Квазидетерминированное приближение

Степенные ряды для средних <<	Оглавление	>> Марковские плотности вероятности

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим одномерное уравнение Ито:

$dx=a(x,t)dt+\sigma \,b(x,t)\,\delta W$

в котором из функции $\textstyle b(x,t)$ явным образом выделен параметр волатильности процесса $\textstyle \sigma$. Его мы будем считать малым. Пусть функция $\textstyle c(t)$ является решением детерминированного уравнения:

${\dot {c}}=a(c,t).$

(3.18)

Введём новый процесс "отклонения" от детерминированного решения:

$z={\frac {x-c(t)}{\sigma }}.$

В силу Леммы Ито он удовлетворяет уравнению:

$dz={\frac {1}{\sigma }}\left[a(c+\sigma z,\,t)-a(c,\,t)\right]\,dt+b(c+\sigma z,\,t)\,\delta W,$

где вместо $\textstyle {\dot {c}}$ мы подставили правую часть уравнения (3.18).

Запишем уравнение для средних (3.3), выбрав $\textstyle F=z^{n}$:

${\dot {\left\langle z^{n}\right\rangle }}=n\,\left\langle z^{n-1}\,\left[a(c+\sigma z,\,t)-a(c,\,t)\right]\right\rangle +{\frac {n(n-1)}{2}}\,\left\langle z^{n-2}b^{2}(c+\sigma z,\,t)\right\rangle .$

Разложим в ряд Тейлора по параметру $\textstyle \sigma$ функции $\textstyle a$ и $\textstyle b^{2}$:

$a(c+\sigma z,\,t)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(t)\,(\sigma z)^{k},\;\;\;\;\;\;\;\;\;b^{2}(c+\sigma z,\,t)=\sum _{k=0}^{\infty }D_{k}(t)\,(\sigma z)^{k}.$

Детерминированное решение $\textstyle c(t)$ нам известно и определяет функции времени $\textstyle A_{k}=A_{k}(t)$, $\textstyle D_{k}=D_{k}(t)$. Так как $\textstyle A_{0}=a(c(t),\,t)$, то в квадратных скобках уравнения для средних коэффициент $\textstyle A_{0}$ сокращается, и мы имеем:

${\dot {\left\langle z^{n}\right\rangle }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left[nA_{k+1}\left\langle z^{n+k}\right\rangle +{\frac {n(n-1)}{2}}\,D_{k}\,\left\langle z^{k+n-2}\right\rangle \right]\,\sigma ^{k}.$

(3.19)

Разложим в ряд по степеням $\textstyle \sigma$ средние значения:

$\left\langle z^{n}\right\rangle =\sum _{i=0}^{\infty }z_{i}^{n}(t)\,\sigma ^{i}$

(3.20)

В коэффициентах $\textstyle z_{i}^{n}$, $\textstyle n$ — это верхний индекс, а не степень! Заметим, что $\textstyle \left\langle 1\right\rangle =1$, откуда $\textstyle z_{i}^{0}=0$ при $\textstyle i>0$ и $\textstyle z_{0}^{0}=1$.

Подставим разложение (3.20) в уравнение (3.19). В результате:

$\sum _{i=0}^{\infty }{\dot {z}}_{i}^{n}(t)\sigma ^{i}=\sum _{k,i=0}^{\infty }\left[n\,A_{k+1}\,z_{i}^{n+k}+{\frac {n(n-1)}{2}}\,D_{k}\,z_{i}^{k+n-2}\right]\,\sigma ^{k+i}.$

В двойной сумме в правой части сделаем замену индексов $\textstyle i=i'-k'$, $\textstyle k=k'$. Так как $\textstyle i>0$, то $\textstyle k'<i'$. Приравнивая члены при одинаковых степенях $\textstyle \sigma$ и опуская штрихи у индексов, получаем систему уравнений:

${\dot {z}}_{i}^{n}(t)=\sum _{k=0}^{i}\left\{n\,A_{k+1}\,z_{i-k}^{n+k}+{\frac {n(n-1)}{2}}\,D_{k}\,z_{i-k}^{k+n-2}\right\}.$

(3.21)

Выпишем несколько её первых уравнений:

${\begin{array}{l}{\dot {z}}_{0}^{1}(t)=\;A_{1}\,z_{0}^{1}\\{\dot {z}}_{0}^{2}(t)=2A_{1}\,z_{0}^{2}+\;D_{0}\\{\dot {z}}_{0}^{3}(t)=3A_{1}\,z_{0}^{3}+3\,D_{0}\,z_{0}^{1}\\{\dot {z}}_{0}^{4}(t)=4A_{1}\,z_{0}^{4}+6\,D_{0}\,z_{0}^{2}\\...\\{\dot {z}}_{1}^{1}(t)=\;A_{1}\,z_{1}^{1}+\;A_{2}\,z_{0}^{2}\\{\dot {z}}_{1}^{2}(t)=2A_{1}\,z_{1}^{2}+2A_{2}\,z_{0}^{3}+\;D_{1}z_{0}^{1}\\{\dot {z}}_{1}^{3}(t)=3A_{1}\,z_{1}^{3}+3A_{2}\,z_{0}^{4}+3D_{0}\,z_{1}^{1}+3D_{1}z_{0}^{2}\\...\\{\dot {z}}_{2}^{1}(t)=\;A_{1}\,z_{2}^{1}+\;A_{2}\,z_{1}^{2}\;+\;A_{3}\,z_{0}^{3}\\{\dot {z}}_{2}^{2}(t)=2A_{1}\,z_{2}^{2}+2A_{2}\,z_{1}^{3}+2A_{3}\,z_{0}^{4}+\;D_{1}z_{1}^{1}+\;D_{2}z_{0}^{2}\\...\\{\dot {z}}_{3}^{1}(t)=\;A_{1}\,z_{3}^{1}+\;A_{2}\,z_{2}^{2}\;+\;A_{3}\,z_{1}^{3}+\;A_{4}\,z_{0}^{4},...\\\end{array}}$

Так как начальные условия учтены в детерминированном решении $\textstyle x_{0}=c(t_{0})$, то для процесса $\textstyle z(t)$ они имеют вид $\textstyle z(t_{0})=0$. Соответственно равны нулю и все средние $\textstyle \left\langle z^{n}\right\rangle$ при $\textstyle t=t_{0}$. Систему уравнений (3.21) можно решать как аналитически, так и численно, используя конечные приращения для производных по времени.

Если в задаче при $\textstyle t\to \infty$ возможен стационарный режим, в котором $\textstyle {\dot {z}}_{i}^{n}=0$, то, приравняв левые части уравнений к нулю, получим систему с постоянными коэффициентами $\textstyle A_{k}=A_{k}(\infty )$, $\textstyle D_{k}=D_{k}(\infty )$, которая легко решается. В частности:

${\begin{array}{lcl}\left\langle z\right\rangle &=&{\frac {A_{2}D_{0}}{2A_{1}^{2}}}\,\sigma -\;...\\\left\langle z^{2}\right\rangle &=&-{\frac {D_{0}}{2A_{1}}}\;\;+\;{\frac {D_{0}}{4A_{1}^{4}}}\,(D_{0}(5A_{2}^{2}-3A_{1}A_{3})-3D_{1}A_{1}A_{2}+D_{2}A_{1}^{2})\,\sigma ^{2}+...\end{array}}$

Особенно удобен этот способ вычисления средних в многомерном случае, когда стационарное уравнение Фоккера-Планка решить сложно.

$\textstyle \bullet$ В качестве примера рассмотрим сначала точно решаемую задачу логарифмического блуждания:

$dx=\mu x\,dt+\sigma \,x\,\delta W.$

Как известно (стр. \pageref{log_winer_sol}), средние значения имеют вид:

$\left\langle x\right\rangle =x_{0}\,e^{\mu t},\;\;\;\;\;\;\;\left\langle x^{2}\right\rangle =x_{0}^{2}\cdot e^{2\mu t+\sigma ^{2}t}=x_{0}^{2}e^{2\mu t}\,\left[1+\sigma ^{2}t+{\frac {\sigma ^{4}t^{2}}{2}}+...\right].$

Так как уравнение линейно по $\textstyle x$, детерминированное решение $\textstyle c(t)$ совпадает с выражением для среднего. Ненулевые значения коэффициентов разложения сноса и дисперсии имеют вид:

$A_{1}=\mu ,\;\;\;\;\;\;\;\;D_{0}=x_{0}^{2}\,e^{2\mu t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;D_{1}=2x_{0}e^{\mu t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;D_{2}=1.$

В результате ряды обрываются, и уравнения принимают вид:

${\dot {z}}_{i}^{n}=n\,\mu \,z_{i}^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}\,{\Bigl [}x_{0}^{2}\,e^{2\mu t}\,z_{i}^{n-2}+2x_{0}e^{\mu t}\,z_{i-1}^{n-1}+z_{i-2}^{n}{\Bigr ]}.$

Среднее значение ($\textstyle n=1$) для любой $\textstyle i$-й поправки удовлетворяет уравнениям $\textstyle {\dot {z}}_{i}^{1}=\mu \,z_{i}^{1}$. Так как $\textstyle z(0)=0$, то все $\textstyle z_{i}^{1}=0$, и, следовательно, $\textstyle \left\langle x\right\rangle =c(t)=x_{0}\,e^{\mu t}$. Для среднего квадрата:

${\begin{array}{lcl}&{\dot {z}}_{0}^{2}=2\,\mu \,z_{0}^{2}+x_{0}^{2}\,e^{2\mu t}&=>z_{0}^{2}=x_{0}^{2}e^{2\mu t}\,t\\&{\dot {z}}_{1}^{2}=2\,\mu \,z_{1}^{2}&=>z_{1}^{2}=0\\&{\dot {z}}_{2}^{2}=2\,\mu \,z_{2}^{2}+z_{0}^{2}&=>z_{0}^{2}=x_{0}^{2}e^{2\mu t}\,t^{2}/2,...\end{array}}$

В итоге получаем разложение в ряд по $\textstyle \sigma$ точного решения.

$\textstyle \bullet$ Найдём теперь стохастические поправки к детерминированному решению для более сложного логистического уравнения:

$dx=x\cdot (1-x)\,dt+\sigma \,x\,\delta W.$

Его детерминированное решение имеет вид (см. стр. \pageref{df_eq_logistic}):

$c(t)={\bigl [}1-\lambda \cdot e^{-t}{\bigr ]}^{-1},$

где $\textstyle \lambda =1-x_{0}^{-1}$. Ненулевые коэффициенты разложения сноса и дисперсии равны:

$A_{1}=1-2\,c(t),\;\;\;\;\;\;\;A_{2}=-1,\;\;\;\;\;D_{0}=c^{2}(t),\;\;\;\;D_{1}=2\,c(t),\;\;\;\;\;D_{2}=1.$

В асимптотическом пределе $\textstyle t\to \infty$ детерминированное решение $\textstyle c(t)$ стремится к единице, и полученные выше выражения для $\textstyle \left\langle z\right\rangle$, $\textstyle \left\langle z^{2}\right\rangle$ воспроизводят точные значения для среднего и волатильности (3.13).

В произвольный момент времени первое уравнение системы для средних (3.21) имеет вид:

${\dot {z}}_{0}^{1}(t)={\bigl [}1-2c(t){\bigr ]}\,z_{0}^{1}(t)\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;z_{0}^{1}(t)={\frac {z_{0}\,e^{-t}}{(1-\lambda e^{-t})^{2}}}.$

Так как $\textstyle z(0)=0$, то, следовательно, константа интегрирования $\textstyle z_{0}$ равна нулю, и, соответственно, поправка к $\textstyle z$, пропорциональная $\textstyle \sigma$, также равна нулю $\textstyle z_{0}^{1}(t)=0$. Аналогично равны нулю $\textstyle z_{1}^{3}(t)=z_{1}^{2}(t)=z_{2}^{1}(t)=0$. Ведущий член для $\textstyle \left\langle z^{2}\right\rangle$ подчиняется уравнению

${\dot {z}}_{0}^{2}(t)=2{\bigl [}1-2c(t){\bigr ]}\,z_{0}^{2}(t)+c^{2}(t),$

решение которого с начальным условием $\textstyle z_{0}^{2}(0)=0$ имеет вид:

$z_{0}^{2}(t)={\frac {1-4\lambda e^{-t}+(2\lambda ^{2}\,t+4\lambda -1)e^{-2t}}{2(1-\lambda \,e^{-t})^{4}}}.$

Четвёртая степень $\textstyle \left\langle z^{4}\right\rangle$ в нулевом приближении выражается через $\textstyle z_{0}^{2}$:

$z_{0}^{4}(t)=3\,\left(z_{0}^{2}(t)\right)^{2}.$

Наконец, первая поправка к среднему значению равняется:

$z_{1}^{1}(t)=-{\frac {1-2(1+\lambda (t-1))e^{-t}+(1-2\lambda )e^{-2t}}{2(1-\lambda \,e^{-t})^{3}}}.$

Дальше члены разложения становятся достаточно громоздкими. Приведём их вид, когда $\textstyle \lambda =0$, т.е. начальное значение стохастического процесса стартует с асимптотически равновесного уровня $\textstyle x=1$. В этом случае среднее значение для $\textstyle x$ с точностью до $\textstyle \sigma ^{4}$ равно:

$\left\langle x\right\rangle =1-\left(1-e^{-t}\right)^{2}\,{\frac {\sigma ^{2}}{2}}+e^{-t}\left(2-3e^{-t}\right)\left(2t-3+4e^{-t}-e^{-2t}\right)\,{\frac {\sigma ^{4}}{4}}.$

Аналогично для среднего квадрата:

$\left\langle x^{2}\right\rangle =1-\left(1-4e^{-t}+3e^{-2t}\right)\,{\frac {\sigma ^{2}}{2}}+...$

Мы видим, что сложность аналитических выражений достаточно быстро увеличивается. Для практических целей иногда имеет смысл использовать численное решение системы дифференциальных уравнений. В этом случае при небольших $\textstyle \sigma$ мы будем получать средние значения быстрее, чем при использовании Монте-Карло — моделирования.

---

Степенные ряды для средних <<	Оглавление	>> Марковские плотности вероятности

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения