения типа $c$ =299792458 м/с или $c=\infty$ дедуктивно нельзя ни доказать, ни опровергнуть (не ставя, конечно, соответствующего эксперимента). В то же время, в классической механике "теорема" $c=\infty$ следует из аксиомы абсолютности времени (пятая аксиома из раздела " Преобразования Лоренца", стр.\,\pageref{sec_transf_Lorenz}).

То, что в теории возникает константа, значение которой нельзя вывести из исходных аксиом, мы называем параметрической неполнотой теории. Неполнота возникает потому, что в урезанной системе аксиом содержится меньше информации, чем в исходной. Уменьшение количества информации неизбежно приводит к неполноте в выводах теории. Эта неполнота может быть минимальна в том смысле, что все функциональные соотношения теории выводятся из аксиом, и лишь конечный набор констант остаётся неопределяемым. Безусловно, термин "аксиоматическая информация" требует более аккуратного определения.

Классическая механика после аксиоматического описания основных понятий (пространство, время, масса, состояние, и т.д.) становится достаточно формальной математической теорией, система аксиом которой должна удовлетворять условию полноты.

Основываясь на классической механике, можно дедуктивным образом построить набор параметрически неполных теорий. Для этого необходимо отказаться от некоторого подмножества аксиом классической физики. В этих теориях (механиках) роль фундаментальных физических констант будут играть параметры, происхождение которых связано с неполнотой, возникшей в результате уменьшения исходной информации. При предельном значении этих констант мы снова приходим к классической теории. Получается как бы принцип соответствия наоборот:

из классической физики, отказываясь от некоторых аксиом, можно выводить новые, более общие теории.

Подобный дедуктивный путь создания "новой физики" является исключительно заманчивым. Естественно, не все возможные теории должны реализовываться в нашем мире. Однако при помощи принципа параметрической неполноты можно строить теории, которые уже содержатся в аксиоматическом базисе классической физики (получаются из некоторого подмножества аксиом классической механики). Не исключено, что подобные "деформации" исходных логических структур неизбежно должны возникать в реальности и при достаточно точных измерительных возможностях рано или поздно будут обнаружены. Теорию, которая удовлетворяет принципу соответствия, нельзя опровергнуть. Эксперимент способен её только подтвердить. Изменением константы, лежащей в основе такой теории, всегда можно отодвигать её эффекты в область, находящуюся за пределами экспериментальной точности.

В последнее время широко распространился жаргонный термин "Теория Всего", под которым подразумевают создание единой теории, охватывающей все известные взаимодействия. Естественно, параллельно с этим необходимо строить "Теорию Всего" относительно фундамента физического здания, т.е. механик, ограничивающих свойства этих взаимодействий. С точки зрения принципа параметрической неполноты такая

Теория Всего будет построена из Ничего.

Этим "Ничего" является то, что остается в аксиоматике классической физики, когда все аксиомы, имеющие минимальную аксиоматическую информацию, отброшены, и все фундаментальные константы (в силу параметрической неполноты) возникли в такой обобщенной механики.

Аксиоматическое построение теорий

За границей известного