Теория вещества: 1. Идеальный газ

---

Введение

Модель идеального газа - это простейшая статистическая модель, неплохо описывающая физику реальных газов. Рассмотрим сосуд объёмом $V$ в котором движутся небольшие шарики массы $m$. При движении они упруго сталкиваются друг с другом (подобно бильярдным шарам, но без вращения) и не теряя энергии, отражаются от стенок сосуда. Далее эти шарики будут называться одноатомными молекулами.

В реальных газах молекул очень много. В результате столкновений, они быстро "забывают" начальные условия (положение и скорость) и их движение становится случайным. В частности, независимо от начальных условий, концентрация частиц в различных частях объёма со временем оказывается примерно одинаковой, а средняя скорость (по всем частицам) равной нулю. Такое состояние называется равновесным.

---

Давление и работа

Пусть сосуд имеет форму цилиндра, в основании которого находится поршень площади $S$. Молекулы постоянно налетают на поршень, "толкая его". Поэтому для удержания поршня в неподвижном состоянии к нему необходимо прикладывать некоторую силу $-F$, которая компенсирует такую же силу $F$ (с противоположным направлением) со стороны газа (третий закон Ньютона). На рисунке справа источником внешней силы $-F$ является сжатая пружина. Когда система приходит в равновесие, давление со стороны газа уравновешивается силой со стороны пружины.
По определению, давление равно отношению силы $F$ со стороны газа, приложенной к поршню площади $S$: $$~~~~~~~~~~~~P = \frac{F}{S}.$$ Давление газа является его важной характеристикой, описывающей (наравне с объёмом $V$) равновесное состояние газа. Давление - это положительная, скалярная величина. Компенсирующая его нормальная (перпендикулярная поверхности) сила одинакова при любых ориентациях поверхности и в любых точках объёма (см. второй рисунок).

---

Если газ начать нагревать, скорость молекул увеличится. Поэтому увеличатся частота и сила ударов молекул о поршень. Соответственно, вырастет и давление газа. Это приведёт к тому, что поршень начнёт сдвигаться вправо, ещё сильнее сжимая пружину, пока не достигнет нового равновесного состояния. Увеличивая свой объём $dV=S\,dx$, газ совершает работу, равную: $$\delta A = \mathbf{F}\,d\mathbf{x} = F_x\,dx =\frac{F_x}{S}\,S\,dx = P\,dV.$$ Так как $\delta A$ - это работа совершаемая газом, то сила $\mathbf{F}$ направлена вдоль оси $x$ (противоположно компенсирующей силе пружины). Когда объём увеличивается $(dV \gt 0)$, то газ совершает работу: $\delta A \gt 0$. При уменьшении объёма $(dV \lt 0)$ работа газа отрицательна: $\delta A \lt 0$. Это означает, что для сжатия газа необходимо затратить работу со стороны внешних сил.

---

☝ Подчернём, что работа совершается газом только, если молекулы отражаются от поршня неупруго, теряя при столкновении часть своего импульса. Когда поршень резко выдвигают, молекулы не теряют своей энергии и газ работу не совершает. В качестве примера произведенной работы, рассмотрим цилиндрический сосуд, в верхнем основании которого находится подвижный тяжёлый поршень массы $M$ и площади $S$. В равновесии сила давления газа $P\,S$ уравновешивается весом поршня $M\,g$ (на поршень сверху ничего не давит). Газ можно начать нагревать, в результате чего поршень начнёт подниматься. Вторая возможность - медленно уменьшать массу поршня, что также приведёт к его поднятию. В обоих этих случаях газ совершает работу.

---

При изменении объёма газа может меняться его давление. Подобная зависимость $P=P(V)$ изображается на декартовой плоскости $(P,V)$ с координатными осями на которых отложено давление и объём. Работа, совершаемая газом, равна площади под кривой $P(V)$: $$~~~~~~~~A = \int\limits^2_1 P\,dV.$$ Эта площадь положительна при расширении и отрицательна при сжатии. В последнем случае стрелка на контуре будет направлена в обратную сторону (интегрирование от $2$ к $1$).

---

Давление идеального газа

Найдём давление, оказываемое идеальным газом на неподвижный поршень (или стенку сосуда). Для этого рядом с поршнем выделим тонкий слой газа ширины $\Delta L$, в котором можно пренебречь столкновениями молекул друг с другом (но их там должно быть по-прежнему много). Если $S$ - это площадь поршня, то объём слоя равен $V=S\,\Delta L$.

Рассмотрим $N_{v}$ молекул, которые имеют примерно одинаковую компоненту скорости $v_x$ и движутся в направлении поршня $(v_x \gt 0)$. За время $\Delta t = \Delta L/v_x$ эти молекулы из слоя шириной $\Delta L$, успеют столкнутся с поршнем (последними - молекулы, находящиеся на границе слоя). После упругого столкновения (поршень неподвижен), компонента импульса $p_x$ молекул меняет знак и полное изменение их импульса, переданное поршню, равно $\Delta p_x=2\,p_x$. Поэтому суммарное давление со стороны этих молекул на поршень равно: $$P ~=~ \frac{F_x}{S} ~=~ N_{v}\,\frac{\Delta p_x}{\Delta t}\,\frac{1}{S} ~=~ N_v\,\frac{2\,p_x}{S\,\Delta t} ~=~ 2\,\frac{N_v}{V}\,p_x\,v_x.$$

Молекулы газа движутся с различными скоростями $\mathbf{v}=\{v_x,v_y,v_z\}$, в различных направлениях. В результате столкновений молекул друг с другом, их скорости постоянно изменяются, становясь случайными величинами. Пусть $f(v_x)$ - это плотность распределения вероятностей для скоростей $v_x$. Оно нормировано на единицу (интеграл от него по $dv_x$ равен $1$). Естественно считать это распределение симметричным. Число молекул $N_v$, имеющих компоненту скорости $v_x$ с небольшим разбросом $dv_x$, по определению, равно $N_v~=~N\,f(v_x)\,dv_x$, где $N$ - общее число молекул (с любыми скоростями): $$\int\limits^\infty_{-\infty} f(v_x)\,dv_x = 1,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f(-v_x)=f(v_x).$$

Полное давление равно сумме давлений со стороны молекул, движущихся со всеми возможными скоростями $v_x$ в направлении поршня ($v_x \gt 0$): $$P~=~ 2\,\frac{N}{V}\,\int\limits^\infty_{0} p_x\,v_x\,f(v_x)\,dv_x ~=~ \frac{N}{V}\,\int\limits^\infty_{-\infty} p_x\,v_x\,f(v_x)\,dv_x = \frac{N}{V}\,\langle p_xv_x \rangle,$$ где учтена симметричность распределения и угловыми скобками обозначено среднее значение (интеграл). Так как направления в пространстве равноправны: $\langle \mathbf{p}\mathbf{v} \rangle = \langle p_x v_x + p_y v_y + p_zv_z \rangle = 3\, \langle p_xv_x \rangle$, окончательно имеем: $$P ~=~ n\,\frac{\langle \mathbf{p}\mathbf{v} \rangle}{3},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~n=\frac{N}{V}.$$ Отношение числа молекул $N$ к объёму $n = N/V$ называется концентрацией молекул (число в единице объёма). Обратная величина $v=V/N$, называемая удельным объёмом, - это часть объёма сосуда, приходящаяся на одну молекулу. Усреднение по всем направлениям скорости производится при помощи тройного интеграла с весами равными распределению каждой компоненты скорости: $f(v_x)f(v_y)f(v_z)\,dv_x\,dv_y\,dv_z$.

Для нерелятивистского газа импульс молекул равен $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$, поэтому полученное соотношение можно переписать следующим образом: $$P\,V ~=~\frac{2}{3}\,N\,\left\langle \frac{m\mathbf{v}^2}{2} \right\rangle,$$ где под знаком среднего находится кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

---

Выравнивание кинетических энергий

Пусть сосуд разделён на две части лёким подвижным поршнем. В одной части, объёмом $V_1$, находится $N_1$ молекул с массами $m_1$, а во второй части $V_2$ есть $N_2$ молекул массами $m_2$. Так как поршень подвижен, в равновесии давление в обоих частях должно быть одинаковым. Совпадают также и средние значения кинетических энергий молекул: $$\left\langle \frac{m_1\mathbf{v}^2_1}{2} \right\rangle~=~ \left\langle \frac{m_2\mathbf{v}^2_2}{2} \right\rangle.$$

Действительно, молекула из одной половины сосуда, налетая на поршень, передаёт ему часть своего импульса (поршень подвижен). Поршень начинает двигаться навстречу молекулам из другой части сосуда. Сталкиваясь с ними, он передаёт им этот импульс. Его "подёргивания" туда-сюда приводят к выравниванию средней кинетической энергии молекул слева и справа от поршня.

Отметим, что при столкновении молекулы с поршнем, она передаёт ему свой импульс, но не может передать момент вращения или внутреннюю колебательную энергию. Поэтому в результате выравниваются именно кинетические энергии поступательного движения молекул.

---

В качестве второго примера рассмотрим газовую смесь, состоящую из молекул двух типов с массами $m_1$ и $m_2$. Пусть две такие молекулы движутся со скоростями $\mathbf{v}_1$ и $\mathbf{v}_2$. В равновесном состоянии скорости молекул имеют произвольные направления и нескоррелированы друг с другом. Это означает, что совместная плотность распределения вероятностей равна произведению распределений для каждой молекулы: $f(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2)=f_1(\mathbf{v}_{1})\,f_2(\mathbf{v}_2)$, поэтому: $\langle\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2\rangle = \langle\mathbf{v}_1\rangle\langle \mathbf{v}_2\rangle = 0$: $$\langle\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2\rangle = \int f(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2)\,\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2\,d^3\mathbf{v}_1\,d^3\mathbf{v}_2 ~=~ \int f_1(\mathbf{v}_{1})\,\mathbf{v}_1\,d^3\mathbf{v}_1 \cdot \int f_1(\mathbf{v}_{2})\,\mathbf{v}_2\,d^3\mathbf{v}_2 ~=~\langle\mathbf{v}_1\rangle\langle \mathbf{v}_2\rangle.$$

В силу закона сохранения импульса, суммарный импульс $m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2$ молекул при столкновении не изменяется, а меняется относительная скорость $\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1$. В системе отсчёта центра масс (где суммарный импульс равен нулю), распределение вектора относительной скорости должно быть изотропным (нет выделенных направлений). Поэтому, суммарный импульс и относительная скорость также должны быть нескоррелированными: $$0 = \langle(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1)(m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2)\rangle = \langle m_2\mathbf{v}^2_2\rangle~-~\langle m_1\mathbf{v}^2_1\rangle,$$ откуда следует равенство средних кинетических энергий молекул в смеси двух газов.

В общем случае, даже если молекулы вращаются или обладают внутренними колебаниями, в результате столкновений друг с другом или перегородками, выравниваются именно их средние кинетические энергии поступательного движения.

---

Температура

Определим температуру $T$, как величину, пропорциональную средней кинетической энергии молекулы: $$\left\langle \frac{m\mathbf{v}^2}{2} \right\rangle ~=~ \frac{3}{2}\,k\,T,$$ где $k=1.380\,649\cdot 10^{-23}\,Дж/K$ - постоянная Больцмана. Она "пересчитывает" градусы температуры, измеряемую в кельвинах (К) в энергию (джоули, Дж). Если $t$ - это температура в градусах Цельсия ($°C$), то: $T ~=~ 273.15 ~+~ t$.
Часто удобно для краткости использовать "энергетическую" температуру $\Theta = k\,T$, измеряемую в джоулях.

Связь давления, объёма и температуры идеального газа теперь записывается в виде уравнения состояния: $$P\,V ~=~ N\,k\,T~~~~~~~~~~~~~~или~~~~~~~~~~~P = n\,\Theta.$$

Идеальный газ можно рассматривать как термометрическое тело. Выравнивание его температуры (средней поступательной кинетической энергии) с любым другим газом (в равновесии) по определению является температурой этого газа. При этом постулируется транзитивность равновесности (если системы $A$ и $B$ независимо находятся в тепловом равновесии с системой $C$, то они находятся в равновесии и друг с другом). Например, пусть есть две системы, состоящие из различных идеальных газов и находящихся в тепловом контакте. По определению считается, что в равновесии их температуры одинаковы: $$\Theta ~=~ \frac{P_1}{n_1} ~=~ \frac{P_2}{n_2}.$$ Если дополнительно между ними находится подвижная перегородка, то совпадают их давления $P_1=P_2$ и, следовательно, концентрации числа частиц $n_1=n_2$.

Парциальным давлением называется давление данной компоненты газовой смеси, которое она создаёт при том же объеме и температуре в отсутствии других компонент смеси. Так как $P\,V~=~(N_1+N_2+...)\,\Theta$, то давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений компонент. Это называется законом Дальтона.

---

Внутренняя энергия

Энергия "точечной" молекулы, движущейся без вращения, равна $m\mathbf{v}^2/2$. Определим внутреннию энергию газа одноатомных молекул как суммарное значение средних энергий $N$ молекул такого газа: $$U ~=~ N\,\left\langle \frac{m\mathbf{v}^2}{2} \right\rangle ~=~ N\,\frac{3}{2}\,k\,T ~=~ N\,\frac{3}{2}\,\Theta.$$

В общем случае связь внутренней энергии и температуры зависит от "устройства" молекул. Поэтому её удобно записать в следующем виде: $$U ~=~ \frac{N\,\Theta}{\gamma-1} ~=~\frac{P\,V}{\gamma-1},$$ где для одноатомного нерелятивистского идеального газа $\gamma=5/3$. В случае сложных молекул или при релятивистских скоростях параметр $\gamma$ может отличаться от значения $5/3$, но он всегда больше единицы.

Например, кванты излучения с энергией $E$, движутся со скоростью света $|\mathbf{v}|=c$. Для них справедливо соотношение $\mathbf{p}\mathbf{v}=E$, поэтому $P\,V ~=~ N\,\langle\mathbf{p}\mathbf{v}\rangle/3 ~=~ N\,E/3=U/3$, т.е. $\gamma=4/3$.

---

Степени свободы молекул

Выше, при вычислении давления газа использовалась модель "точечных", не вращающихся молекул. В более общем случае, введенный параметр $\gamma$ связан с числом степеней свободы $f$ молекулы: $$\gamma-1 ~=~\frac{2}{f}.$$ Для одноатомного газа ("точечные" шарики с тремя координатами) есть три степени свободы: $f=3$, $~~~\gamma=5/3$.
Если молекулы двухатомного газа подобны тонкой жёсткой гантельке, то $f=5$ (три координаты центра масс и два угла, т.к. вращение вокруг оси не вносит вклада в энергию). Для жёсткой трёхатомной молекулы $f=6$.
Колебательния молекул (при высоких температурах) также увеличивают $f$, а, следовательно, уменьшают $\gamma$.

Например, если одноатомная молекула - это вращающиеся "шарики", то удельная внутренняя энергия (в расчёте на одну молекулу) такого газа равна сумме энергий поступательного движения и вращения: $$\frac{U}{N} ~=~ \left\langle\frac{m\,\mathbf{v}^2}{2} \right\rangle ~+~ \left\langle\frac{I\,\mathbf{w}^2}{2} \right\rangle,$$ где $I$ - момент вращения, а $\mathbf{w}$ - угловая скорость. Можно показать, что средние значения энергии движения и вращения совпадают, поэтому: $$\frac{U}{N} ~=~ 2\,\left\langle\frac{m\,\mathbf{v}^2}{2} \right\rangle ~=~\frac{6}{2}\,k\,T,$$ откуда $f=6$ и $\gamma=4/3$. В общем случае каждая степень свободы даёт вклад в удельную внутреннею энергию, равную $k\,T/2$. $$\frac{U}{N} ~=~f\,\frac{k\,T}{2} ~=~ \frac{\Theta}{\gamma-1}.$$ Это утверждение называется теоремой о равнораспределении. Впрочем, на практике параметр $\gamma$ для конкретного газа обычно не вычисляется, а определяется из эксперимента. Это же относится к эмпирическим модификациям простейшего уравнения состояния $P=n\,\Theta$.

---

Единицы измерений

Молекул в макроскопических системах очень много, поэтому их количество принято измерять в молях.
Один моль содержит $N_A=6.022~140~76\cdot 10^{23}$ штук молекул (число Авогадро - это точное целое число).
Произведение $N_A$ на постоянную Больцмана $k=1.380~649\cdot 10^{-23}\,Дж/K$ (точно) называют газовой постоянной: $$R = k\,N_A = 8.314~462~618~153~24 \, Дж/ моль\cdot K.$$ Если число молекул $N$ измеряют в молях, а не в штуках, то уравнение состояния идеального газа принимает вид: $$P\,V ~=~ N\,R\,T.$$

Молекулярная масса - это масса одной молекулы. Её измеряют в единицах массы $m_u=1.660~565\cdot 10^{-27}\,кг$, равной одной двенадцатой массы атома углерода $^6_{12}\text{C}$, где верхний индекс у элемента - это число протонов (заряд ядра), нижний - общее количество протонов и нейтронов Удобно помнить, простое соотношение: $$m_u\,N_A\approx 1\,г/моль.$$

Молярная масса - это масса одного моля вещества. Молярная масса двухатомного водорода $^1_1\text{H}_2$ примерно равна $2\,г/моль$, у воды $\text{H}_2 (\,^8_{16}\text{O})$ - это $\approx ~(2+16)\,г/моль ~=~ 18\,г/моль$. Воздух, которым мы дышим, является смесью газов: $0.76\cdot \,^7_{14}\text{N}_2+ 0.23\,\cdot \,^8_{16}\text{O}_2 + 0.01\cdot \,^{18}_{40}\text{Ar} +...$ (по массе).

В системе Си давление измеряется в паскалях: $Па = Н/м^2$, а объём иногда измеряют в литрах: $1\,л \,=\, 10^{-3}\,м^3$ (кубик со стороной $10\,см$). Тепловую энергию измеряют в калориях: $1\,кал~=~4.1868\,Дж$. Нормальным давлением и температурой принято считать: $$P~=~1\,атм~=~1.01325 \cdot 10^5\,Па~~~~~~~~~и~~~~~~~~~T ~=~ 273.15\,K.$$ В этих условиях в одном кубическом метре содержится $44.6$ моля молекул газа: $1.01\cdot10^5\cdot 1/(8.31\cdot 273.15$).

Молекулы имеют размеры порядка ангстрема $1\,Å ~=~10^{-8}\,см~=~10^{-10}\,м$. Например, диаметр атома водорода $2\,r_B=1.06\,Å$. Разброс диаметров молекул простых газов невелик: $$d(\text{H}_2)~=~2.7\,Å,~~~~~d(\text{O}_2)~=~3.6\,Å,~~~~~~d(\text{H}_2\text{O})~=~2.9\,Å,~~~~~~~ d(\text{N}_2)~=~3.7\,Å.$$ Расстояние между молекулами газа при нормальных условиях порядка $30\,Å~=~(1\,м^3/44.5\cdot 6.02\,10^{23})^{1/3}$ (в $10$ раз больше их типных размеров). В жидкости и твёрдых телах молекулы "упакованы" достаточно плотно. Например плотность воды $10^3\,кг/м^3$, поэтому при молярной массе $18\,г/моль$, в кубическом метре находится $55\cdot 10^3\,N_A$ молекул. Типичное расстояние между ними равно $3.1\,Å~=~(1\,м^3/55\cdot 10^3\cdot 6.02\,10^{23})^{1/3}$. Это приводит к тому, что вода оказывается практически несжимаемой.

---

Газ в поле тяжести

Пусть идеальный газ находится в вертикальном цилиндре с площадью основания $S$, расположенном в поле силы тяжести. Будем считать, что декартова ось $z$ направлена вверх и нижнее основание цилиндра имеет координату $z=0$. Рассмотрим слой газа, между координатами $z$ и $z+dz$ с концентрацией молекул $n(z)$. Если масса молекулы равна $m$, то масса всего слоя равна $m\,n(z)\,S\,dz$. На него действует сила $F=-m\,g$ (ускорение свободного падения направлено вниз). Что-бы слой был в покое, эта сила должна скомпенсироваться разностью давлений на верхнюю и нижнюю границу слоя (можно мысленно представить там лёгкие перегородки): $$F ~=~ \bigr[P(z+dz)-P(z)\bigr]\,S ~=~ -m\,g\,n(z)\,S\,dz~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~~\frac{dP}{dz} ~=~ -m\,g\,n(z).$$ Будем считать, что температура во всём цилиндре одинакова и равна $\Theta~=~k\,T$. Учитывая уравнение состояния $P~=~n\,\Theta$, имеем: $$\frac{dn}{n}~=~-\frac{m\,g}{\Theta}\,dz~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~~~~n(z)~=~n(0)\,e^{-m\,g\,z/\Theta} ~=~ n(0)\,e^{-U(z)/\Theta},$$ где $U(z)$ - потенциальная энергия молекулы. Эту барометрическую формулу в 1821 г. получил Пьер Лаплас. Умножим числитель и знаменатель под экспонентой на число Авагадро $N_A$, введя $\mu = m\,N_A$ - молярную массу и газовую постоянную $R=k\,N_A$. Тогда для воздуха (азот $\mu = 28\,г/моль$) при $T=273$, имеем $$n(z)~=~n(0)\,\exp\left(-\frac{\mu\,g\,z}{R\,T}\right) ~=~ n(0)\,\exp\left(-\frac{2\cdot 14\cdot 10^{-3}\,кг/моль\cdot 9.8}{8.31\cdot 273}\,z\right)=n(0)\,e^{-z/10\,км}.$$ Заметим, что концентрация молекул падает тем быстрее, чем больше молярная масса. Так как у кислорода $\,^8_{16}\text{O}_2$ она несколько больше, чем у азота $\,^7_{14}\text{N}_2$, с высотой, в воздухе процентное содержание кислорода уменьшается.

Сделанное выше предположение о постоянстве температуры может показаться не очевидным (молекула, поднимаясь вверх и увеличивая свою потенциальную энергию, должна понижать кинетическую). Однако, численные моделирования показывают, что, действительно, температура молекул идеального газа в подобных условиях от $z$ не зависит. Плотность вероятности нахождения на высоте $z$ молекулы, имеющей с скорость $\mathbf{v}$, разбивается на две независимые части: $$f(\mathbf{v},\,z) ~=~ f(\mathbf{v})\,\frac{m\,g}{\Theta}\,e^{-m\,g\,z/\Theta},$$ где нормировочный множитель $m\,g/\Theta$ введен, чтобы интеграл по $dz$ от $0$, до $\infty$ (для сколь угодно высокого цилиндра). На самом деле, в реальной атмосфере температура воздуха зависит от множества факторов и с высотой уменьшается (в среднем на $6\,°C$ с каждым $1\,км$).

---

Моделирование идеального газа

Поведение идеального газа несложно моделировать при помощи компьютера. Рассмотрим поведение шаров массами $m_1,\,m_2$ без учёта их вращения. При упругом столкновении сохраняется суммарный импульс и кинетическая энергия: $$m_1\,\mathbf{v}_1+m_2\,\mathbf{v}_2=m_1\,\mathbf{v}'_1+m_2\,\mathbf{v}'_2,~~~~~~~~~~~~~ m_1\,\mathbf{v}^2_1+m_2\,\mathbf{v}^2_2=m_1\,\mathbf{v}'^2_1+m_2\,\mathbf{v}'^2_2.$$ Удобно перейти в систему отсчёта центра масс, в которой суммарный импульс шаров равен нулю. Пусть эта система движется со скоростью $\mathbf{v}$ и скорости шаров в ней равны $\mathbf{u}_i$. Тогда, требуя $m_1\mathbf{u}_1+m_2\mathbf{u}_2=0$, получаем: $$\mathbf{v}_i = \mathbf{u}_i + \mathbf{v},~~~~~~~~~ \mathbf{v}=\frac{m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2}{m_1+m_2},~~~~~~~~~~ \mathbf{u}_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2}\,(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2).$$ Так как $\mathbf{u}_2=-m_1\mathbf{u}_1/m_2$, кинетическая энергия в системе центра масс равна $m_1\mathbf{u}^2_1+m_2\mathbf{u}^2_2~=~m_1\,(1+m_1/m_2)\,\mathbf{u}^2_1$. Следовательно, после столкновения модули скоростей не изменяются: $\mathbf{u}^2_i=\mathbf{u}'^2_i$, а меняется лишь их направление.

Пусть в момент касания шаров, единичный вектор между их центрами равен $\mathbf{n}=(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)/|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|$. В простейшем случае "гладких" шаров, при столкновении изменят направления компоненты скоростей параллельных вектору $\mathbf{n}$ (рисунок справа): $$\mathbf{u}'_1 = \mathbf{u}_1 - 2\,\mathbf{n}\,(\mathbf{n}\,\mathbf{u}_1),~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{u}'_2 = \mathbf{u}_2 + 2\,\mathbf{n}\,(\mathbf{n}\,\mathbf{u}_2).$$ Несложно проверить, что длина векторов не изменилась: $\mathbf{u}^2_i=\mathbf{u}'^2_i$.

Таким образом, возвращаясь в лабораторную систему, имеем: $$\mathbf{v}'_1 = \mathbf{v}_1 - \frac{2\,m_2\,\mathbf{n}}{m_1+m_2}\,\mathbf{n}\cdot(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2),~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{v}'_2 = \mathbf{v}_2 - \frac{2\,m_1\,\mathbf{n}}{m_1+m_2}\,\mathbf{n}\cdot(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1).$$

---

---