О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся
Филипп Франк и Герман Роте
Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855
Части:
Введение -
I -
II -
III -
IV -
V -
VI -
VII -
IV
12. Теперь, чтобы найти конечные уравнения (43) и (52) расширенной группы , которая генерируется бесконечно малыми преобразованиями (47) и (51), мы должны были бы согласно п.6 (36) интегрировать с начальными условиями (37) систему:
|
(60)
|
Между тем, мы хотим определить только уравнение (51) для преобразования скорости , для чего используем то обстоятельство, что зависит только от и , но не от и , так что мы можем непосредственно отдельно интегрировать содержащееся в системе (60) уравнение
|
(61)
|
с начальным условием
Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle w'=w\;\;\;для\;\;\;p=p_{0}. }
|
(62)
|
Получаем следующее выражение:
|
(63)
|
и отсюда, если вычислить интегралы и принять во внимание, что обе выделенные скорости и являются нулями знаменателя в первом интеграле (63):
|
(64)
|
где под понимается двойное перекрестное отношение четырех значений , т.е. выражение
|
(65)
|
Из (64) в итоге следует:
|
(66)
|
и отсюда можно найти, решая относительно :
|
(67)
|
с помощью чего находится конечное уравнение для преобразования скорости (ср. уравнения (28) и (51)). В (67) можно ещё заменить и на их значения (56).
[1]
Наконец, из уравнения (67) можно увидеть, что обе выделенные скорости и фактически остаются неизменными при любом конечном преобразовании группы и, таким образом, в любой системе имеют одни и те же значения. Положим:
откуда следует, что
для произвольного значения параметра (ср. п.11).
13. Рассмотрим теперь системы , которые мы ввели в разделе II, п.8, как двигающиеся с различными поcтоянными скоростями по отношению к системе , которую мы считаем неподвижной. Тогда с каждой системой связано как определенное значение параметра , так и определенная скорость , откуда следует, что между и должна существовать определенная связь, которую мы запишем в виде:
|
(68)
|
Таким образом, параметр выступает как функция скорости .
При помощи уравнения (68) введем в уравнения (43) и (51) скорость вместо параметра ; при этом в группе ничего существенно не изменится. Скорость может теперь рассматриваться как новый параметр группы.
Чтобы определить скорость и тем самым определить вид функции , выдвинем следующий постулат:
shape Если материальная точка двигается в неподвижной системе со скоростью , то она должна иметь скорость по отношению к системе , равномерно двигающейся относительно со скоростью .
Этот постулат утверждает, что пара значений
|
(69)
|
должна удовлетворять уравнению (64), так что мы имеем:
|
(70)
|
Отсюда находим для искомой функции :
|
(71)
|
и путем подстановки этого выражения в (67) получаем уравнение преобразования для скорости вида:
|
(72)
|
и окончательно, в соответствии с (58):
|
(73)
|
Далее, из уравнения (71) следует, что значению параметра тождественного преобразования соответствует нулевое значение скорости , и, таким образом, покоящуюся систему следует рассматривать как одну из систем , которая двигается со скоростью .
14. Если мы с этого момента будем рассматривать скорость как параметр нашей группы и положим:
|
(74)
|
то получим вместо (43) и (51) уравнения
|
(43a)
|
и
|
(51a)
|
которые определяют теперь группу . Если мы положим в уравнении (51a) , то получим, что при любом значении . Отсюда следует тождество:
|
(75)
|
Если мы положим в основу группы новые уравнения (43a) и (51a), то значение будет приводить к тождеству, и, следовательно, значение — соответствует бесконечно малому преобразованию. Тот же вывод мы можем сделать и из уравнений (47), так как хотя сами значения коэффициентов могут измениться в результате введения нового параметра , но их отношения — нет, а именно они являются существенными.
В результате нормировки параметра группы, сами коэффициенты также получают теперь определенные значения, в то время как до настоящего момента были определены только их отношения. В самом деле, согласно (45) и (46):
и отсюда мы получаем, положив в тождестве (75) и опустив в члены второго порядка,
то есть
|
(76)
|
поскольку . Таким образом, коэффициент , который до сих пор был связан только неравенством (55), теперь определен точно.
В соответствии с (44) и (46) мы далее получаем уравнения для новых коэффициентов в (43a) и (51a):
|
(44a)
|
и
|
(46a)
|
Подставив значение (76) в уравнения (47) и (52), мы получим для бесконечно малого преобразовании группы :
|
(47a)
|
и для бесконечно малого преобразовании скорости :
|
(52a)
|
или согласно (59):
|
(59a)
|
Конечное уравнение (73) для преобразования скорости переходит в
|
(73a)
|
и из уравнения (57) мы в итоге получаем:
|
(57a)
|
15. Если мы объединим преобразование (73a), соответствующее значению параметра и преобразующее в , с другим преобразованием того же вида:
|
(77)
|
которое соответствует значению параметра и преобразует в , то из группового свойства наших преобразований следует, что суммарное преобразование, которое преобразует непосредственно в , должно иметь вид:
|
(78)
|
где значение параметра согласно (13) является функцией от и .
Чтобы определить эту функцию в нашем случае, нам нужно лишь найти в явном виде комбинацию двух преобразований (73a) и (77). Получим:
|
(79)
|
откуда, после сравнения с (78), следует:
|
(80)
|
Это уравнение, которое определяет теперь группу параметров нашей группы (и )
[2], выражает теорему сложения скоростей , где и означают скорость системы относительно систем и соответственно, а — скорость по отношению к неподвижной системе .
Наконец, если уравнение (77) представляет собой преобразование, обратное (73a), т.е.
то комбинированное преобразование (78) должно быть тождественным, а значит, . Однако, из (80), если мы обозначим через значение параметра преобразования, обратного (73a), следует:
|
(81)
|
и, таким образом,
|
(82)
|
Если подставить это значение вместо в (77), получим уравнение для преобразования, обратного (73a):
|
(83)
|
которое можно также получить непосредственно, решая (73a) относительно .
Формула (83) показывает, что находится из и точно таким же способом, как из и — эта аналогия легко объясняется кинематическим смыслом уравнений (80) и (83).
Примечания
- ↑ Обратим внимание, что уравнения (64), (66) и (67) не зависят от знака, который присваивается величине . Если заменить на , то согласно (56) обе выделенные скорости и переходят друг в друга, и уравнения остаются неизменными.
- ↑
Если придерживаться первоначального группового параметра p, как это имеет место, например, в (67), то уравнение (13) группы параметров имеет вид: .
Части:
Введение -
I -
II -
III -
IV -
V -
VI -
VII -
Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии