Франк Роте 1911 IV

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск

О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся

Филипп Франк и Герман Роте

Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855


Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -


IV

12. Теперь, чтобы найти конечные уравнения (43) и (52) расширенной группы , которая генерируется бесконечно малыми преобразованиями (47) и (51), мы должны были бы согласно п.6 (36) интегрировать с начальными условиями (37) систему:

(60)

Между тем, мы хотим определить только уравнение (51) для преобразования скорости , для чего используем то обстоятельство, что зависит только от и , но не от и , так что мы можем непосредственно отдельно интегрировать содержащееся в системе (60) уравнение

(61)

с начальным условием

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle w'=w\;\;\;для\;\;\;p=p_{0}. }
(62)

Получаем следующее выражение:

(63)

и отсюда, если вычислить интегралы и принять во внимание, что обе выделенные скорости и являются нулями знаменателя в первом интеграле (63):

(64)

где под понимается двойное перекрестное отношение четырех значений , т.е. выражение

(65)

Из (64) в итоге следует:

(66)

и отсюда можно найти, решая относительно :

(67)

с помощью чего находится конечное уравнение для преобразования скорости (ср. уравнения (28) и (51)). В (67) можно ещё заменить и на их значения (56). [1]

Наконец, из уравнения (67) можно увидеть, что обе выделенные скорости и фактически остаются неизменными при любом конечном преобразовании группы и, таким образом, в любой системе имеют одни и те же значения. Положим:

откуда следует, что

для произвольного значения параметра (ср. п.11).

13. Рассмотрим теперь системы , которые мы ввели в разделе II, п.8, как двигающиеся с различными поcтоянными скоростями по отношению к системе , которую мы считаем неподвижной. Тогда с каждой системой связано как определенное значение параметра , так и определенная скорость , откуда следует, что между и должна существовать определенная связь, которую мы запишем в виде:

(68)

Таким образом, параметр выступает как функция скорости .

При помощи уравнения (68) введем в уравнения (43) и (51) скорость вместо параметра ; при этом в группе ничего существенно не изменится. Скорость может теперь рассматриваться как новый параметр группы.

Чтобы определить скорость и тем самым определить вид функции , выдвинем следующий постулат:

shape Если материальная точка двигается в неподвижной системе со скоростью , то она должна иметь скорость по отношению к системе , равномерно двигающейся относительно со скоростью .

Этот постулат утверждает, что пара значений

(69)

должна удовлетворять уравнению (64), так что мы имеем:

(70)

Отсюда находим для искомой функции :

(71)

и путем подстановки этого выражения в (67) получаем уравнение преобразования для скорости вида:

(72)

и окончательно, в соответствии с (58):

(73)

Далее, из уравнения (71) следует, что значению параметра тождественного преобразования соответствует нулевое значение скорости , и, таким образом, покоящуюся систему следует рассматривать как одну из систем , которая двигается со скоростью .

14. Если мы с этого момента будем рассматривать скорость как параметр нашей группы и положим:

(74)

то получим вместо (43) и (51) уравнения

(43a)

и

(51a)

которые определяют теперь группу . Если мы положим в уравнении (51a) , то получим, что при любом значении . Отсюда следует тождество:

(75)

Если мы положим в основу группы новые уравнения (43a) и (51a), то значение будет приводить к тождеству, и, следовательно, значение — соответствует бесконечно малому преобразованию. Тот же вывод мы можем сделать и из уравнений (47), так как хотя сами значения коэффициентов могут измениться в результате введения нового параметра , но их отношения — нет, а именно они являются существенными.

В результате нормировки параметра группы, сами коэффициенты также получают теперь определенные значения, в то время как до настоящего момента были определены только их отношения. В самом деле, согласно (45) и (46):

и отсюда мы получаем, положив в тождестве (75) и опустив в члены второго порядка,

то есть

(76)

поскольку . Таким образом, коэффициент , который до сих пор был связан только неравенством (55), теперь определен точно.

В соответствии с (44) и (46) мы далее получаем уравнения для новых коэффициентов в (43a) и (51a):

(44a)

и

(46a)

Подставив значение (76) в уравнения (47) и (52), мы получим для бесконечно малого преобразовании группы :

(47a)

и для бесконечно малого преобразовании скорости :

(52a)

или согласно (59):

(59a)

Конечное уравнение (73) для преобразования скорости переходит в

(73a)

и из уравнения (57) мы в итоге получаем:

(57a)

15. Если мы объединим преобразование (73a), соответствующее значению параметра и преобразующее в , с другим преобразованием того же вида:

(77)

которое соответствует значению параметра и преобразует в , то из группового свойства наших преобразований следует, что суммарное преобразование, которое преобразует непосредственно в , должно иметь вид:

(78)

где значение параметра согласно (13) является функцией от и .

Чтобы определить эту функцию в нашем случае, нам нужно лишь найти в явном виде комбинацию двух преобразований (73a) и (77). Получим:

(79)

откуда, после сравнения с (78), следует:

(80)

Это уравнение, которое определяет теперь группу параметров нашей группы ) [2], выражает теорему сложения скоростей , где и означают скорость системы относительно систем и соответственно, а — скорость по отношению к неподвижной системе .

Наконец, если уравнение (77) представляет собой преобразование, обратное (73a), т.е.

то комбинированное преобразование (78) должно быть тождественным, а значит, . Однако, из (80), если мы обозначим через значение параметра преобразования, обратного (73a), следует:

(81)

и, таким образом,

(82)

Если подставить это значение вместо в (77), получим уравнение для преобразования, обратного (73a):

(83)

которое можно также получить непосредственно, решая (73a) относительно .

Формула (83) показывает, что находится из и точно таким же способом, как из и — эта аналогия легко объясняется кинематическим смыслом уравнений (80) и (83).

Примечания

  1. Обратим внимание, что уравнения (64), (66) и (67) не зависят от знака, который присваивается величине . Если заменить на , то согласно (56) обе выделенные скорости и переходят друг в друга, и уравнения остаются неизменными.
  2. Если придерживаться первоначального группового параметра p, как это имеет место, например, в (67), то уравнение (13) группы параметров имеет вид: .

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -


Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии