Франк Роте 1911 II
О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся
Филипп Франк и Герман Роте
Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855
7. Теперь выберем систему координат , состоящую из одной неподвижной прямой — оси и неподвижной точки — начала координат. На оси представим неподвижную шкалу с началом отсчета в точке и часы, размещенные в каждой точке шкалы. Затем рассмотрим движение материальной точки вдоль оси так, что каждому ее положению соответствует определённая пара значений , то есть определённое положение стрелок тех часов, которые находятся в точке оси, с которой совпадает точка , и определённое деление шкалы. Любое такое движение представляется в виде уравнения (25), и скорость тогда задается с помощью первого из уравнений (27).
Если мы рассмотрим величины как координаты точки в плоскости , то каждому положению соответствует определенная точка , которая называется относящейся к этому положению пространственно-временной точкой; назовем пространственно-временными координатами, измеренными в системе . Всё движение точки представляется непрерывной последовательностью пространственно-временных координат, т.е. кривой , уравнение которой — уравнение (25), и которая называется мировой линией этого движения. Скорость в момент времени равна коэффициенту наклона касательной мировой линии в пространственно-временной точке . Мировая линия, соответствующая равномерному движению точки , является прямой.
8. Наряду с системой , мы рассмотрим на той же прямой ещё одно бесконечное множество других систем (т.е. других измерений длины и времени), каждое из которых связано с определённым значением параметра таким образом, что разным значениям соответствуют разные системы .
Любая пространственно-временная точка с пространственно-временными координатами в системе , должна также иметь определенные пространственно-временные координаты в каждой из систем , которые зависят только от и ; т. е. пространственно-временные координаты и точки в системах и должны быть связанными посредством уравнений вида (6). Величины называются shape измеренными в системе пространственно-временными координатами точки . Таким образом, соответственно бесконечному количеству пространственно-временных точек, существует бесконечное количество пар значений , которые соответствуют бесконечному числу значений параметра . Эти пары могут быть получены из через однопараметрическое множество преобразований (6) [1].
Если мы выполним одно за другим два преобразования множества так, что с помощью уравнений преобразования (6) от одной системы перейдем ко второй системе , а от нее — снова с помощью уравнений (7) — к третьей системе , то произведение обоих преобразований, т.е. преобразование (8), которое непосредственно дает переход от к , должно тоже принадлежать множеству . Это значит, что множество должно обладать групповым свойством.
Далее допустим, что среди систем встречается сама изначальная система . Тогда, если с ней связано значение параметра , то уравнения (6) при должны превращаться в уравнения (15), т.е. множество должно содержать тождественное преобразование.
Наконец, предположим, что во множестве для каждого преобразования имеется обратное, то есть для каждого значения параметра существует другое, , такое, что и удовлетворяют уравнению (18). Тогда преобразования множества образуют однопараметрическую группу , и мы можем три вышеуказанных допущения свести в одно, предположив, что:
shape Преобразования (6), которые описывают переход от пространственно-временных координат , измеренных в изначальной системе , к пространственно-временным координатам , измеренным в системе , образуют однопараметрическую группу с параметром .
9. Для дальнейшего уточнения определения группы , сделаем теперь следующие дополнительные допущения:
А. Всякое движение материальной точки , которое в отношении неподвижной системы является равномерным, должно также быть равномерным в отношении каждой из двигающихся систем . Следовательно, если мировая линия движения точки является прямой в , то мировая линия этого движения в системе должна также быть прямой; т.е. преобразования группы должны иметь такие свойства, чтобы преобразовывать прямую снова в прямую.
Однако, единственные преобразования этого вида являются проективными [2], т.е. такими, уравнения которых (6) имеют следующий специальный вид:
(38)
|
Итак, группа определяется как однопараметрическая проективная группа.
В. Всякая пространственно-временная точка, имеющая конечные координаты в отношении системы , должна также иметь конечные координаты в отношении любой системы . Отсюда следует [5] [3], что в уравнениях (38) должно быть:
(39)
|
Если мы обозначим
(40)
|
через , то (38) принимают вид:
(41)
|
Преобразования (41) оставляют бесконечно удаленную прямую из плоскости инвариантной и являются аффинными. Группа , таким образом, называется аффинной или общей линейной.
С. Наконец, точка начала отсчета пространственно-временных измерений должна оставаться той же самой во всех системах, т. е. из
всегда должно следовать
Тогда должно выполняться:
(42)
|
так что уравнения (41) переходят в следующие:
(43)
|
Таким образом, являются линейными однородными функциями с коэффициентами, которые являются функциями только параметра . Группа определяется теперь как однопараметрическая, линейная однородная, и ее преобразования оставляют бесконечно удаленную прямую из плоскости и саму точку начала отсчета инвариантными [4]. Очевидно, что коэффициенты здесь не могут быть выбраны произвольно, а должны удовлетворять определенным условиям, чтобы преобразования составляли группу. В последующих разделах мы займемся определением вида этих коэффициентов.
Примечания
- Перейти ↑ Окончание раздела II с этого момента не является необходимым для понимания хода мыслей работы и служит только для разъяснения нашего постулата А.
- Перейти ↑ С. Ли, Г. Шефферс, [5] стр.32. Теорема 2.
- Перейти ↑ С. Ли, Г. Шефферс, [5], стр. 57-58. Положение 11.
- Перейти ↑ С. Ли, Г. Шефферс, [5], с. 134.
Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии