О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся
Филипп Франк и Герман Роте
Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855
Части:
Введение -
I -
II -
III -
IV -
V -
VI -
VII -
I
1. Пусть — три переменные, причем мы интерпретируем как прямоугольные координаты точки в плоскости , а — как параметр. Далее, пусть
|
(3)
|
две однозначные непрерывные и дифференцируемые функции трех аргументов
[1].
, для которых функциональный определитель (якобиан):
|
(4)
|
не обращается в нуль тождественно и, кроме того, тождества:
|
(5)
|
не выполняются одновременно. Для фиксированного значения параметра , каждой паре значений ставится в соответствие пара значений , посредством двух уравнений
|
(6)
|
Это соответствие называется преобразованием и может быть обозначено . Геометрически преобразование является точечным отображением плоскости на плоскость , которая, как будет предполагаться дальше, также может совпадать с плоскостью . Следовательно, мы соотносим координаты преобразованных точек к той же системе координат, что и координаты первоначальных точек .
2. Если параметр непрерывно проходит через весь числовой ряд или некоторый его интервал, мы получим множество преобразований , каждое из которых соответствует определенному значению . Это множество также называется однопараметрическим множеством преобразований.
Если — некоторое другое преобразование из множества , которое соответствует параметру и преобразовывает пару в так, что:
|
(7)
|
то в результате исключения из (6) и (7) получаются уравнения:
|
(8)
|
которые представляют собой преобразование , которое преобразовывает прямо в и называется "произведением" преобразований и . Мы записываем это как
|
(9)
|
где порядок сомножителей указывает на последовательность применения преобразований и . В общем случае
|
(10)
|
т.е. коммутативный закон несправедлив для композиции преобразований.
3. Вообще говоря, композиция двух преобразований и из множества не всегда является преобразованием, которое принадлежит множеству . Тем не менее, если произведение любых двух преобразований множества снова является преобразованием из множества , то говорят, что преобразования множества обладают групповым свойством. Тогда
|
(11)
|
т.е. к композиции трех (и большего числа) факторов применим ассоциативный закон.
Если обладает групповыми свойствами, т.е. принадлежит , то уравнения (8) должны иметь вид:
|
(12)
|
где
|
(13)
|
является функцией только и .
Теперь можно сказать, что преобразования множества образуют группу при выполнении следующих условий:
А. Преобразования множества обладают групповым свойством.
В. Существует значение параметра , для которого:
|
(14)
|
Относящееся к этому значению параметра преобразование , которое представлено уравнениями
|
(15)
|
оставляет каждую пару значений неизменной и называется тождественным преобразованием.
С. Для любого преобразования в множестве имеется преобразование, которое в сочетании с в любой последовательности дает тождественное преобразование . Это второе преобразование называется обратным к и обозначается , таким образом:
|
(16)
|
Обратное преобразование находят решением уравнений (6) относительно и , что всегда возможно, поскольку функциональный определитель не обращается в нуль тождественно. Как преобразование множества , обратное преобразование соответствует параметру , который является функцией только от и может быть найден с использованием условия:
|
(17)
|
Согласно (13) значения и удовлетворяют уравнению:
|
(18)
|
Группа называется однопараметрической, так как состоит из преобразований .
4. Если рассматривается в (13) как переменная преобразования, а — как параметр (или же наоборот), то это уравнение определяет однопараметрическое множество преобразований, которые также составляют группу , где — преобразованная переменная. Эта группа обозначается как группа параметров .
5. Если — бесконечно малая величина, то преобразование, относящееся к значению параметра
|
(19)
|
отличается от тождественного преобразования бесконечно мало; оно называется бесконечно малым преобразованием группы и превращает точку в бесконечно близкую точку с координатами:
|
(20)
|
где:
|
(21)
|
и введены обозначения:
|
(22)
|
В уравнениях (21), которые определяют бесконечно малые преобразования, может быть заменено на (где - отличная от нуля константа) без существенных изменений в свойствах группы . Если рассматривать два связанных таким образом бесконечно малых преобразования как тождественные, то каждая однопараметрическая группа будет содержать только одно единственное бесконечно малое преобразование. И наоборот, любое бесконечно малое преобразование (21) однозначно определяет однопараметрическую группу; конечные уравнения (6) находятся путем интегрирования системы:
|
(23)
|
с начальными условиями:
|
(24)
|
6. Если мы рассмотрим как функцию от :
|
(25)
|
то получим кривую в плоскости , которая превращается при помощи преобразования (6) в другую кривую с уравнением
|
(26)
|
Если мы положим
|
(27)
|
то преобразование , принадлежащее (6):
|
(28)
|
что можно записать сокращенно:
|
(29)
|
Это выражение для преобразования при преобразовании координат (6).
Для получим согласно (14):
|
(30)
|
следовательно:
|
(31)
|
т.е.
|
(32)
|
Для мы получаем:
|
(33)
|
и для бесконечно малого преобразования :
|
(34)
|
или более кратко:
|
(35)
|
Уравнения (6) и (28) вместе также представляют однопараметрическую группу преобразований , которые отображают переменные в . Эта группа называется первой расширенной группой. Ее бесконечно малое преобразование задается уравнениями (21) и (34), и из них же мы находим конечные уравнения (6) и (28) группы путем интегрирования системы
|
(36)
|
с начальными условиями:
|
(37)
|
Примечания
- ↑
Если потребуется, три переменных должны быть ограничены на определенной части поверхности -множества, которому должна принадлежать каждая система значений принимаемая далее во внимание
Части:
Введение -
I -
II -
III -
IV -
V -
VI -
VII -
Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии