Марковские плотности вероятности

Квазидетерминированное приближение <<	Оглавление	>> Уравнение для плотности вероятности

---

$\textstyle \bullet$ Вернёмся к винеровскому процессу с нулевым сносом $\textstyle \mu =0$ и единичной волатильностью. Так как случайная функция $\textstyle x(t)$ зависит от гауссовой переменной $\textstyle \varepsilon$:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=x_0+\varepsilon\cdot \sqrt{t-t_0}\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;\varepsilon=(x-x_0)/\sqrt{t-t_0},}

то, воспользовавшись распределением Гаусса (см. стр. \pageref{prob_P_from_f}), можно записать условную плотность вероятности в виде:

$P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \cdot (t-t_{0})}}}\cdot \exp \left\{-{\frac {1}{2}}\,{\frac {(x-x_{0})^{2}}{t-t_{0}}}\right\}.$

(4.1)

Чем меньше разница $\textstyle t-t_{0}$, тем более высоким и узким будет колокол гауссианы, стремясь в пределе $\textstyle t\to t_{0}$ к дельта-функции Дирака:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t) = \delta (x-x_0)\;\;\;\;\;при\;\;\; t\to t_0. }

(4.2)

Она равна бесконечности при $\textstyle x=x_{0}$ и нулю в других точках, так, что интеграл по $\textstyle x$ в окрестности $\textstyle x_{0}$ равен единице (см. Приложение М, стр. \pageref{math_delta_dirac_int}). Функции Дирака равна любая условная плотность вероятности при $\textstyle t=t_{0}$. Действительно, в бесконечно близкий к $\textstyle t_{0}$ момент времени отлична от нуля только вероятность в окрестности начального значения $\textstyle x\approx x_{0}$.

К дельта-функции Дирака при $\textstyle t\to t_{0}$ стремится также условная плотность вероятности Коши:

$P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)={\frac {(t-t_{0})/\pi }{(x-x_{0})^{2}+(t-t_{0})^{2}}}.$

(4.3)

Интеграл от этой функции по $\textstyle x$ равен единице, среднее значение — $\textstyle x_{0}$. Однако моменты второго и более высоких порядков равны бесконечности. Соответственно равна бесконечности волатильность. В результате становятся вероятными очень большие выбросы случайных чисел. Подобные процессы называются процессами со скачками. У колокола распределения существует типичная ширина, пропорциональная $\textstyle t-t_{0}$. По мере удаления от начального момента времени происходит "расплывание" распределения вероятностей и очень быстрый уход процесса от начального значения $\textstyle x_{0}$. Поэтому в теории диффузных процессов мы не рассматриваем распределение Коши, хотя, как мы увидим чуть ниже, оно является марковским.

$\textstyle \bullet$ Плотность вероятности марковских процессов должна удовлетворять определённым уравнениям. Рассмотрим три последовательных момента времени $\textstyle t_{1}<t_{2}<t_{3}$, в которых $\textstyle x(t)$ принимает значения $\textstyle x_{1}$, $\textstyle x_{2}$ и $\textstyle x_{3}$. Совместная плотность вероятности для $\textstyle x_{1}$ и $\textstyle x_{3}$ равна:

$P(x_{1},x_{3})=\int P(x_{1},x_{2},x_{3})dx_{2},$

(4.4)

где для краткости опущены времена $\textstyle t_{i}$. В (4.4) мы суммируем все возможные реализации "промежуточного" значения $\textstyle x_{2}$. В результате из трехточечной совместной плотности вероятности получается двуточечная. Подставим в левую часть $\textstyle P(x_{1},x_{3})=P(x_{1})\cdot P(x_{1}\Rightarrow x_{3})$ определение условной вероятности, а в правую, с учётом марковости процесса, трёхточечную плотность вероятности (см. (1.42):

$P(x_{1},x_{2},x_{3})=P(x_{1})\cdot P(x_{1}\Rightarrow x_{2})P(x_{2}\Rightarrow x_{3}).$

Восстанавливая времена, получаем:

$P(x_{1},t_{1}\Rightarrow x_{3},t_{3})=\int P(x_{1},t_{1}\Rightarrow x_{2},t_{2})\cdot P(x_{2},t_{2}\Rightarrow x_{3},t_{3})\;dx_{2}.$

(4.5)

Это интегральное уравнение Чепмена-Колмогорова. В качестве упражнения ($\textstyle \lessdot$ H) имеет смысл проверить, что этому уравнению удовлетворяет гауссова плотность вероятности (4.1). Второе упражнение ($\textstyle \lessdot$ H) состоит в записи уравнения Чепмена-Колмогорова для характеристических функций, если $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)=P(x-x_{0},t-t_{0})$, и проверке марковости распределения Коши (4.3).

Уравнению Чепмена-Колмогорова должны удовлетворять любые вероятности марковских процессов. Правда в таком виде оно слишком общее, и нам нужны его более конкретные представления. В уравнении (4.5) времена $\textstyle t_{1},$ $\textstyle t_{2}$ и $\textstyle t_{3}$ могут быть удалены друг от друга как угодно далеко. Однако особый интерес представляет ситуация бесконечно близких времён. В результате глобальные свойства $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$ определяются из решений локальных дифференциальных уравнений. Так как условная плотность вероятности имеет две пары аргументов, то возможны, по крайней мере, два уравнения относительно $\textstyle \{x_{0},t_{0}\}$ и $\textstyle \{x,t\}$. Из (4.5) в следующем разделе мы получим уравнение относительно $\textstyle \{x_{0},t_{0}\}$, которое называется первым уравнением Колмогорова. Аналогично выводится уравнение Фоккера-Планка, или второе уравнение Колмогорова относительно $\textstyle \{x,t\}$. Мы найдём его при помощи стохастического дифференциального уравнения. Этот вывод покажет непосредственную связь двух математических аппаратов.

---

Квазидетерминированное приближение <<	Оглавление	>> Уравнение для плотности вероятности

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения