Неоднозначность и ковариантность

Применения теоремы Нётер <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 7)	>> Спин

---

$\textstyle \bullet$ Запишем ещё раз выражения для канонического тензора энергии-импульса (симметрия относительно трансляций в 4-пространстве):

$T^{\mu \nu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}\,\partial ^{\nu }\Psi _{k}-g^{\mu \nu }\,{\mathcal {L}}$

и тензора полного момента импульса поля (симметрия относительно вращения в 4-пространстве): $\textstyle J^{\mu ,\alpha \beta }=L^{\mu ,\alpha \beta }+S^{\mu ,\alpha \beta },$ где угловая и спиновая компоненты полного момента импульса равны:

$L^{\mu ,\alpha \beta }=x^{\alpha }\,T^{\mu \,\beta }-x^{\beta }\,T^{\mu \,\alpha },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;S^{\mu ,\alpha \beta }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}\,Y_{k}^{\;\alpha \beta }.$

По первому индексу энергия-импульс и момент удовлетворяют уравнениям непрерывности $\textstyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }=0$ и $\textstyle \partial _{\mu }J^{\mu ,\alpha \beta }=0.$ Тензор момента по последним двум индексам антисимметричен (т.к. антисимметричны параметры поворота $\textstyle \omega ^{\alpha \beta }$). Канонический тензор энергии-импульса, в общем случае, несимметричен по индексам. Если же он оказывается симметричным $\textstyle T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }$, то угловой и спиновый моменты сохраняются (удовлетворяют уравнениям непрерывности) независимо. Действительно:

$\partial _{\mu }L^{\mu ,\alpha \beta }=\partial _{\mu }(x^{\alpha }\,T^{\mu \beta }-x^{\beta }\,T^{\mu \alpha })=\delta _{\mu }^{\alpha }\,T^{\mu \beta }-\delta _{\mu }^{\beta }\,T^{\mu \alpha }=T^{\alpha \beta }-T^{\beta \alpha }=0,$

(EQN)

где сразу учтено, что $\textstyle \partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0$. Если сохраняется угловой момент $\textstyle L^{\mu ,\alpha \beta }$, то, в силу сохранения полного момента $\textstyle J^{\mu ,\alpha \beta }$, будет сохраняться и спиновая компонента момента $\textstyle S^{\mu ,\alpha \beta }$. В качестве упражнения ($\textstyle \lessdot$\,H) стоит проверить, что для лагранжиана

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{8\pi }}\,(\partial _{\alpha }A_{\beta })(\partial ^{\alpha }A^{\beta })$

канонический тензор энергии-импульса симметричен, а тензор спина не равен нулю и сохраняется сам по себе.

К любому сохраняющемуся току $\textstyle J^{\mu }$ можно прибавить некоторую комбинацию полей, которая, в свою очередь, удовлетворяет уравнению непрерывности. Понятно, что подобный модифицированный ток также будет сохранятся. Пусть $\textstyle \Phi ^{\mu \nu }$ — антисимметричный тензор: $\textstyle \Phi ^{\mu \nu }=-\Phi ^{\nu \mu }$. Тогда

$\partial _{\mu }(J^{\mu }+\partial _{\nu }\Phi ^{\mu \nu })=0,$

так как в силу перестановочности производных $\textstyle \partial _{\nu }\partial _{\mu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }$ и антисимметричности $\textstyle \Phi ^{\mu \nu }$, имеем $\textstyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }\Phi ^{\mu \nu }=0$ (стр.\,\pageref{m_antisym_sym}). Поэтому добавление к току величины $\textstyle \partial _{\nu }\Phi ^{\mu \nu }$ не нарушит закона сохранения. Возможны и более замысловатые изменения канононических величин.

Так, от канонических тензоров энергии-импульса и спина перейдём к новым тензорам энергии-импульса и спина при помощи тензора $\textstyle \Phi ^{\mu ,\alpha \beta }$, который антисимметричен по последним двум индексам: ($\textstyle \Phi ^{\mu ,\alpha \beta }=-\Phi ^{\mu ,\beta \alpha }$):

${\tilde {T}}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}\,\partial _{\gamma }\,(\Phi ^{\gamma ,\mu \nu }-\Phi ^{\mu ,\gamma \nu }-\Phi ^{\nu ,\gamma \mu }),\;\;\;\;\;{\tilde {S}}^{\mu ,\alpha \beta }=S^{\mu ,\alpha \beta }-\Phi ^{\mu ,\alpha \beta }.$

(EQN)

Тензор $\textstyle {\tilde {T}}^{\mu \nu }$ по-прежнему удовлетворяет уравнению непрерывности:

$\partial _{\mu }{\tilde {T}}^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\,\partial _{\mu }\,\partial _{\gamma }\,(\Phi ^{\gamma ,\mu \nu }-\Phi ^{\mu ,\gamma \nu })-{\frac {1}{2}}\,\partial _{\mu }\,\partial _{\gamma }\,\Phi ^{\nu ,\gamma \mu }=0.$

Первое слагаемое (член в круглых скобках) равен нулю, в силу явной антисимметрии по индексам $\textstyle \mu$ и $\textstyle \gamma$. Последний член равен нулю, так как тензор $\textstyle \Phi ^{\nu ,\gamma \mu }$ антисимметричен по последним двум индексам.

Используя тензоры $\textstyle {\tilde {T}}^{\mu \nu }$ и $\textstyle {\tilde {S}}^{\mu ,\alpha \beta }$ можно записать новый полный момент:

${\tilde {J}}^{\mu ,\alpha \beta }=x^{\alpha }\,{\tilde {T}}^{\mu \,\beta }-x^{\beta }\,{\tilde {T}}^{\mu \,\alpha }+{\tilde {S}}^{\mu ,\alpha \beta }.$

Он как и канонический момент сохраняется. Действительно $\textstyle {\tilde {J}}^{\mu ,\alpha \beta }$ равен:

$J^{\mu ,\alpha \beta }+{\frac {x^{\alpha }}{2}}\,\partial _{\gamma }\,(\Phi ^{\gamma ,\mu \beta }-\Phi ^{\mu ,\gamma \beta }-\Phi ^{\beta ,\gamma \mu })-{\frac {x^{\beta }}{2}}\,\partial _{\gamma }\,(\Phi ^{\gamma ,\mu \alpha }-\Phi ^{\mu ,\gamma \alpha }-\Phi ^{\alpha ,\gamma \mu })-\Phi ^{\mu ,\alpha \beta }.$

Беря производные по $\textstyle \partial _{\mu }$ и учитывая, что $\textstyle \partial _{\mu }J^{\mu ,\alpha \beta }=0$, получаем:

$\partial _{\mu }{\tilde {J}}^{\mu ,\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\,\partial _{\gamma }\,(\Phi ^{\gamma ,\alpha \beta }-\Phi ^{\alpha ,\gamma \beta }-\Phi ^{\beta ,\gamma \alpha })-{\frac {1}{2}}\partial _{\gamma }\,(\Phi ^{\gamma ,\beta \alpha }-\Phi ^{\beta ,\gamma \alpha }-\Phi ^{\alpha ,\gamma \beta })-\partial _{\mu }\Phi ^{\mu ,\alpha \beta },$

где опущены производные от круглых скобок, равные, как мы видели при вычислении $\textstyle \partial _{\mu }{\tilde {T}}^{\mu \nu }$, нулю. Кроме этого проведены свёртки с $\textstyle \partial _{\mu }x^{\alpha }=\delta _{\mu }^{\alpha }$ и $\textstyle \partial _{\mu }x^{\beta }=\delta _{\mu }^{\beta }$. Приводя подобные слагаемые, получаем

$\partial _{\mu }{\tilde {J}}^{\mu ,\alpha \beta }=0.$

(EQN)

Неоднозначность в определении сохраняющихся величин можно использовать для придания им тех или иных свойств. Например, если выше выбрать $\textstyle \Phi ^{\mu ,\alpha \beta }=S^{\mu ,\alpha \beta }$, где $\textstyle S^{\mu ,\alpha \beta }$ — канонический спин (получаемый из теоремы Нётер), то новый тензор спина $\textstyle {\tilde {S}}^{\mu ,\alpha \beta }$ становится равным нулю ($\textstyle {\tilde {S}}^{\mu ,\alpha \beta }=0$), а тензор энергии-импульса симметричным:

${\tilde {J}}^{\mu ,\alpha \beta }=x^{\alpha }\,{\tilde {T}}^{\mu \,\beta }-x^{\beta }\,{\tilde {T}}^{\mu \,\alpha },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\tilde {T}}^{\mu \nu }={\tilde {T}}^{\nu \mu }.$

(EQN)

Симметричность $\textstyle {\tilde {T}}^{\mu \nu }$ следует из того, что $\textstyle {\tilde {J}}^{\mu ,\alpha \beta }$ удовлетворяет уравнению непрерывности, поэтому справедливы вычисления подобные ().

"Упрятывание" спиновой компоненты полного момента импульса поля в угловой момент с одновременной симметризацией тензора энергии-импульса называется процедурой Белифанте. Стоит проверить, что "угаданная" дивергенция для симметризации тензора энергии-импульса на стр.\,\pageref{tensor_en_mom_eld_sym} может быть получена при помощи этой процедуры.

$\textstyle \bullet$ Неоднозначность в выборе тензоров энергии-импульса и спина, естественно, не приводит к физической неоднозначности. Рассмотрим, например, сохранение энергии в объёме $\textstyle V$, окруженном поверхностью $\textstyle S$ (стр.\,\pageref{energy_E_int}):

${\frac {d}{dt}}\left\{\int \limits _{V}W\,dV+\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} _{k}\right\}+\oint \limits _{S}\mathbf {P} \,d\mathbf {S} =0.$

(EQN)

Это интегральное уравнение непосредственно следует из теоремы Пойнтинга $\textstyle \partial W/\partial t+\mathbf {E} \mathbf {j} +\nabla \mathbf {P} =0$ и силы Лоренца. В ковариантном виде теорема Пойнтинга имеет вид $\textstyle \partial _{\mu }(T^{\mu \nu }+{\mathcal {T}}^{\mu \nu })=0$, где тензоры поля $\textstyle T^{\mu \nu }$ и вещества $\textstyle {\mathcal {T}}^{\mu \nu }$ являются симметричными. Пусть к сумме этих двух тензоров прибавляют некоторый тензор $\textstyle G^{\mu \nu }$, автоматически удовлетворяющий уравнению $\textstyle \partial _{\mu }G^{\mu \nu }=0$. Его добавление скажется следующим образом на интегральной версии закона сохранения:

${\frac {d}{dt}}\left\{\int \limits _{V}(W+G^{00})\,dV+\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} _{k}\right\}+\oint \limits _{S}(P^{i}+G^{0i})\,dS^{i}=0.$

(EQN)

В силу уравнения непрерывности $\textstyle \partial _{\mu }G^{\mu \nu }=0$, независимо от () выполняется соотношение:

${\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}G^{00}\,dV+\oint \limits _{S}G^{0i}\,dS^{i}=0.$

(EQN)

Пусть мы интересуемся, что происходит с суммарной энергией зарядов $\textstyle \mathbb {E} _{k}$ при изменении напряженностей полей. Понятно, что совместное использование законов сохранения () и () приведёт к тем же физическим следствиям, что и использование (). Поэтому неоднозначность в выборе плотности энергии и импульса поля (произвол в тензоре $\textstyle G^{\mu \nu }$) не влияет на однозначность в описании поведения зарядов.

Определённые сложности с однозначностью иногда возникают при рассмотрении потока энергии через некоторую площадку (незамкнутую поверхность). С таким потоком мы имеем дело когда измеряем энергию излучения, проходящую в единицу времени через единицу поверхности. Этот поток приводит к давлению, нагреву и другим "неполевым" последствиям, которые можно независимо измерить. В тоже время, вектор плотности импульса поля $\textstyle \mathbf {P} =[\mathbf {E} \times \mathbf {B} ]/4\pi$, характеризующий эти эффекты, с точки зрения теоремы Пойнтинга, определён неоднозначно. Например, в силу уравнения Максвелла $\textstyle \nabla \mathbf {B} =0$, его можно заменить на $\textstyle \mathbf {P} \mapsto \mathbf {P} +\mathbf {B}$ (в ковариантной формулировке это соответствует выбору тензора $\textstyle G^{\mu \nu }=\,^{*}F^{\mu \nu }$). Куда в этом случае направлено давление света?

На самом деле, даже при рассмотрении потока через площадку, необходимо последовательно применять интегральный закон сохранения для замкнутого объёма. Тогда проблем с неоднозначностью не будет. Например, пусть нас интересует какой импульс передан пластинке, поглотившей падающий на неё свет. В конечном счёте, этот импульс передан зарядам, находящимся в пластинке. Поэтому необходимо рассматривать пластинку в виде, например, параллелепипеда, имеющего малую, но конечную толщину. Внутри этого параллелепипеда находятся заряды. Для вычисления поглощённого импульса поля возьмём суммарный закон сохранения импульса поля и зарядов (стр.\,\pageref{conserv_mom_em}):

${\frac {d}{dt}}{\Bigl (}\int \limits _{V}\mathbf {P} \,dV+\sum _{k=1}^{n}\mathbf {p} _{k}{\Bigr )}_{i}+\int \limits _{S}\sigma _{ij}\,dS^{j}=0$

Какой бы тензор $\textstyle G^{\mu \nu }$ мы не добавили к $\textstyle T^{\mu \nu }+{\mathcal {T}}^{\mu \nu }$, он фактически не меняет этого уравнения, сокращаясь в силу собственного закона сохранения типа (). Вычислим поверхностный интеграл от тензора напряжений $\textstyle \sigma _{ij}$ (см. стр.\,\pageref{fld_sigma_ij}). Рассмотрим, для простоты плоскую, линейно поляризованную электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси $\textstyle z$ с амплитудой $\textstyle f=f(z-t)$:

$\mathbf {E} =\{f,\,0,\,0\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {B} =\{0,\,f,\,0\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {P} ={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {B} }{4\pi }}=\{0,\,0,\,f^{2}/4\pi \},$

Пусть плоскость параллелепипеда (пластинка) перпендикулярна оси $\textstyle z$. Тогда $\textstyle \sigma _{ij}\,dS^{j}$ является вектором с компонентами:

${\frac {\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2}}{8\pi }}\,d\mathbf {S} -{\frac {\mathbf {E} (\mathbf {E} d\mathbf {S} )+\mathbf {B} (\mathbf {B} d\mathbf {S} )}{4\pi }}={\frac {f^{2}}{4\pi }}\,\{0,\,0,\,dS_{z}\}.$

Вектор $\textstyle d\mathbf {S}$ перпендикулярен поверхности, выходя наружу из объёма. Поэтому на верхней стороне пластины $\textstyle dS_{z}$ направлен вдоль оси $\textstyle z$, а на нижней — против. В результате, поверхностный интеграл от $\textstyle \sigma _{ij}$ равен нулю. Закон сохранения импульса при поглощении электромагнитного поля пластинкой можно теперь записать следующим образом:

$\left(\int \limits _{V}\mathbf {P} \,dV+\sum _{k=1}^{n}\mathbf {p} _{k}\right)_{t_{1}}=\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {p} _{k}\right)_{t_{2}},$

где левая часть относится к ситуации до поглощения, а правая — после. Изменение импульса пластинки равно полученному ею импульсу поля.

Заметим, что в некотором смысле симметричный тензор энергии импульса является выделенным, т.к. не требует дополнительных вычислений по выявлению тривиально сокращающихся слагаемых в законах сохранения.

$\textstyle \bullet$ Рассматривая законы сохранения в теории поля, мы строим тензорные поля (тензоры, зависящие от координат и времени), которые удовлетворяют уравнению непрерывности. Во времени сохраняется интеграл по 3-мерному пространству от нулевой компоненты таких тензоров. Например, интеграл от нулевой компоненты 4-тока $\textstyle J^{\mu }$ является сохраняющимся зарядом $\textstyle Q$. Этот заряд инвариантен относительно преобразований Лоренца и имеет одинаковое значение для всех инерциальных наблюдателей. Аналогично, для тензора энергии-импульса $\textstyle T^{\mu \nu }$ вычисляется интеграл по $\textstyle d^{3}\mathbf {x}$ от $\textstyle T^{0\nu }$. Его значение является суммарной энергией-импульсом поля $\textstyle P^{\nu }$, которая преобразуется как 4-вектор.

Подчеркнём, что 4-вектор $\textstyle J^{\mu }$ и 4-тензор $\textstyle T^{\mu \nu }$, по определению и по сути своего построения, являются локально ковариантными величинами. Например, 4-ток преобразуется как 4-вектор: $\textstyle J'^{\mu }(x')=\Lambda _{\;\,\nu }^{\mu }J^{\nu }(x)$. При этом аргументы векторного поля $\textstyle J^{\mu }(x)$, измеряемого в двух системах отсчёта, относятся к одной и той же точке пространства-времени. В этой точке "находятся" 2 наблюдателя из 2-х систем отсчёта, каждый из которых измеряет собственное время. Поэтому в левой части преобразований аргументы 4-вектора имеют штрих, а в правой стоят уже без штриха.

Когда мы переходим к интегральным величинам, суммируя тензорное поле по всему пространству, вступает в игру относительность одновременности. Забудем пока, что 4-ток удовлетворяет уравнению непрерывности и вычислим для произвольного поля $\textstyle J^{\mu }$ интеграл:

$Q(t)=\int J^{0}(t,\mathbf {x} )\,d^{3}\mathbf {x} .$

(EQN)

При интегрировании мы суммируем значения функции $\textstyle J^{0}(t,\mathbf {x} )$, измеренные наблюдателями во всём пространстве в данный момент времени $\textstyle t$ в данной "нештрихованной" системе отсчёта. Аналогичное выражение со штрихами соответствует интегральной величине, измеренной наблюдателями в другой инерциальной системе в момент времени $\textstyle t'$. Как известно (стр.\,\pageref{delta_lorenz1}), в теории относительности мы не можем ввести синхронизированное во всём пространстве время, одновременно в двух различных инерциальных системах отсчёта. Когда в преобразовании $\textstyle J'^{\mu }(x')=\Lambda _{\;\,\nu }^{\mu }J^{\nu }(x)$ стоят времена $\textstyle t$ и $\textstyle t'$ это не вызывает затруднения, т.к. понятно к каким наблюдателям они относятся. Время же в интегральном соотношении типа () связано с совокупностью всех наблюдателей данной системы отсчёта. Оно не может быть непосредственно сравнено с аналогичным "интегральным" временем $\textstyle t'$ в другой системе отсчёта. Сравнить между собой заряды $\textstyle Q(t)$ и $\textstyle Q'(t')$ можно только, если они сохраняются и от времён не зависят.

Приведём простой пример. Пусть пространство Минковского 2-мерно $\textstyle (t,x)$. Рассмотрим ток $\textstyle J^{\nu }(t,x)=x^{\nu }e^{{\mathrm {x} }\cdot {\mathrm {x} }}$, не удовлетворяющий уравнению непрерывности. Для него заряд равен:

$Q(t)=t\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{t^{2}-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}\,t\,e^{t^{2}}.$

Очевидно, что эта функция времени не является инвариантом. На самом деле применить к ней преобразования Лоренца и нельзя, так как величина $\textstyle Q$ не относится к одной точке в пространстве, поэтому не ясно какие $\textstyle x'$ и $\textstyle x$ использовать в этих преобразованиях.

Сохраняющийся же заряд от времени не зависит и оказывается инвариантом. Приведём пример для этого случая. Пусть $\textstyle V^{\alpha }$ — постоянный единичный вектор ($\textstyle V^{\alpha }V_{\alpha }=1$). Введём 4-вектор $\textstyle \eta ^{\alpha }$, ортогональный к $\textstyle V^{\alpha }$:

$\eta ^{\alpha }=x^{\alpha }-V^{\alpha }(\mathrm {V} \cdot \mathrm {x} ),\;\;\;\;\;\;\;\eta \cdot \mathrm {V} =0,\;\;\;\;\;\;\eta ^{2}=\mathrm {x} ^{2}-(\mathrm {V} \cdot \mathrm {x} )^{2},\;\;\;\;\;\;\partial _{\alpha }\eta ^{2}=2\eta _{\alpha }.$

Аналогичный 4-вектор мы ввели при ковариантном описании потенциала и тензора напряженности точечного заряда (стр.\,\pageref{fld_A_for_point_Q}). Так как 4-вектор $\textstyle V^{\alpha }$ единичный, его компоненты можно представить аналогично компонентами 4-скорости $\textstyle V^{\alpha }=\{\gamma ,\gamma v\}$, $\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}}}$. Рассмотрим сохраняющийся ток $\textstyle J^{\nu }=V^{\nu }e^{\eta ^{2}}$. Соответствующий ему заряд равен:

$Q=\gamma e^{-\gamma ^{2}v^{2}t^{2}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\gamma ^{2}x^{2}+2\gamma ^{2}vtx}dx={\sqrt {\pi }}.$

Очевидно, что это же значение получат наблюдатели в "штрихованной" системе отчёта.

Аналогичные 4-току рассуждения справедливы и для тензорных уравнений $\textstyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }=0$ или $\textstyle \partial _{\mu }J^{\mu ,\alpha \beta }=0.$ Соответствующие интегралы

$P^{\nu }=\int T^{0\nu }d^{3}\mathbf {x} ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J^{\alpha \beta }=\int J^{0,\alpha \beta }d^{3}\mathbf {x}$

будут тензорными выражениями так как $\textstyle P^{\nu }$ и $\textstyle J^{\alpha \beta }$ не зависят от времени. Если же уравнения непрерывности не выполняются, то тензорные выражения после интегрирования, в общем случае, не возникнут. В частности, интегралы от угловой и спиновой компонент момента импульса не являются тензорами, если по-отдельности не удовлетворяют уравнениям непрерывности. Аналогично, в электродинамике сохраняется суммарный тензор частиц и полей: $\textstyle \partial _{\gamma }({\mathcal {T}}^{\gamma \alpha }+{T}^{\gamma \alpha })=0.$ По-отдельности эти тензоры, вообще говоря, не сохраняются. Поэтому, суммарный 4-импульс только лишь частиц будет зависеть от времени и не является 4-вектором (см. также стр.\,\pageref{sec_non_loc_law_conserv}).

$\textstyle \bullet$ Докажем более строго, что интеграл по всему пространству от нулевой компоненты сохраняющегося 4-тока $\textstyle J^{\mu }$, является скаляром относительно преобразований Лоренца \cite{Weinberg1975}. Рассмотрим, например, некоторый ток $\textstyle J^{\mu }(x)$, удовлетворяющий уравнению непрерывности:

$\partial _{\mu }J^{\mu }={\frac {\partial J^{0}}{\partial t}}+\nabla \mathbf {J} =0.$

Пусть поле достаточно быстро убывает на бесконечности в 3-мерном пространстве $\textstyle \mathbf {x}$. Точнее, убывание должно быть быстрее чем $\textstyle 1/\mathbf {x} ^{2}$, чтобы поверхностный интеграл от пространственной компоненты 4-тока $\textstyle \mathbf {J}$ на бесконечности равнялся нулю.

Запишем в значение заряда в данный момент времени $\textstyle {\bar {t}}$. Для этого сначала, при помощи $\textstyle \delta$-функции Дирака, перейдём от интегрирования по 3-мерному пространству $\textstyle d^{3}\mathbf {x}$, к интегрированию по всему пространству-времени $\textstyle d^{4}\mathrm {x} =dt\,d^{3}\mathbf {x}$:

$Q=\int J^{0}(\mathbf {x} ,{\bar {t}})\,d^{3}\mathbf {x} =\int J^{0}(\mathbf {x} ,t)\,\delta (t-{\bar {t}})\,d^{4}\mathrm {x} .$

Введём функцию ступеньки Хевисайда:

$\theta (t)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&\;t>0\\0,&\;t<0.\\\end{array}}\right.$

(EQN)

Производная от неё равна $\textstyle \delta$-функции: $\textstyle \theta '(t)=\delta (t)$, что проверяется проведением интегрирования по частям с произвольной функцией (стр.\,\pageref{math_Heaviside}). При помощи функции Хевисайда выражение для заряда можно переписать в следующем виде:

$Q=\int J^{0}(\mathbf {x} ,t)\,\partial _{0}\theta (t-{\bar {t}})\,d^{4}\mathrm {x} =\int J^{\mu }(\mathbf {x} ,t)\,\partial _{\mu }\theta (t-{\bar {t}})\,d^{4}\mathrm {x} .$

По повторяющемуся индексу $\textstyle \mu$, как обычно, проводится суммирование от 0 до 3. Переход от производной по $\textstyle t$ к ковариантной производной $\textstyle \partial _{\mu }$ во втором равенстве возможен, так как функция Хевисайда зависит только от времени (производные по координатам будут равны нулю). Учитывая уравнение непрерывности $\textstyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0$, ток можно внести под производную:

$Q=\int \,\partial _{\mu }[J^{\mu }(\mathrm {x} )\theta (t-{\bar {t}})]\,d^{4}\mathrm {x} =\int J^{\mu }(\mathrm {x} )\theta (t-{\bar {t}})\,dS_{\mu },$

(EQN)

где второе равенство записано при помощи интегральной теоремы Гаусса в 4-мерном пространстве (переход от объёмного интеграла $\textstyle d^{4}\mathrm {x}$, к интегралу по поверхности $\textstyle dS_{\mu }$, окружающей этот объём).

Запишем теперь значение заряда в другой инерциальной системе отсчёта, движущейся относительно первой вдоль оси $\textstyle x$ со скоростью $\textstyle v$. В этой системе всем величинам добавляются штрихи:

$Q'=\int \,\partial '_{\mu }[J'^{\mu }(\mathrm {x'} )\theta (t'-{\bar {t}}')]\,d^{4}\mathrm {x} '.$

Сделаем замену переменных интегрирования, совпадающих с преобразованиями Лоренца: $\textstyle x'=\gamma (x-vt)$, $\textstyle t'=\gamma (t-vx)$. Якобиан такого преобразования равен единице ($\textstyle \lessdot$\,H), поэтому $\textstyle d^{4}\mathrm {x} '=d^{4}\mathrm {x}$. Производная $\textstyle \partial '_{\mu }$ преобразуется аналогично ковектору при преобразованиях Лоренца. Так как при этом $\textstyle \partial '_{\mu }J'^{\mu }=\partial _{\mu }J^{\mu }$ штрих у $\textstyle J^{\mu }$ можно убрать. Поэтому:

$Q'=\int \,\partial _{\mu }[J^{\mu }(\mathrm {x} )\theta (\gamma (t-vx)-{\bar {t}}')]\,d^{4}\mathrm {x} ,$

(EQN)

Используя теорему Гаусса в 4-мерном пространстве и вычитая () и (), имеем:

$Q'-Q=\int \,dS_{\mu }J^{\mu }(\mathrm {x} )\{\theta (\gamma (t-vx)-{\bar {t}}')-\theta (t-{\bar {t}})],$

Представим гиперповерхность $\textstyle dS_{\mu }$, охватывающую всё 4-пространство, как цилиндр, осью которого является ось времени $\textstyle t$. Поверхностный интеграл на боковых сторонах этого цилиндра равен нулю, так как $\textstyle J^{\alpha }=0$ при $\textstyle |\mathbf {x} |\to \infty$. На основаниях цилиндра при любых конечных $\textstyle x$, $\textstyle {\bar {t}}$, $\textstyle {\bar {t}}'$ при $\textstyle t\to \pm \infty$ разница функций Хевисайда равна нулю. Действительно, если $\textstyle x,{\bar {t}}'$ и $\textstyle {\bar {t}}$ константы, то в силу определения (), имеем:

$\lim _{t\to \infty }\theta (\gamma (t-vx)-{\bar {t}}')\approx \theta (\gamma t)=1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim _{t\to \infty }\theta (t-{\bar {t}})\approx \theta (t)=1.$

Аналогично, обе функции Хевисайда стремятся к нулю при $\textstyle t\to -\infty$. Если же вместе с $\textstyle t$ к бесконечности стремится $\textstyle x$, то ноль возникает, так как стремится к нулю значение 4-тока. Таким образом, мы доказали, что $\textstyle Q=Q'$. При помощи этого же метода несложно показать, что, при выполнении уравнения $\textstyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }=0$, интеграл от $\textstyle T^{0\nu }$ будет 4-вектором.

Заметим, что иногда поля в течении всего времени локализованы в компактной области пространства (перемещающейся вдоль некоторой траектории). В этом случае могут существовать квазисохраняющиеся токи. Это означает, что уравнение непрерывности не выполняется, но заряд является инвариантом, если пренебречь размерами области. Например, пусть в пределе при котором соответствующая область стремиться к нулю, возникает функция Дирака $\textstyle J^{0}(t,\mathbf {x} )=f(t,\mathbf {x} )\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(t))$. Если при этом $\textstyle f(t,\mathbf {x} _{0}(t))$ не зависит от времени, то и интеграл от $\textstyle J^{0}(t,\mathbf {x} )$ будет постоянным. Другими словами, отклонения от тензорного характера интегральных величин иногда могут быть и небольшими.

---

Применения теоремы Нётер <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 7)	>> Спин

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии