Франк Роте 1911 I

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск

О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся

Филипп Франк и Герман Роте

Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855


Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -


I

1. Пусть — три переменные, причем мы интерпретируем как прямоугольные координаты точки в плоскости , а — как параметр. Далее, пусть

(3)

две однозначные непрерывные и дифференцируемые функции трех аргументов [1]. , для которых функциональный определитель (якобиан):

(4)

не обращается в нуль тождественно и, кроме того, тождества:

(5)

не выполняются одновременно. Для фиксированного значения параметра , каждой паре значений ставится в соответствие пара значений , посредством двух уравнений

(6)

Это соответствие называется преобразованием и может быть обозначено . Геометрически преобразование является точечным отображением плоскости на плоскость , которая, как будет предполагаться дальше, также может совпадать с плоскостью . Следовательно, мы соотносим координаты преобразованных точек к той же системе координат, что и координаты первоначальных точек .

2. Если параметр непрерывно проходит через весь числовой ряд или некоторый его интервал, мы получим множество преобразований , каждое из которых соответствует определенному значению . Это множество также называется однопараметрическим множеством преобразований.

Если — некоторое другое преобразование из множества , которое соответствует параметру и преобразовывает пару в так, что:

(7)

то в результате исключения из (6) и (7) получаются уравнения:

(8)

которые представляют собой преобразование , которое преобразовывает прямо в и называется "произведением" преобразований и . Мы записываем это как

(9)

где порядок сомножителей указывает на последовательность применения преобразований и . В общем случае

(10)

т.е. коммутативный закон несправедлив для композиции преобразований.

3. Вообще говоря, композиция двух преобразований и из множества не всегда является преобразованием, которое принадлежит множеству . Тем не менее, если произведение любых двух преобразований множества снова является преобразованием из множества , то говорят, что преобразования множества обладают групповым свойством. Тогда

(11)

т.е. к композиции трех (и большего числа) факторов применим ассоциативный закон.

Если обладает групповыми свойствами, т.е. принадлежит , то уравнения (8) должны иметь вид:

(12)

где

(13)

является функцией только и .

Теперь можно сказать, что преобразования множества образуют группу при выполнении следующих условий:

А. Преобразования множества обладают групповым свойством.

В. Существует значение параметра , для которого:

(14)

Относящееся к этому значению параметра преобразование , которое представлено уравнениями

(15)

оставляет каждую пару значений неизменной и называется тождественным преобразованием.

С. Для любого преобразования в множестве имеется преобразование, которое в сочетании с в любой последовательности дает тождественное преобразование . Это второе преобразование называется обратным к и обозначается , таким образом:

(16)

Обратное преобразование находят решением уравнений (6) относительно и , что всегда возможно, поскольку функциональный определитель не обращается в нуль тождественно. Как преобразование множества , обратное преобразование соответствует параметру , который является функцией только от и может быть найден с использованием условия:

(17)

Согласно (13) значения и удовлетворяют уравнению:

(18)

Группа называется однопараметрической, так как состоит из преобразований .

4. Если рассматривается в (13) как переменная преобразования, а — как параметр (или же наоборот), то это уравнение определяет однопараметрическое множество преобразований, которые также составляют группу , где — преобразованная переменная. Эта группа обозначается как группа параметров .

5. Если — бесконечно малая величина, то преобразование, относящееся к значению параметра

(19)

отличается от тождественного преобразования бесконечно мало; оно называется бесконечно малым преобразованием группы и превращает точку в бесконечно близкую точку с координатами:

(20)

где:

(21)

и введены обозначения:

(22)

В уравнениях (21), которые определяют бесконечно малые преобразования, может быть заменено на (где - отличная от нуля константа) без существенных изменений в свойствах группы . Если рассматривать два связанных таким образом бесконечно малых преобразования как тождественные, то каждая однопараметрическая группа будет содержать только одно единственное бесконечно малое преобразование. И наоборот, любое бесконечно малое преобразование (21) однозначно определяет однопараметрическую группу; конечные уравнения (6) находятся путем интегрирования системы:

(23)

с начальными условиями:

(24)

6. Если мы рассмотрим как функцию от :

(25)

то получим кривую в плоскости , которая превращается при помощи преобразования (6) в другую кривую с уравнением

(26)

Если мы положим

(27)

то преобразование , принадлежащее (6):

(28)

что можно записать сокращенно:

(29)

Это выражение для преобразования при преобразовании координат (6).

Для получим согласно (14):

(30)

следовательно:

(31)

т.е.

(32)

Для мы получаем:

(33)

и для бесконечно малого преобразования :

(34)

или более кратко:

(35)

Уравнения (6) и (28) вместе также представляют однопараметрическую группу преобразований , которые отображают переменные в . Эта группа называется первой расширенной группой. Ее бесконечно малое преобразование задается уравнениями (21) и (34), и из них же мы находим конечные уравнения (6) и (28) группы путем интегрирования системы

(36)

с начальными условиями:

(37)

Примечания

  1. Если потребуется, три переменных должны быть ограничены на определенной части поверхности -множества, которому должна принадлежать каждая система значений принимаемая далее во внимание

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -


Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии