Франк Роте 1911 VII
О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся
Филипп Франк и Герман Роте
Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855
21. Приступим теперь к тому, чтобы применить постулат из введения и проверить, какие из групп преобразований, полученных с помощью уравнений (93) и (117), приводят к сокращению , являющемуся четной функцией скорости , т.е. не выделяют ни одно из направлений оси .
Для этого безусловно необходимо и достаточно, чтобы производные нечетного порядка функции исчезли в точке . В частности, имеем:
(118)
|
Таким образом, вычислим величины , , , .
Первые две получаем, используя уравнения (112) и (113); остальные проще всего получить путем повторного дифференцирования уравнения (114). Если наряду с этим мы положим , то получим:
(119)
|
(120)
|
Отсюда следует, что:
(121)
|
(122)
|
Из первого уравнения в (118) в сочетании с уравнением (113) следует:
(123)
|
и в сочетании с (123):
(124)
|
Итак, уравнения (123) и (124) обязательно должны выполняться, для того, чтобы уравнения преобразования приводили к сокращению, удовлетворяющему постулату . Мы вскоре увидим, что существования уравнений (123) и (124) также и достаточно для этого.
22. А именно, в соответствии с уравнением (124) получаем три случая:
(125a)
|
(125b)
|
(125c)
|
Каждой из этих возможностей соответствует определенный вид уравнений преобразования, удовлетворяющий нашим постулатам и .
Как можно увидеть из уравнения (93) в учетом с (117) и (117a), первый случай приводит к группе преобразований Галилея; второй случай, как видно из уравнений (93) в сочетании с (117) и (117b), ведет к преобразованиям Лоренца.
23. Третий подслучай, однако, ведет к пока ещё не рассмотренной группе. Из уравнения (117) в сочетании с (123) и (125c) следует:
(126)
|
а из уравнения (93):
(127)
|
Выделенные скорости имеют значения:
(128)
|
так как это корни квадратного уравнения (54) в случае, если его коэффициенты удовлетворяют условиям (76), (123) и (125c). Уравнения преобразования можно в таком случае записать следующим образом:
(129)
|
Представленную с помощью этого преобразования синхронизацию часов можно интерпретировать физически аналогично тому, как это делал Эйнштейн [1] в случае преобразований Лоренца.
Предположим, что в момент времени из начала координат выходит луч света в положительном направлении и распространяется со скоростью . Если тело двигается со скоростью , то скорость света по отношению к этому телу будет (в покоящейся система). Если мы хотим, чтобы скорость луча света по отношению к двигающемуся телу была равна , этого можно достигнуть путем изменения скорости хода часов в отношении к . Таким образом, мы вводим для двигающегося тела время , такое что:
то есть получаемое из первого уравнения (129). Такое регулирование времени соответствует принципу Доплера, и поэтому мы будем называть уравнения (129) преобразованиями Доплера.
Преобразование Доплера весьма существенно отличается от преобразования Лоренца тем, что в двигающейся со скоростью системе время во всех пространственных точках одно и то же. Не существует местного времени, и что ещё важнее, если мы произведем регулирование распространяющихся в положительном направлении оси лучей света так, чтобы они имели одну и ту же скорость для всех двигающихся систем (мы предполагаем здесь ), то скорость распространения лучей света, которые распространяются в отрицательном направлении со скоростью по отношению к системе в состоянии покоя, будет разной по отношению к различным двигающимся телам.
Из того, что — выделенная скорость, не следует, что тоже является таковой. Согласно уравнению (128), это следовало бы только для , т.е. . Однако в таком случае мы имеем дело с преобразованием Галилея.
С другой стороны, для преобразования Лоренца, как следует из уравнения (56) вместе с (76), (123) и (125b), мы имеем:
ср. также уравнение (89).
Таким образом, мы можем подытожить наше исследованияе следующим образом:
Среди всех уравнений преобразования, соответствующих однопараметрическим линейным однородным группам, существует три типа, в которых величина сокращения не зависит от направления движения в абсолютном пространстве. Среди них только один тип имеет своим следствием фактическое сжатие длин, а именно — преобразование Лоренца [уравнение (1)]. Оба других типа (преобразования Галилея и Доплера) [уравнения (2) и (129) соответственно] оставляют длины неизменными. При преобразовании Лоренца скорость света во всех двигающихся системах при любом направлении распространения имеет одно и то же конечное значение . В преобразовании Доплера, однако, это верно только при распространении в одном направлении; для преобразования Галилея — только если скорость света является бесконечной.
13 января 1911г., Вена
поступила 15 января 1911г.
Примечания
- Перейти ↑ А. Эйнштейн, [6] Анналы физики, 17, с. 891, 1905.
Перевод
(c) Synset.com - Артамонова Алла
Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии