Пластичность волатильности:Приложение:Меры волатильности

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Приложение: Броуновское блуждание << Оглавление >> Приложение: Моделирование блуждания

Для положительной случайной величины ширину её распределения можно характеризовать относительной ошибкой , где , как обычно, обозначает среднеквадратичное отклонение .

Заметим, что относительные ширины распределений для и различны, поэтому, вообще говоря, существуют различные критерии оптимальности мер измерения волатильности. Например, для вычисления стационарной волатильности обычно используется, усреднение либо квадратов доходностей, либо квадратов амплитуд размаха [1]:

(34)

Так как в этой статье мы изучаем нестационарный характер волатильности, и для её сглаживания используем нелинейный HP-фильтр, то удобнее усреднять непосредственно волатильности , а не их квадраты, которые, как мы увидим ниже, при малых дают, к тому же, смещённое значение . Тем не менее, говоря о различных мерах волатильности, мы будем вычислять относительную ширину как самой величины, так и её квадрата.

Приведём некоторые известные меры. Базовой будет мера Parkinson (1980) [1], равная амплитуде размаха . Garman and Klass (1980) [2], в классе аналитических функций по , , , предложили следующую оптимальную комбинацию, которая лучше меры Parkinson:

(35)

Отметим также более простую и не зависящую от сноса меру Rogers and Satchell (1991) [3]:

(36)

Покажем, что простейшая линейная модификация меры Parkinson

(37)

с некоторой константой приводит к более узкому распределению, чем амплитуда размаха. Если в качестве критерия узости использовать относительную волатильность , то при помощи средних из приложения A несложно найти оптимальное значение коэффициента :

(38)

Однако, так как критерий не является единственным, и в силу слабой чувствительности относительной волатильности от , мы в статье использовали значение и обозначение . Далее .

Заметим, что существует ещё одна простая мера волатильности, сравнимая по эффективности с (37), следующего вида:

(39)

Хотя вероятность нулевого значения для конечной длительности лага исчезающе мала, необходимо, тем не менее, доопределить при . Вообще, (37) и (39) не являются аналитическими функциями по и и выпадают из действия леммы приложения B. работы [2].

Кроме ширины распределения, в качестве критерия иногда используется отсутствие или слабая зависимость от сноса . Заметим, что для дневных или более коротких лагов . Поэтому этот критерий не является столь значимым. Предложенная выше мера модифицированной амплитуды размаха, как и сама амплитуда, зависит от . Однако эта зависимость существенно слабее, чем у амплитуды. Если воспользоваться разложениями (32), (33), для можно записать:

Видно, что коэффициент при в случае в четыре раза меньше, чем в случае (). Соответственно, в четыре раза меньше и зависимость от . При (далее ) коэффициент при становится равным нулю и зависимость от ослабевает ещё сильнее, хотя полностью она исчезает только для меры Rogers and Satchell.

Сравним теперь статистические параметры различных мер волатильности:

Volat tbl1h.png

Курсивным шрифтом приведены значения Монте-Карло моделирования по 3.5 миллионам лагов, каждый из которых являлся блужданием из миллиона тиков. В этом случае для средних и волатильности в последнем знаке возможна ошибка порядка . Для определения остальных значений (не курсивных) использовались аналитические выражения.

В условиях нестационарности данных часто необходимо проводить усреднение по достаточно малому числу наблюдений . В этом случае начинает проявляться смещённость квадратичных мер для оценки волатильности . Даже, если мы вычисляем классический квадрат волатильности по несмещённой формуле (34), значение будет смещено, так как при усреднении по большому числу выборок, каждая из которых имеет размер , мы имеем: , но . Если нас интересует значение именно волатильности, а не её квадрата, лучше для нестационарных данных использовать линейные, а не квадратичные меры.

Для иллюстрации эффекта смещения справа приведены графики средних значений волатильности, полученных усреднением по большому числу выборок по значений в каждой для стандартного определения и меры (35) по сравнению с линейной мерой .

Volat tbl.png

Таким образом, мера имеет достаточно узкое распределение, и, следовательно, ошибку измерения волатильности. При этом её очевидным преимуществом является простота, по сравнению с мерами и . Кроме этого она не смещена при малых размерах выборки, что существенно при исследовании эффектов нестационарности.

Примчания

  1. 1,0 1,1 M. Parkinson, 1980 The extreme value method for estimating the variance of the rate of return, The Journal of Business}, Vol.53, No.1.
  2. 2,0 2,1 M.B. Garman, M.J.Klass, 1980, On the estimation of security price volatilities from historical data, The Journal of Business, Vol.53, No.1.
  3. L.C.G. Rogers, S.E.Satchell, 1991, {Estimating variance from high, low and closing prices}, The Annals of Applied Probability, Vol.1. No.4, pp.504-512.

Приложение: Броуновское блуждание << Оглавление >> Приложение: Моделирование блуждания