О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся
Филипп Франк и Герман Роте
Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855
Части:
Введение -
I -
II -
III -
IV -
V -
VI -
VII -
III
10. Теперь можно подытожить все предположения, которые мы сделали в отношении преобразований (6), следующим образом: shape Преобразования (6), которые связывают пространственно-временные координатаы в начальной и конечной системах и , образуют однопараметрическую линейную однородную группу с параметром . Чтобы уравнения (43) со значением параметра преобразовывались в уравнения (15), которые представляют тождественное преобразование, должно быть:
|
(44)
|
Для значения параметра получим коэффициенты:
|
(45)
|
и, если мы положим
|
(46)
|
то отсюда следуют уравнения для бесконечно малого преобразования [сравним с уравнениями (19), (20), (21) и (22) в п.5] в виде:
|
(47)
|
таким образом, что для линейной однородной группы (43) выполняется:
|
(48)
|
Коэффициенты могут быть выбраны произвольно, существенны только их отношения. Таким образом, существует бесконечно малых преобразований (47), и каждое из них генерирует определенную однопараметрическую линейную однородную группу (43).
11. Рассмотрим теперь некоторое определенное преобразование из , т.е. придадим параметру какое-либо фиксированное значение. Дифференцируя уравнения (43) мы тогда получим:
|
(49)
|
откуда следует, что дифференциалы преобразовываются так же, как конечные величины , и что, таким образом, обе пары величин и подвергаются коградиентным преобразованиям (43) и (49).
Из уравнений (49) следует:
|
(50)
|
и, таким образом, вследствие (27):
|
(51)
|
Это уравнение, которое описывает преобразование скорости в , занимает место уравнения (28) и представляет вместе с уравнениями (43) первую расширенную группу . Особую важность имеет то обстоятельство, что в случае линейной группы является функцией только от и и не зависит от и .
В итоге, мы получаем бесконечно малое преобразование скорости с помощью (34) и (48) в виде:
|
(52)
|
откуда следует вывод, что функция в (35) уже не содержит величин и . С помощью этого бесконечно малого преобразования скорость преобразовывается в согласно (33) и, таким образом, тогда и только тогда остается неизменной, когда:
|
(53)
|
Это выполняется для тех скоростей, которые являются корнями квадратного уравнения:
|
(54)
|
Они остаются неизменными при бесконечно малом преобразовании и поэтому (как мы, впрочем, ещё непосредственно покажем в конце п.12) также при любом конечном преобразовании группы . В дальнейшем мы будем называть их выделенными скоростями и предположим, что:
shape Скорость (т. е. в состоянии покоя) не должна быть выделенной скоростью, откуда следует, что должно быть:
|
(55)
|
Из предположения (55) прежде всего следует, что исключается случай:
когда уравнение (54) выполняется тождественно и, таким образом, каждая скорость была бы выделенной. В любом другом случае мы имеем только две выделенные скорости, которые обозначим и , а именно:
|
(56)
|
где
|
(57)
|
Основные симметричные функции корней и :
|
(58)
|
и при помощи этих отношений можно легко привести бесконечно малое преобразование (52) к виду:
|
(59)
|
в котором значение и как выделенных скоростей становится особенно очевидным.
Части:
Введение -
I -
II -
III -
IV -
V -
VI -
VII -
Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии