Франк Роте 1911 III

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск

О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся

Филипп Франк и Герман Роте

Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855


Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -


III

10. Теперь можно подытожить все предположения, которые мы сделали в отношении преобразований (6), следующим образом: shape Преобразования (6), которые связывают пространственно-временные координатаы в начальной и конечной системах и , образуют однопараметрическую линейную однородную группу с параметром . Чтобы уравнения (43) со значением параметра преобразовывались в уравнения (15), которые представляют тождественное преобразование, должно быть:

(44)

Для значения параметра получим коэффициенты:

(45)

и, если мы положим

(46)

то отсюда следуют уравнения для бесконечно малого преобразования [сравним с уравнениями (19), (20), (21) и (22) в п.5] в виде:

(47)

таким образом, что для линейной однородной группы (43) выполняется:

(48)

Коэффициенты могут быть выбраны произвольно, существенны только их отношения. Таким образом, существует бесконечно малых преобразований (47), и каждое из них генерирует определенную однопараметрическую линейную однородную группу (43).

11. Рассмотрим теперь некоторое определенное преобразование из , т.е. придадим параметру какое-либо фиксированное значение. Дифференцируя уравнения (43) мы тогда получим:

(49)

откуда следует, что дифференциалы преобразовываются так же, как конечные величины , и что, таким образом, обе пары величин и подвергаются коградиентным преобразованиям (43) и (49).

Из уравнений (49) следует:

(50)

и, таким образом, вследствие (27):

(51)

Это уравнение, которое описывает преобразование скорости в , занимает место уравнения (28) и представляет вместе с уравнениями (43) первую расширенную группу . Особую важность имеет то обстоятельство, что в случае линейной группы является функцией только от и и не зависит от и .

В итоге, мы получаем бесконечно малое преобразование скорости с помощью (34) и (48) в виде:

(52)

откуда следует вывод, что функция в (35) уже не содержит величин и . С помощью этого бесконечно малого преобразования скорость преобразовывается в согласно (33) и, таким образом, тогда и только тогда остается неизменной, когда:

(53)

Это выполняется для тех скоростей, которые являются корнями квадратного уравнения:

(54)

Они остаются неизменными при бесконечно малом преобразовании и поэтому (как мы, впрочем, ещё непосредственно покажем в конце п.12) также при любом конечном преобразовании группы . В дальнейшем мы будем называть их выделенными скоростями и предположим, что:

shape Скорость (т. е. в состоянии покоя) не должна быть выделенной скоростью, откуда следует, что должно быть:

(55)

Из предположения (55) прежде всего следует, что исключается случай:

когда уравнение (54) выполняется тождественно и, таким образом, каждая скорость была бы выделенной. В любом другом случае мы имеем только две выделенные скорости, которые обозначим и , а именно:

(56)

где

(57)

Основные симметричные функции корней и :

(58)

и при помощи этих отношений можно легко привести бесконечно малое преобразование (52) к виду:

(59)

в котором значение и как выделенных скоростей становится особенно очевидным.


Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -


Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии