Динамическое уравнение для средних

Порождающий процесс Винера <<	Оглавление	>> Процесс Феллера

---

$\textstyle \bullet$ Для получения информации о случайном процессе $\textstyle x(t)$ можно сначала решить уравнение Ито, а затем вычислить наблюдаемые характеристики процесса, которые, в конечном счёте, являются средними между различными величинами. Было бы здорово сразу иметь уравнения для наблюдаемых, исключая первый этап.

Рассмотрим итерационную схему в моменты времени $\textstyle t$ и $\textstyle t+dt$:

$x(t+dt)=x+a(x,t)\,dt+b(x,t)\,\varepsilon \,{\sqrt {dt}}.$

(3.1)

Значение процесса $\textstyle x=x(t)$ и гауссова величина $\textstyle \varepsilon$ являются двумя независимыми случайными величинами. В результате вычисления (3.1) возникает новое случайное число $\textstyle x(t+dt)$. Чтобы найти его среднее значение необходимо проинтегрировать левую часть (3.1) с марковской плотностью $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x+dt,t+dt)$. Эквивалентный результат получится при усреднении правой части с $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)\cdot P(\varepsilon )$, где $\textstyle P(\varepsilon )$ — гауссова плотность вероятности. Так как $\textstyle x$ и $\textstyle \varepsilon$ независимы и $\textstyle \left\langle \varepsilon \right\rangle =0$, то усреднение последнего слагаемого в (3.1) даёт ноль, поэтому:

$\left\langle x(t+dt)\right\rangle =\left\langle x(t)\right\rangle +\left\langle a(x(t),t)\right\rangle \,dt.$

Перенося $\textstyle \left\langle x(t)\right\rangle$ влево и разделив обе части на $\textstyle dt$, мы приходим к динамическому уравнению для среднего:

${\frac {d\left\langle x\right\rangle }{dt}}={\dot {\left\langle x\right\rangle }}=\left\langle a(x,t)\right\rangle .$

(3.2)

Если $\textstyle a(x,t)=\alpha (t)+\beta (t)\,x$, то (3.2) имеет ту же форму, что и детерминированное уравнение:

${\dot {\left\langle x\right\rangle }}=\alpha (t)+\beta (t)\,\left\langle x\right\rangle .$

Поэтому при любой волатильности $\textstyle b(x,t)$ среднее значение процесса с линейным по $\textstyle x$ сносом совпадает с детерминированным решением. Однако в нелинейном случае это не так!

Абсолютно аналогично, усредняя произвольную функцию $\textstyle F=F(x,t)$, изменение которой подчиняется лемме Ито (2.15), получаем:

${\;{\frac {d\left\langle F(x,t)\right\rangle }{dt}}=\left\langle {\frac {\partial F}{\partial t}}+a(x,t)\cdot {\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {b^{2}(x,t)}{2}}\cdot {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\right\rangle \;}.$

(3.3)

Выбирая те или иные функции $\textstyle F(x,t)$, можно получить множество полезных соотношений для средних величин.

$\textstyle \bullet$ В качестве примера рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:

$dx=-\beta \cdot (x-\alpha )\,dt+\sigma \,\delta W,$

решение которого в предыдущей главе мы выразили через гауссову переменную. В данном случае снос является линейным по $\textstyle x$, и сразу получается зависимость среднего от времени:

${\dot {\left\langle x\right\rangle }}=-\beta \cdot {\bigl (}\left\langle x\right\rangle -\alpha {\bigr )}\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\langle x\right\rangle =\alpha +{\bigl (}x_{0}-\alpha {\bigr )}e^{-\beta t}.$

В качестве начального условия при $\textstyle t_{0}=0$ выбрано значение среднего, равное $\textstyle x_{0}$. Вообще, если в начальный момент времени $\textstyle x=x_{0}$, то средние произвольной степени при $\textstyle t_{0}=0$ равны $\textstyle \left\langle x^{n}\right\rangle =x_{0}^{n}$. Действительно, средние детерминированных величин равны им самим, а начальная плотность вероятности равна дельта - функции: $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t_{0})=\delta (x-x_{0})$. В более общем случае можно рассматривать произвольное начальное распределение вероятностей, задавая $\textstyle \left\langle x^{n}\right\rangle$ в момент $\textstyle t_{0}=0$.

Выбирая теперь $\textstyle F=x^{2}$, получим уравнение для квадрата:

${\dot {\left\langle x^{2}\right\rangle }}=-2\beta \,\left\langle x^{2}\right\rangle +2\alpha \beta \,\left\langle x\right\rangle +\sigma ^{2}.$

Функция $\textstyle \left\langle x\right\rangle$ нам известна, и уравнение несложно проинтегрировать:

$\left\langle x^{2}\right\rangle =\left[\alpha +{\bigl (}x_{0}-\alpha {\bigr )}e^{-\beta t}\right]^{2}+\gamma ^{2}\,\left(1-e^{-2\beta t}\right),$

где $\textstyle \gamma =\sigma /{\sqrt {2\beta }}$. Откуда волатильность процесса равна:

$\sigma _{x}(t)=\gamma \,{\sqrt {1-e^{-2\beta t}}}.$

Если в задаче возможен стационарный режим, то уравнения для средних часто позволяют получить асимптотические значения величин. Для этого достаточно положить производную по времени равной нулю. Так, для процесса Орнштейна - Уленбека, выбирая $\textstyle F=x^{n}$, имеем:

${\dot {\left\langle x^{n}\right\rangle }}=0\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\left\langle x^{n}\right\rangle =\alpha \left\langle x^{n-1}\right\rangle +(n-1)\gamma ^{2}\,\left\langle x^{n-2}\right\rangle .$

Так как среднее единицы равно единице: $\textstyle \left\langle x^{0}\right\rangle =\left\langle 1\right\rangle =1$, из этого уравнения последовательно находим:

$\left\langle x\right\rangle =\alpha ,\;\;\;\;\left\langle x^{2}\right\rangle =\alpha ^{2}+\gamma ^{2},\;\;\;\;\left\langle x^{3}\right\rangle =\alpha ^{3}+3\alpha \gamma ^{2},\;\;\;\;\left\langle x^{4}\right\rangle =\alpha ^{4}+6\alpha ^{2}\gamma ^{2}+3\gamma ^{4}.$

Естественно, этот же результат можно получить и из асимптотического решения, выраженного через гауссову переменную (стр. \pageref{sol_OU}):

$x=\alpha +\gamma \,\varepsilon .$

Для этого необходимо возвести $\textstyle x$ в соответствующую степень и усреднить, с учётом $\textstyle \left\langle \varepsilon ^{2n+1}\right\rangle =0$, $\textstyle \left\langle \varepsilon ^{2n}\right\rangle =1\cdot 3\cdot 5\cdot ..\cdot (2n-1)$.

В качестве упражнения предлагается найти среднее для уравнения: $\textstyle dx=(\alpha +\beta x)\,dt+(\sigma +\gamma x)\,\delta W$ ($\textstyle \lessdot$ H).

$\textstyle \bullet$ Из соотношения (3.3) несложно получить уравнение, которому удовлетворяет плотность вероятности $\textstyle P(x)$ в стационарном режиме. Выберем функцию $\textstyle F(x)$, не зависящую от времени, и положим производную $\textstyle \left\langle F(x)\right\rangle$ равной нулю. Запишем усреднение в явном виде:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }P(x)\,\left[a(x)\cdot {\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {b^{2}(x)}{2}}\cdot {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\right]\,dx=0.$

Интегрируя по частям первое слагаемое один раз, а второе — два, и считая, что $\textstyle P(x)$ достаточно быстро убывает на бесконечности, получаем:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left[-{\frac {\partial (a\cdot P)}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial ^{2}(b^{2}\cdot P)}{\partial x^{2}}}\right]\,F(x)\,dx=0.$

Так как функция $\textstyle F(x)$ произвольна, то интеграл будет равен нулю, только если равно нулю выражение в квадратных скобках. В результате получается стационарное уравнение Фоккера - Планка:

${\frac {\partial }{\partial x}}\;{\bigl [}a(x)\cdot P{\bigr ]}={\frac {1}{2}}\;{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\;{\bigl [}b^{2}(x)\cdot P{\bigr ]}$

которое легко интегрируется:

$a(x)P={\frac {1}{2}}\;{\frac {\partial }{\partial x}}\;{\bigl [}b^{2}(x)\cdot P{\bigr ]}.$

Для диффузных процессов плотность вероятности быстро убывает на бесконечности, так что существуют средние произвольной степени $\textstyle \left\langle x^{m}\right\rangle$. Поэтому, устремив $\textstyle x\to \infty$, мы получим слева и справа ноль, что подтверждает правильность выбора нулевой константы интегрирования. Таким образом, стационарное уравнение Фоккера - Планка оказывается уравнением первого порядка с разделяющимися переменными:

${\frac {1}{2}}\,{\frac {P'(x)}{P(x)}}={\frac {a(x)}{b^{2}(x)}}-{\frac {b'(x)}{b(x)}},$

(3.4)

где штрих у функций — это производная по $\textstyle x$. Его решение имеет вид:

$P(x)={\frac {C}{b^{2}(x)}}\,\exp \left\{2\int {\frac {a(x)}{b^{2}(x)}}\,dx\right\}{\bigl |}.$

(3.5)

Константа интегрирования $\textstyle C$ находится из условия нормировки. Выполнимость этого условия является критерием возможности стационарного решения. Так, для логарифмического блуждания (стр. \pageref{log_winer}) со сносом $\textstyle a(x)=\mu \,x$ и волатильностью $\textstyle b(x)=\sigma \,x$ имеем $\textstyle P(x)\sim x^{-2+2\mu /\sigma ^{2}}$. Ни при каком значении параметров эта функция не может быть отнормирована.

$\textstyle \bullet$ В качестве простого примера стационарного решения уравнения Фоккера - Планка рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:

$dx=-\beta \cdot (x-\alpha )\,dt+\sigma \,\delta W.$

Интегрирование в (3.5) приводит к следующей плотности вероятности:

$P(x)={\frac {1}{\sigma }}\,{\sqrt {\frac {\beta }{\pi }}}\,\exp \left\{-{\frac {(x-\alpha )^{2}}{\sigma ^{2}/\beta }}\right\},$

которая является распределением Гаусса. В терминах случайных величин $\textstyle P(x)$ можно записать в виде:

$x=\alpha +{\frac {\sigma }{\sqrt {2\beta }}}\,\varepsilon ,$

где $\textstyle \varepsilon \sim N(0,1)$ — гауссова переменная с нулевым средним и единичной дисперсией. Аналогично, предлагается найти ($\textstyle \lessdot$ H) асимптотическую плотность вероятности для процесса $\textstyle dx=-\beta \cdot (x-\alpha )\,dt+\sigma \,x^{\nu }\,\delta W$.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим ещё одну задачу:

$dx=\sigma {\sqrt {\alpha ^{2}+x^{2}}}\,\delta W.$

Так как снос равен нулю $\textstyle a=0$, то среднее значение не изменяется со временем $\textstyle \left\langle x\right\rangle =x_{0}$. Для среднего квадрата имеем:

${\dot {\left\langle x^{2}\right\rangle }}=\sigma ^{2}\,(\alpha ^{2}+\left\langle x^{2}\right\rangle )\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\left\langle x^{2}\right\rangle =(\alpha ^{2}+x_{0}^{2})\,e^{\sigma ^{2}\,t}-\alpha ^{2}.$

Поэтому дисперсия процесса

$\sigma _{x}^{2}(t)=(\alpha ^{2}+x_{0}^{2})\,\left(e^{\sigma ^{2}\,t}-1\right)$

в пределе $\textstyle t\to \infty$ стремится к бесконечности. Тем не менее, в этом случае стационарное уравнение Фоккера-Планка приводит к распределению Коши:

$P(x)={\frac {\alpha /\pi }{x^{2}+\alpha ^{2}}},$

к которому действительно приближается плотность вероятности процесса. В этом случае стационарность несколько патологична. В частности, не существуют $\textstyle \left\langle x^{n}\right\rangle$ при $\textstyle n>1$.

---

Порождающий процесс Винера <<	Оглавление	>> Процесс Феллера

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения