О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся
Филипп Франк и Герман Роте
Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855
Части:
Введение -
I -
II -
III -
IV -
V -
VI -
VII -
VI
Перейдем теперь к выводу общих уравнений однопараметрической линейной однородной группы , т.е. к определению коэффициентов в (43a).
Из сравнения двух уравнений (51a) и (73a), которые должны согласовываться друг с другом, следует, что четыре коэффициента
|
(90)
|
должны быть пропорциональны четырем величинам:
|
(91)
|
где коэффициент пропорциональности, который ещё следует определить, может быть лишь функцией от , которую мы обозначим , так что:
|
(92)
|
благодаря чему, кроме того, также удовлетворяется тождество (75). Подставляя значения (92) в уравнения (43a), получим их в виде:
|
(93)
|
где функция все ещё неизвестна.
18. При помощи уравнений (93) мы можем сделать вывод о кинематическом значении фактора , прежде чем определим его явный вид. А именно, рассмотрим материальную точку , которая двигается вдоль оси с постоянной скоростью по отношению к системе и находится в момент времени в точке . Тогда ее движение по отношению к задается уравнением:
|
(94)
|
Теперь, чтобы найти уравнение движения точки по отношению к системе , двигающейся по отношению к со скоростью , решим уравнения (93) по и , что даст нам уравнение для преобразования, обратного к (92):
|
(95)
|
и подставим найденные выражения (95) в (94). Таким образом получим:
Решив эти уравнения по , получим:
|
(96)
|
или
|
(97)
|
если
|
(98)
|
имеет значение в момент времени и — скорость точки по отношению к системе , найденная с помощью (73a).
Рассмотрим две материальные точки и , которые имеют пространственно-временные координаты , и , , измеренные в неподвижной системе , и которые двигаются с одной и той же постоянной скоростью . Тогда, если в момент времени
местоположения точек и заданы как
то уравнения движения этих двух точек по отношению к системе выглядят так:
|
(99)
|
в то время как их уравнения движения по отношению к системе , двигающейся по отношению к системе со скоростью имеют вид:
|
(100)
|
где , и , — пространственно-временные координаты точек и , измеренные в системе . Далее, согласно (98) получим:
|
(101)
|
а скорость точек по отношению к системе снова находится с помощью(73a).
Так как обе точки и двигаются по оси с одинаковой скоростью , мы можем представить себе их как два конца жесткого стержня, длину которого , измеренную в системе , получаем как расстояние двух одновременно взятых положений и относительно , для чего положим в (99):
и вычтем первое уравнение из второго:
|
(102)
|
Таким же образом полагая в уравнениях (100)
находим для измеренной в системе длины стержня выражение
|
(103)
|
Таким образом, из (101) и (102) следует:
|
(104)
|
В заключение допустим, что стержень не двигается по отношению к системе , так что . Тогда в соответствии с (69) он двигается по отношению к системе со скоростью , и из (104) получаем:
|
(105)
|
и, следовательно:
shape Функция пределяет тот фактор, на который нужно умножить измеренную в неподвижной системе длину жесткого стержня, равномерно двигающегося по отношению к системе со скоростью , чтобы получить его длину в той системе , по отношению к которой он находится в состоянии покоя.
Полученный фактор называется сокращением.
19. Теперь, чтобы определить вид функции , объединим принадлежащее значению параметра преобразование (93), которое отображает в , с некоторым другим преобразованием группы
|
(106)
|
которое соответствует значению параметра и преобразует в . Из группового свойства преобразований (93) следует, что результирующее преобразование, которое преобразует непосредственно в , должно иметь вид:
|
(107)
|
где параметр задается уравнением (80) как функция от и .
Если явно проделать объединение обоих преобразований (93) и (106), то с учетом уравнения (80) получим:
|
(108)
|
откуда путем сравнения с (107) следует:
|
(109)
|
таким образом, согласно (80) получим:
|
(110)
|
Это — функциональное уравнение, при помощи которого можно определить функцию . С этой целью продифференцируем (110) по и затем положим , получая в результате:
|
(111)
|
Однако, согласно последнему уравнению в системе (92),
так что мы получаем также условия для сокращения согласно (44a) и (46a):
|
(112)
|
и
|
(113)
|
с помощью которых находим из (111) дифференциальное уравнение:
|
(114)
|
с начальным условием (112). Из (114) следует:
|
(115)
|
а отсюда:
|
(116)
|
Если вычислить интегралы с обеих сторон и решить получившееся уравнение по , найдем в результате выражение для сокращения:
|
(117)
|
которое действительно удовлетворяет условию (113).
Таким образом, конечные уравнения (93) общей однопараметрической линейной однородной группы, которая генерируется бесконечно малым преобразованием (47) при условии (55), теперь полностью определены.
[1]
20. Для группы Галилея находим, в частности, с помощью (46b):
|
(117a)
|
и для группы Лоренца с помощью (46c):
|
(117b)
|
что находится в соответствии с уравнениями (2) и (1).
Примечания
- Перейти ↑
Изменение знака также не влияет на уравнение (117). (Ср. подстрочное примечание в п. 12)
Части:
Введение -
I -
II -
III -
IV -
V -
VI -
VII -
Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии