Пластичность волатильности:Приложение:Броуновское блуждание

Заключение <<	Оглавление	>> Приложение: Меры волатильности

---

Приведём основные соотношения теории броуновского движения, описываемого стохастическим уравнением $\textstyle dx=\mu dt+\sigma \delta W$. Рассмотрим сначала случай отсутствия сноса ($\textstyle \mu =0$). Без потери общности можно считать, что в начальный момент времени $\textstyle x(0)=0$. Максимальное и минимальное значения $\textstyle x$ за период $\textstyle 0\leqslant t\leqslant T$ равны $\textstyle H$ и $\textstyle L$, и $\textstyle r=x(T)$. Высота подъема $\textstyle h=H$ и глубина опускания $\textstyle l=-L$ всегда положительны, и $\textstyle -l\leqslant r\leqslant h$. Амплитуда размаха равна $\textstyle a=h+l$. Ниже рассматривается случай единичной волатильности $\textstyle \sigma =1$ и единичного интервала времени $\textstyle T=1$. Для их восстановления необходимо во всех "размерных" величинах $\textstyle r$, $\textstyle h$, $\textstyle l$, $\textstyle a$ проделать замену $\textstyle r\to r/\sigma {\sqrt {T}}$. Это же необходимо сделать и в дифференциалах $\textstyle dr$ и т.п. при интегрировании плотностей вероятностей. Для сокращения используется функция нормального распределения: $\textstyle \mathbf {N} (x)=e^{-x^{2}/2}/{\sqrt {2\pi }}$.

$\textstyle \bullet$ Исходным соотношением является вероятность того, что $\textstyle x$ не поднимется выше $\textstyle h$ и не опустится ниже $\textstyle -l$, закрывшись на доходности $\textstyle r$:

$p(-l<L,H<h,r)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left\{\mathbf {N} {\bigl (}r+2ka{\bigr )}-\mathbf {N} {\bigl (}r+2l+2ka{\bigr )}\right\}.$

(27)

Эту формулу получил Феллер в 1951 . Отметим также исключительно полезный справочник . Из вероятности Феллера (27) выводятся другие распределения. Так, для доходности, высоты и глубины имеем:

$P(r)=\mathbf {N} (r),\;\;\;\;\;P(h)=2\mathbf {N} (h),\;\;\;\;\;\;P(l)=2\mathbf {N} (l).$

(28)

Плотность вероятности размаха $\textstyle a$ выражается в виде бесконечного ряда по гауссовому базису:

$P(a)=8\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\cdot k^{2}\cdot \mathbf {N} (ka).$

(29)

Ряд достаточно быстро сходится для всех $\textstyle a\neq 0$. Характерным свойством распределения Феллера $\textstyle P(a)$ является экстремально быстрое снижение плотности вероятности при уменьшении $\textstyle a$. Приведём некоторые значения интегральных вероятностей $\textstyle F(a)=p(H-L<a)$:

Ниже значения 0.75 ($\textstyle \sigma =1$) параметр $\textstyle a$ опускается только в 2-х случаях из 1000. Среднее значение $\textstyle {\bar {a}}=1.5958$, сигма $\textstyle \sigma _{a}=0.29798\cdot {\bar {a}}$. В интервал одной сигмы $\textstyle {\bar {a}}\pm \sigma _{a}$ = [1.120 .. 2.071] попадает 71.6\% значений $\textstyle a$. В двойную сигму $\textstyle {\bar {a}}\pm 2\sigma _{a}$ = [0.645 .. 2.547] попадет 95.6\% значений, причём выпадания из этого интервала, практически, должны встречаться только сверху.

Совместные плотности вероятности для высоты ($\textstyle r\leqslant h$) глубины ($\textstyle -l\leqslant r$) и амплитуды ($\textstyle |r|\leqslant a$) имеют вид:

$P(h,r)=2(2h-r)\cdot \mathbf {N} (2h-r),\;\;\;\;\;P(l,r)=2(2l+r)\cdot \mathbf {N} (2l+r).$

(30)

$P(a,r)=4\sum _{k=-\infty }^{\infty }k\cdot {\Bigl \{}-|r|-k(2k+3)a+k\cdot {\bigl (}a-|r|{\bigr )}{\bigl (}2ka+|r|{\bigr )}^{2}{\Bigr \}}\cdot \mathbf {N} {\bigl (}|r|+2ka{\bigr )}.$

(31)

Заметим, что $\textstyle P(a,-r)=P(a,r)$, и $\textstyle P(a,|r|)=2P(a,r)$.

$\textstyle \bullet$ Приведём таблицу средних значений различных величин:

${\begin{array}{llllll}{\overline {r}}=0,&{\overline {r^{2}}}=1,&{\overline {r^{3}}}=0,&{\overline {r^{4}}}=3,\\\\\displaystyle {\bar {h}}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}},&{\overline {h^{2}}}=1,&\displaystyle {\overline {h^{3}}}={\sqrt {\frac {8}{\pi }}},&{\overline {h^{4}}}=3,\\\\\displaystyle {\overline {a}}={\sqrt {\frac {8}{\pi }}},\;\;\;&\displaystyle {\overline {a^{2}}}=4\ln 2,\;\;\;\;&\displaystyle {\overline {a^{3}}}={\frac {(2\pi )^{3/2}}{3}},\;\;\;\;&\displaystyle {\overline {a^{4}}}=9\cdot \zeta [3],\\\\\displaystyle {\overline {v}}={\frac {3}{\sqrt {2\pi }}},\;\;\;&\displaystyle {\overline {v^{2}}}=4\ln 2-{\frac {5}{4}},\;\;\;\;&\displaystyle {\overline {v^{3}}}={\frac {21+\pi ^{2}}{6{\sqrt {2\pi }}}},\;\;\;\;&\displaystyle {\overline {v^{4}}}=6\ln 2-{\frac {27}{16}}+{\frac {3}{8}}\cdot \zeta [3],\\\end{array}}$

где $\textstyle \zeta [n]=\sum _{k=1}^{\infty }k^{-n}$ - функция Римана. Средние для $\textstyle l$ и $\textstyle |r|$ эквивалентны $\textstyle h$. Ниже даны значения некоторых смешанных произведений:

${\begin{array}{cccc}\displaystyle {\overline {h\,r}}={\frac {1}{2}},\;\;&\displaystyle {\overline {h\,r^{2}}}={\frac {4}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}},\;\;&\displaystyle {\overline {h\,r^{3}}}={\frac {3}{2}},\;\;&\displaystyle {\overline {h\,r^{4}}}={\frac {24}{5}}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}},\;\;\\\\\displaystyle {\overline {l\,r^{n}}}=(-1)^{n}\cdot {\overline {h\,r^{n}}},\;\;&\displaystyle {\overline {a\,r^{2n+1}}}=0,\;\;&\displaystyle {\overline {a\,r^{2n}}}=2\cdot {\overline {h\,r^{2n}}},\;\;&\displaystyle {\overline {a\,|r|}}={\frac {3}{2}}.\;\;\\\end{array}}$

Другие средние, а также их производящую функцию можно найти в .

Для блуждания со сносом $\textstyle dx=\mu dt+\sigma \delta W$ будем использовать уже определённые ранее плотности без сноса. Для того, чтобы восстановить время и волатильность, необходимо дополнительно сделать замену сноса $\textstyle \mu \to \mu T/\sigma {\sqrt {T}}$. Плотность вероятности для доходности равна:

$P_{\mu }(r)=\mathbf {N} {\bigl (}r-\mu {\bigr )}=e^{\mu r-\mu ^{2}/2}\;P(r).$

Выражения для совместных плотностей :

$P_{\mu }(h,r)=e^{\mu r-\mu ^{2}/2}\;P(h,r),\;\;\;\;\;P_{\mu }(l,r)=e^{\mu r-\mu ^{2}/2}\;P(l,r),$

$P_{\mu }(a,r)=e^{\mu r-\mu ^{2}/2}\;P(a,r),\;\;\;\;\;P_{\mu }(h,l,r)=e^{\mu r-\mu ^{2}/2}\;P(h,l,r).$

Таким образом, во всех случаях плотности соответствующие $\textstyle \mu =0$ умножаются на фактор $\textstyle e^{\mu r-\mu ^{2}/2}$. При наличии сноса:

${\overline {r}}=\mu ,\;\;\;{\overline {r^{2}}}=1+\mu ^{2},\;\;\;\;{\overline {r^{3}}}=3\mu +\mu ^{3},\;\;\;\;\;{\overline {r^{4}}}=3+6\mu ^{2}+\mu ^{4}.$

Выражения для средних значений других величин достаточно громоздки. Однако, так как для финансовых данных $\textstyle \mu \ll \sigma =1$, уместно разложить в ряд фактор $\textstyle e^{\mu r-\mu ^{2}/2}$ и использовать средние для случая $\textstyle \mu =0$. В результате:

${\overline {h}}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}+{\frac {\mu }{2}}+{\frac {\mu ^{2}}{3{\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {\mu ^{4}}{60{\sqrt {2\pi }}}}+..,\;\;\;\;{\overline {|r|}}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}+{\frac {\mu ^{2}}{\sqrt {2\pi }}}-{\frac {\mu ^{4}}{12{\sqrt {2\pi }}}}+..,$

(32)

${\overline {l}}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-{\frac {\mu }{2}}+{\frac {\mu ^{2}}{3{\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {\mu ^{4}}{60{\sqrt {2\pi }}}}+..,\;\;\;\;{\overline {a}}={\sqrt {\frac {8}{\pi }}}+{\frac {2\mu ^{2}}{3{\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {\mu ^{4}}{30{\sqrt {2\pi }}}}+...$

(33)

Средние значения высоты и глубины линейны по $\textstyle \mu$, и далее в разложении идут только чётные степени. Амплитуды размаха и модуля доходности зависят только от чётных степеней $\textstyle \mu$. Отметим также простые конечные соотношения: $\textstyle {\overline {h}}-{\overline {l}}={\overline {r}}=\mu$, $\textstyle {\overline {h^{2}}}+{\overline {l^{2}}}=2+\mu ^{2}$, $\textstyle {\overline {h\,r}}={\overline {h^{2}}}-1/2$, $\textstyle {\overline {l\,r}}=1/2-{\overline {l^{2}}}$.

Примчания

---

Заключение <<	Оглавление	>> Приложение: Меры волатильности