Степенные ряды для средних

Логистическое уравнение <<	Оглавление	>> Квазидетерминированное приближение

---

Решение обыкновенного дифференциального уравнения можно представлять в виде ряда по степеням $\textstyle t$. Аналогично будем поступать и в стохастическом случае, однако в ряд разложим непосредственно средние величины.

$\textstyle \bullet$ Для уравнения Ито:

$dx=a(x,t)\,dt+b(x,t)\,\delta W$

возьмём первую итерацию от начального условия $\textstyle x_{0}=x(t_{0})$:

$x=x_{0}+a(x_{0},t_{0})\,(t-t_{0})+b(x_{0},t_{0})\,\varepsilon {\sqrt {t-t_{0}}}.$

Учитывая $\textstyle \left\langle \varepsilon \right\rangle =0$ и $\textstyle \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle =1$, вычислим, с точностью до линейного приближения по $\textstyle t-t_{0}$, среднее значение и среднее квадрата:

${\begin{array}{lcl}\left\langle x\right\rangle &=&x_{0}+a(x_{0},t_{0})\cdot (t-t_{0})+...\\\left\langle x^{2}\right\rangle &=&x_{0}^{2}+{\bigl [}2x_{0}\cdot a(x_{0},t_{0})+b^{2}(x_{0},t_{0}){\bigr ]}\cdot (t-t_{0})+...\end{array}}$

Соответственно, дисперсия процесса в этом приближении будет равна $\textstyle \sigma _{x}^{2}(t)=b^{2}(x_{0},t_{0})\cdot (t-t_{0})+..$. Чтобы получить дальнейшие члены разложения, воспользуемся динамическим уравнением для средних.

$\textstyle \bullet$ Для определённости рассмотрим логистическое уравнение:

$dx=x\cdot (1-x)\,dt+{\sqrt {2\gamma }}\cdot x\,\delta W.$

В этом случае:

${\begin{array}{lcl}\left\langle x\right\rangle &=&x_{0}+x_{0}\,(1-x_{0})\cdot t+f\,t^{2}+...\\\left\langle x^{2}\right\rangle &=&x_{0}^{2}+2{\bigl [}x_{0}^{2}(1-x_{0})+\gamma \,x_{0}^{2}{\bigr ]}\,t+...\end{array}}$

Найдём коэффициент $\textstyle f$. Для этого подставим разложения в уравнение для среднего:

${\dot {\left\langle x\right\rangle }}=\left\langle x\right\rangle -\left\langle x^{2}\right\rangle ,$

ограничившись первым порядком по $\textstyle t$:

$x_{0}\cdot (1-x_{0})+2\,f\,t+...=x_{0}\cdot (1-x_{0})+x_{0}{\bigl [}1-(3+2\gamma )x_{0}+2x_{0}^{2}{\bigr ]}\,t+...,$

откуда:

${\frac {2}{x_{0}}}\,f=1-(3+2\gamma )x_{0}+2x_{0}^{2}.$

Аналогично находятся следующие коэффициенты разложения.

$\textstyle \bullet$ Найдём рекуррентные соотношения для произвольного члена разложения. Выбирая в (3.3), функцию $\textstyle F(x)=x^{n}$, запишем систему связанных дифференциальных уравнений:

${\dot {\left\langle x^{n}\right\rangle }}=\left(n+n\,(n-1)\gamma \right)\,\left\langle x^{n}\right\rangle -n\left\langle x^{n+1}\right\rangle ,$

Разложим средние в степенной ряд:

$\left\langle x^{n}\right\rangle \;=\;x_{0}^{n}\left[1+f_{n,1}\,t+f_{n,2}\,t^{2}+...\right]\;=\;x_{0}^{n}\,\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }f_{n,k}\,t^{k}\right].$

Подставляя его в уравнение для средних и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\textstyle t$, получаем при $\textstyle k=1,2,...$ систему рекуррентных уравнений ($\textstyle f_{n,0}=1$):

$k\,f_{n,k}=n\,(1+(n-1)\gamma )\,f_{n,k-1}-nx_{0}\,f_{n+1,k-1}.$

На системе аналитических расчётов Matematica фирмы Wolfram Research, Inc. вычисления среднего с точностью до $\textstyle t^{5}$ можно записать так:

\cppsrc{src/math_t.cpp} \\ \\ Первые две строки представляют собой рекурсивное определение функции $\textstyle f$. Затем в цикле Do происходит суммирование разложения по $\textstyle t$. Последняя строка осуществляет вывод результата, сгруппированного в виде множителей при $\textstyle t^{n}$, к каждому из которых применяется операция упрощения.

Заметим, что для большого числа членов разложения более быстрой будет нерекурсивная реализация программы:

\cppsrc{src/math_t2.cpp} \\ \\ где в двойном цикле по $\textstyle k$ и $\textstyle n$ происходит явное вычисление коэффициентов $\textstyle f_{n,k}$. Хотя и рекурсивную реализацию можно ускорить, написав: f[n\_, k\_]:=f[n,k]=(n/k)$\textstyle *$...

Приведём первые три члена разложения:

${\begin{array}{lcl}\left\langle {\frac {x}{x_{0}}}\right\rangle &=&1+{\bigl [}1-x_{0}{\bigr ]}\,t+{\bigl [}1-(3+2\gamma )x_{0}+2x_{0}^{2}{\bigr ]}\,{\frac {t^{2}}{2!}}\\&+&{\bigl [}1-(7+10\gamma +4\gamma ^{2})\,x_{0}+(12+16\gamma )\,x_{0}^{2}-6x_{0}^{3}{\bigr ]}\,{\frac {t^{3}}{3!}}+...\end{array}}$

Аналогично для дисперсии процесса $\textstyle \sigma _{x}^{2}(t)=\left\langle x^{2}\right\rangle -\left\langle x\right\rangle ^{2}$:

${\frac {\sigma _{x}^{2}(t)}{2\gamma x_{0}^{2}}}=t+{\bigl [}4+2\gamma -6x_{0}{\bigr ]}{\frac {t^{2}}{2!}}+{\bigl [}12+12\gamma +4\gamma ^{2}-(48\gamma +46)x_{0}+38x_{0}^{2}{\bigr ]}{\frac {t^{3}}{3!}}+...$

Подобным образом получаются разложения для моментов произвольного порядка. Выражения несколько упрощаются, если в качестве начального условия выбирается точка детерминированного асимптотического равновесия $\textstyle x_{0}=1$. При $\textstyle \gamma =0$ в этом случае решение не зависит от времени. В стохастической системе оно должно проэволюционировать к значению: $\textstyle x_{0}\to \left\langle x\right\rangle _{\infty }=1-\gamma .$ Поэтому зависимость от времени существует:

${\begin{array}{lcl}{\frac {\left\langle x\right\rangle -1}{2\gamma }}=&-&{\frac {t^{2}}{2!}}+(3-2\gamma )\,{\frac {t^{3}}{3!}}-(7-38\gamma +4\gamma ^{2})\,{\frac {t^{4}}{4!}}\\&+&(15-334\gamma +284\gamma ^{2}-8\gamma ^{3})\,{\frac {t^{5}}{5!}}\\&-&(31-2146\gamma +7012\gamma ^{2}-1848\gamma ^{3}+16\gamma ^{4})\,{\frac {t^{6}}{6!}}+...\end{array}}$

Графики разложений ($\textstyle \gamma =1/2$) различного порядка (от $\textstyle k=1$ до $\textstyle k=10$) для среднего (слева) и волатильности (справа) имеют вид:

Подобные степенные разложения часто являются асимптотическими рядами и хорошо работают только при малых временах. Однако их сходимость можно улучшать при помощи различных методов, например, аппроксимацией Падэ.

$\textstyle \bullet$ Естественно, можно строить разложения не только в виде ряда по $\textstyle t$. Достаточно универсальным является метод последовательных приближений. Его идея в следующем. Выберем некоторые функции $\textstyle \phi _{n,0}(t)$, являющиеся нулевым приближением для $\textstyle \left\langle x^{n}\right\rangle$, так, что $\textstyle \phi _{n,0}(0)=x_{0}^{n}$. Подставляя их в правые части уравнений для средних, получаем дифференциальные уравнения. Решая их, мы найдём более точное приближение для функции $\textstyle \left\langle x^{n}\right\rangle =\phi _{n,1}(t)$. При повторении этой процедуры будет получаться всё более точное выражение для средних. При этом на каждой итерации необходимо использовать начальное условие $\textstyle \phi _{n,k}(0)=x_{0}^{n}$. Чем удачнее выбор $\textstyle \phi _{n,0}(t)$, тем быстрее будут сходиться к точному значению последовательные приближения, и тем шире диапазон $\textstyle t$ для их применимости.

Рассмотрим логистическое уравнение:

${\dot {\left\langle x^{n}\right\rangle }}=n\left(1+(n-1)\,\gamma \right)\,\left\langle x^{n}\right\rangle -n\left\langle x^{n+1}\right\rangle .$

В простейшем случае можно выбрать $\textstyle \phi _{n,0}(t)=x_{0}^{n}$. Тогда в первом приближении:

${\dot {\phi }}_{n,1}=n\left(1+(n-1)\,\gamma \right)\,x_{0}^{n}-nx_{0}^{n+1},$

откуда:

$\phi _{n,1}=x_{0}^{n}+x_{0}^{n}\cdot \left[1+n(1-x_{0})+n(n-1)\,\gamma \right]t,$

и т.д. В результате снова получаются степенные ряды по $\textstyle t$, в которых коэффициенты разложения единым образом выражаются через $\textstyle n$ для любого $\textstyle \left\langle x^{n}\right\rangle$.

Другой вариант выбора нулевого приближения $\textstyle \phi _{n,0}=x_{0}^{n}\,e^{-nt}$. В этом случае:

$\phi _{n,1}=x_{0}^{n}+x_{0}^{n}\cdot \left[1+(n-1)\,\gamma \right]\left(1-e^{-nt}\right)-{\frac {n}{n+1}}\,x_{0}^{n+1}\left(1-e^{-2nt}\right).$

В качестве нулевого приближения можно выбрать решение детерминированного уравнения. Тогда последовательно получаемые приближения окажутся рядами по величине волатильности стохастического шума $\textstyle \gamma$.

---

Логистическое уравнение <<	Оглавление	>> Квазидетерминированное приближение

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения