Пластичность волатильности:Приложение:Меры волатильности

Приложение: Броуновское блуждание <<	Оглавление	>> Приложение: Моделирование блуждания

---

Для положительной случайной величины $\textstyle z>0$ ширину её распределения можно характеризовать относительной ошибкой $\textstyle \sigma _{z}/{\bar {z}}$, где $\textstyle \sigma _{z}$, как обычно, обозначает среднеквадратичное отклонение $\textstyle \sigma _{z}^{2}={\overline {(z-{\bar {z}})^{2}}}$.

Заметим, что относительные ширины распределений для $\textstyle z$ и $\textstyle z^{2}$ различны, поэтому, вообще говоря, существуют различные критерии оптимальности мер измерения волатильности. Например, для вычисления стационарной волатильности обычно используется, усреднение либо квадратов доходностей, либо квадратов амплитуд размаха :

$\sigma _{R}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{t=1}^{n}(r_{t}-{\bar {r}})^{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma _{P}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}{\frac {a_{t}^{2}}{4\ln 2}}.$

(34)

Так как в этой статье мы изучаем нестационарный характер волатильности, и для её сглаживания используем нелинейный HP-фильтр, то удобнее усреднять непосредственно волатильности $\textstyle \sigma$, а не их квадраты, которые, как мы увидим ниже, при малых $\textstyle n$ дают, к тому же, смещённое значение $\textstyle \sigma$. Тем не менее, говоря о различных мерах волатильности, мы будем вычислять относительную ширину как самой величины, так и её квадрата.

Приведём некоторые известные меры. Базовой будет мера Parkinson (1980) , равная амплитуде размаха $\textstyle v_{P}=a$. Garman and Klass (1980) , в классе аналитических функций по $\textstyle h$, $\textstyle l$, $\textstyle r$, предложили следующую оптимальную комбинацию, которая лучше меры Parkinson:

$v_{GK}^{2}=0.511\cdot a^{2}-0.019{\bigl (}r\cdot (h-l)+2h\cdot l{\bigr )}-0.383\cdot r^{2}.$

(35)

Отметим также более простую и не зависящую от сноса $\textstyle \mu$ меру Rogers and Satchell (1991) :

$v_{RS}^{2}=h\cdot (h-r)+l\cdot (l+r).$

(36)

Покажем, что простейшая линейная модификация меры Parkinson

$v_{\beta }=a-\beta \cdot |r|$

(37)

с некоторой константой $\textstyle \beta >0$ приводит к более узкому распределению, чем амплитуда размаха. Если в качестве критерия узости использовать относительную волатильность $\textstyle \sigma _{v}$, то при помощи средних из приложения A несложно найти оптимальное значение коэффициента $\textstyle \beta$:

${\frac {\overline {(a-\beta \cdot |r|)^{2}}}{{\bigl (}\;{\bar {a}}-\beta \cdot {\overline {|r|}}\;{\bigr )}^{2}}}=min\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\beta =6-8\ln 2\approx 0.455.$

(38)

Однако, так как критерий $\textstyle \sigma _{v}/{\bar {v}}$ не является единственным, и в силу слабой чувствительности относительной волатильности от $\textstyle \beta$, мы в статье использовали значение $\textstyle \beta =1/2$ и обозначение $\textstyle v=a-|r|/2$. Далее $\textstyle v_{\beta }=a-0.455\cdot |r|$.

Заметим, что существует ещё одна простая мера волатильности, сравнимая по эффективности с (37), следующего вида:

$v_{F}={\frac {a}{1+r^{2}/a^{2}}}.$

(39)

Хотя вероятность нулевого значения $\textstyle a$ для конечной длительности лага $\textstyle T$ исчезающе мала, необходимо, тем не менее, доопределить $\textstyle v_{F}=0$ при $\textstyle a=0$. Вообще, (37) и (39) не являются аналитическими функциями по $\textstyle a$ и $\textstyle r$ и выпадают из действия леммы приложения B. работы .

$\textstyle \bullet$ Кроме ширины распределения, в качестве критерия иногда используется отсутствие или слабая зависимость от сноса $\textstyle \mu$. Заметим, что для дневных или более коротких лагов $\textstyle \mu \ll \sigma$. Поэтому этот критерий не является столь значимым. Предложенная выше мера модифицированной амплитуды размаха, как и сама амплитуда, зависит от $\textstyle \mu$. Однако эта зависимость существенно слабее, чем у амплитуды. Если воспользоваться разложениями (32), (33), для $\textstyle v_{\beta }$ можно записать:

${\overline {v}}_{\beta }=(2-\beta )\cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}+{\frac {(2-3\beta )\mu ^{2}}{3{\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {(2-5\beta )\mu ^{4}}{60{\sqrt {2\pi }}}}+...\;\;\;\;\;$

Видно, что коэффициент при $\textstyle \mu ^{2}$ в случае $\textstyle \beta =1/2$ в четыре раза меньше, чем в случае $\textstyle \beta =0$ ($\textstyle v_{P}=a$). Соответственно, в четыре раза меньше и зависимость от $\textstyle \mu$. При $\textstyle \beta =2/3$ (далее $\textstyle v_{2/3}$) коэффициент при $\textstyle \mu ^{2}$ становится равным нулю и зависимость от $\textstyle \mu$ ослабевает ещё сильнее, хотя полностью она исчезает только для меры Rogers and Satchell.

$\textstyle \bullet$ Сравним теперь статистические параметры различных мер волатильности:

Курсивным шрифтом приведены значения Монте-Карло моделирования по 3.5 миллионам лагов, каждый из которых являлся блужданием из миллиона тиков. В этом случае для средних и волатильности в последнем знаке возможна ошибка порядка $\textstyle \pm 0.002$. Для определения остальных значений (не курсивных) использовались аналитические выражения.

$\textstyle \bullet$ В условиях нестационарности данных часто необходимо проводить усреднение по достаточно малому числу наблюдений $\textstyle n$. В этом случае начинает проявляться смещённость квадратичных мер для оценки волатильности $\textstyle \sigma$. Даже, если мы вычисляем классический квадрат волатильности $\textstyle \sigma _{R}^{2}$ по несмещённой формуле (34), значение $\textstyle \sigma _{R}$ будет смещено, так как при усреднении по большому числу выборок, каждая из которых имеет размер $\textstyle n$, мы имеем: $\textstyle <\sigma _{R}^{2}>=\sigma ^{2}$, но $\textstyle <{\sqrt {\sigma _{R}^{2}}}>\neq \sigma$. Если нас интересует значение именно волатильности, а не её квадрата, лучше для нестационарных данных использовать линейные, а не квадратичные меры.

Для иллюстрации эффекта смещения справа приведены графики средних значений волатильности, полученных усреднением по большому числу выборок по $\textstyle n$ значений в каждой для стандартного определения $\textstyle \sigma _{R}$ и меры $\textstyle \sigma _{RG}={\sqrt {v_{RG}^{2}}}$ (35) по сравнению с линейной мерой $\textstyle \sigma =(a-|r|/2){\sqrt {2\pi }}/3$.

Таким образом, мера $\textstyle v=a-|r|/2$ имеет достаточно узкое распределение, и, следовательно, ошибку измерения волатильности. При этом её очевидным преимуществом является простота, по сравнению с мерами $\textstyle v_{RS}$ и $\textstyle v_{GK}$. Кроме этого она не смещена при малых размерах выборки, что существенно при исследовании эффектов нестационарности.

Примчания

---

Приложение: Броуновское блуждание <<	Оглавление	>> Приложение: Моделирование блуждания