За границей известного $^*$

Картина без рамки - лишь кусок холста, свёрнутый в рулон. Более полное понимание физической теории возникает, когда становятся ясными границы её применимости. Мы используем неформальный аксиоматический подход к физическим теориям. Основываясь на нём, попробуем примерить к замечательной картине "Теория относительности" различные рамки.

Наблюдатели, описанные в первых разделах предыдущей главы, являются "бестелесными". Они проводили измерения, не изменяя свойств частиц. На самом деле, это невозможно в принципе. Если объекты имеют очень маленькую массу, то их свойства подчиняются квантовым (волновым) закономерностям и определяются постоянной Планка $\hbar$. Объединение этих представлений с миром больших скоростей приводит к квантовой теории поля, лежащей в основе современных методов анализа физики элементарных частиц. В основе этой теории лежат сразу две фундаментальные константы $\hbar$ и $c$.

Однако даже в рамках квантовой теории поля, в качестве основного принципа, используется дифференцируемость величин, зависящих от $x$ и $t$. Мы считаем, что пространство и время - непрерывные и "гладкие". Тем не менее, необходимо в любой момент быть готовым к ослаблению этого базового принципа. На микроуровне свойства пространства и времени могут существенно отличаться от привычных представлений.

✦ Вторая аксиома, которую мы применили для вывода преобразований Лоренца, несмотря на свою очевидность, выглядит несколько искусственной. Она необходима была для обоснования линейности преобразований. Можно отказаться от этой аксиомы, положив в основу теории дробно-линейные (проективные) преобразования: $$t'=\frac{A(v)\,t+B(v)\,x}{1+a(v)\,t+b(v)\,x},~~~~~~~~~x'=\frac{D(v)\,x+E(v)\,t}{1+a(v)\,t+b(v)\,x}.$$ Групповой характер проективных преобразований отмечал Софус Ли, а в применении к задаче об инерциальных наблюдателях их впервые записали Филипп Франк и Герман Роте в 1911 г. \cite{FrankRothe1911}. Однако сингулярность, возникающая при обращении знаменателя в ноль, вынудила их отказаться от дальнейшего анализа этой теории. Сейчас эволюция Вселенной и существование в ней выделенного момента времени, когда "Всё возникло", стали основой космологических представлений. Поэтому наличие сингулярности является, на самом деле, достоинством таких преобразований. В учебной литературе они известны благодаря приложению к книге \cite{Fock}.

✦ Сравнительно недавно \cite{Manida1999},\cite{Stepanov1999} при помощи аксиом, аналогичных тем, которые использовались в разделе $\ref{sec_transf_Lorenz}$, были получены явные выражения для функций скорости, входящих в дробно-линейные преобразования, и проанализирован их физический смысл. При этом, кроме фундаментальной скорости $c$, возникла ещё одна константа $\lambda$: $$t'=\frac{\gamma\, (t- vx/c^2)}{1 + \gamma \lambda \,x v/c - (\gamma-1)\lambda \,c t},~~~~~~ x'=\frac{\gamma\, (x-vt)} {1 + \gamma \lambda \,x v/c - (\gamma-1)\lambda \,c t},$$ где $\gamma=1/\sqrt{1- v^2/c^2}$. В числителе этих соотношений находятся преобразования Лоренца, а знаменатель обращается в единицу при стремлении $\lambda$ к нулю. Это же происходит при относительно малых расстояниях и временах, удалённых от точки начальной синхронизации часов $x=x'=0$ при $t=t'=0$. Однако, когда мы переходим к космологическим масштабам, знаменатель начинает играть существенную роль.

Физический смысл подобного обобщения стандартной релятивистской теории достаточно прост. До сих пор предполагалось, что наше пространство плоское (евклидово). Однако базовые геометрические принципы однородности и изотропии допускают возможность существования пространств с постоянной кривизной. Если в таком пространстве получить преобразования между инерциальными наблюдателями, то они окажутся дробно-линейными, а константа $\lambda$ будет иметь смысл кривизны пространства \cite{Stepanov2000}. При этом между двумя наблюдателями в одной системе отсчёта преобразования будут иметь вид: $$X=\frac{x-R}{1-\lambda^2 R x}, \quad \quad Y=\frac{y\sqrt{1-(\lambda R)^2}}{1-\lambda^2 R x}, \quad \quad \frac{1+\lambda c\,T}{1 + \lambda c\, t} =\frac{\sqrt{1-(\lambda R)^2}}{1-\lambda^2Rx} .$$ где $(x,y,t)$ - координаты и время, измеряемое одним наблюдателем, а $(X,Y,T)$ - другим и $R$ - расстояние между ними вдоль оси $x$. Эти преобразования обобщают обычные трансляционные преобразования евклидового пространства.

В пространстве с постоянной кривизной время, даже для неподвижных относительно друг друга наблюдателей, течёт различным образом. Это приводит к тому, что частота испущенного света становится тем меньше, чем дальше источник находится от наблюдателя. Учитывая известный эмпирический закон красного смещения Хаббла и определённые сложности стандартной космологической модели, такое простое свойство проективной теории относительности требует пристального изучения. Мы вернёмся к этим вопросам при обсуждении космологии во второй части книги.

$\bullet$ Даже в рамках линейных преобразований возможны различные варианты обобщения преобразований Лоренца. Например, отказавшись от аксиомы изотропности, можно получить ($\lessdot$\,H$_{\ref{h_lorenz_line_nonisotr}}$), стр.\,\pageref{h_lorenz_line_nonisotr} \label{h_bk_lorenz_line_nonisotr} следующие соотношения: $$x'=\left(\frac{c+v}{c-v}\right)^\mu\,\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}},~~~~~~~~~~~~~ t'=\left(\frac{c+v}{c-v}\right)^\mu\,\frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},$$ где $\mu$ - новая фундаментальная безразмерная константа, характеризующая неизотропность пространства. Её происхождение также связано с уменьшением аксиоматической информации. Хотя большинство наблюдательных фактов свидетельствует в пользу изотропности, иногда появляются сообщения о возможной слабой неизотропности нашей Вселенной. Если они подтвердятся, имеет смысл детальнее проанализировать параметрически неполные обобщения преобразований Лоренца, возникающие при отказе от аксиомы изотропности. В частности, этим преобразованиям можно придать ковариантный трёхмерный вид с вектором выделенного направления. Вообще, рассмотрение 3-мерного пространства существенно расширяет возможности получения более общих преобразований Лоренца.

✦ Однако даже для одномерного случая все возможности не исчерпаны. Например, стоит обратить внимание на используемую нами процедуру согласования единиц скорости. Требование $v'=-v$ является естественным, но не единственно возможным. Отказ от него и от изотропности пространства приводит к следующим преобразованиям: $$x'=\gamma\, \bigl(x-vt\bigr),~~~~~~~t'=\gamma\, \bigl([1+2\varepsilon\,v/c]\,t -vx/c^2\bigr),$$ где $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1+2\varepsilon\,v/c- v^2/c^2}}\,\left[\frac{c+(\varepsilon+\sqrt{1+\varepsilon^2})\,v}{c+(\varepsilon-\sqrt{1+\varepsilon^2})\,v}\right]^\mu,$$ а $\varepsilon$ - третья фундаментальная константа. Если она отлична от нуля, то скорость системы $S$ относительно $S'$ равна: $$v'=\frac{-v}{1+2\varepsilon v/c}.$$ Этот результат получили уже упоминавшиеся выше Франк и Роте. В таких обобщённых преобразованиях возникают две выделенные инвариантные скорости $c_1$ и $c_2$, равные $c_{1,2}=c\,(\varepsilon\pm\sqrt{1+\varepsilon^2})$ и совпадающие с "$c$" при $\varepsilon=0$. Отказ от $v'=-v$ делает наблюдателей "несимметричными" и должен обязательно сопровождаться новым определением согласования единиц измерения скорости.

✦ Наш мир релятивистский, поэтому с определённой точностью преобразования Лоренца в нём однозначно выполняются. В силу принципа соответствия они переходят в преобразования Галилея при малых скоростях или при $c\to\infty$. Однако, в силу того же принципа соответствия, возможны более общие теории со своими фундаментальными константами. При стремлении этих констант к некоторым предельным значениям должны возникать преобразования Лоренца. Нарушение принципа соответствия является сильным эвристическим мотивом отказа от некоторых теорий. Например, нет ничего невозможного в существовании выделенной системы отсчета - абсолютного пространства. Однако эта абсолютность должна быть "маленькой" и проявляться только в предельных случаях. Поэтому вполне допустим анализ следствий, возникающих при отбрасывании или ослаблении принципа относительности (третья аксиома). Главное, чтобы в результате выполнялся принцип соответствия и при предельном значении соответствующей фундаментальной константы получались преобразования Лоренца, а затем и Галилея.

✦ Теория относительности в своей базовой формулировке - это теория плоского 3-мерного евклидового пространства и одномерного линейного времени, дополненных принципом относительности. Кривизна пространства, а точнее, кривизна объединённых пространства и времени может возникать при воздействии на него массивных объектов. Свободные частицы в таком пространстве по-прежнему движутся по кратчайшим путям, однако теперь, в силу кривизны, эти пути оказываются "изогнутыми", т.н. геодезическими линиями. Поэтому "пробные" частицы в окрестности массивного тела движутся по траекториям, нерелятивистский предел которых соответствует теории гравитации Ньютона. Эта красивая теория, построенная Альбертом Эйнштейном и, независимо от него, Давидом Гильбертом, получила название "Общая теория относительности" (ОТО). Подробнее она рассматривается во второй части книги. До этого момента наше пространство считается плоским евклидовым пространством, а время - одномерным, однородным и изотропным.

Мы будем в дальнейшем избегать термина "ОТО", называя её теорией гравитации Эйнштейна. Также редко на страницах этой книги встретится термин "Специальная теория относительности" (СТО), так как в него обычно вкладывают слишком узкий смысл. В частности, иногда утверждается, что СТО не может описывать неинерциальные системы отсчёта, и только ОТО позволяет это сделать. Это заблуждение будет развеяно в главе $\ref{chapter_non_inert_sys}$.