Применения теоремы Нётер

Теорема Нётер <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 7)	>> Неоднозначность и ковариантность

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим трансляционные преобразования в пространстве и во времени без изменения полевых функций:

$x^{\nu }\mapsto x'^{\nu }=x^{\nu }+\omega ^{\nu },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Psi '_{k}(x')=\Psi _{k}(x).$

(EQN)

Физически подобные преобразования можно реализовать следующим образом. Пусть есть две системы отсчёта $\textstyle S'$ и $\textstyle S$, которые неподвижны относительно друг друга. Наблюдатели в $\textstyle S$ измеряют координаты и время относительно выбранного ими начала отсчёта. Начало отсчёта системы $\textstyle S'$ сдвинуто в 3-мерном пространстве относительно начала $\textstyle S$ на вектор $\textstyle {\boldsymbol {\omega }}=\{\omega ^{1},\omega ^{2},\omega ^{3}\}$. Отсчёт времени также сдвинут на $\textstyle \omega ^{0}$. Так как системы неподвижны, любая функция (неважно скалярная или векторная) будет иметь одно и тоже значение в данной точке пространства, которая имеет разные координаты в обоих системах. Именно это и записано в ().

Если лагранжиан не зависит явно от $\textstyle x^{\nu }$ (только через полевые функции), то действие и уравнения движения будут инвариантны относительно трансляционных преобразований. В данном случае индекс $\textstyle a$, нумерующий параметры, пробегает значения от 0 до 3 и является обычным индексом 4-мерного ковариантного формализма:

$X_{\mu }^{\nu }={\frac {\partial (x^{\nu }+\omega ^{\nu })}{\partial \omega ^{\mu }}}{\Bigr |}_{\omega =0}=\delta _{\mu }^{\nu },\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y_{k,\mu }=0.$

Поэтому сохраняющийся нётеровский ток () с обратным знаком равен каноническому тензору энергии-импульса (), стр.\,\pageref{canon_stres_ten_em}:

$-J_{\;\,\nu }^{\mu }=T_{\;\,\nu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}\,\partial _{\nu }\Psi _{k}-\delta _{\nu }^{\mu }\,{\mathcal {L}}.$

(EQN)

Таким образом, сохранение энергии и импульса поля связано с симметрией уравнений движения относительно сдвигов во времени $\textstyle t'=t+\omega ^{0}$ и трансляций (сдвигов на вектор $\textstyle {\boldsymbol {\omega }}$) в 3-мерном пространстве $\textstyle \mathbf {x} '=\mathbf {x} +{\boldsymbol {\omega }}$.

Теорема Нётер при произвольных преобразованиях может быть записана в более компактной форме при помощи канонического тензора энергии импульса:

$J_{a}^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}\,Y_{k,a}-T_{\;\,\nu }^{\mu }\,X_{a}^{\nu }.$

(EQN)

Следовательно, канонический тензор энергии-импульса будет входить в любой закон сохранения, связанный симметрией, которая затрагивает координаты (коэффициенты $\textstyle X_{a}^{\nu }$ отличны от нуля).

$\textstyle \bullet$ Уравнения движения и действие должны быть одинаковыми для различных инерциальных наблюдателей, связанных преобразованиями Лоренца. Мы запишем их в матричном виде (стр.\,\pageref{matrix_transorm}):

$x'^{\nu }=\Lambda _{\;\mu }^{\nu }\,x^{\mu }.$

Напомним, что преобразования Лоренца можно интерпретировать как повороты 4-пространства с координатами $\textstyle (t,x,y,z)$. Они содержат в себе как чистое преобразование Лоренца (буст), описывающее относительное движение систем отсчёта со скоростью $\textstyle v$, так и обычные 3-мерные вращения на угол $\textstyle \phi$ вокруг одной из пространственных осей. Поэтому, преобразования Лоренца, в общем случае, зависят от 6 параметров $\textstyle v_{x},v_{y},v_{z},\phi _{x},\phi _{y},\phi _{z}$. Пусть эти параметры малы так, что матрицу $\textstyle \mathbf {\Lambda }$ можно разложить в окрестности единичной матрицы:

$\Lambda _{\;\mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }+\omega _{\;\mu }^{\nu }+...$

Элементы матрицы $\textstyle \omega _{\;\mu }^{\nu }$ являются малыми величинами, линейно зависящими от параметров преобразования Лоренца. Соответственно сами преобразования в этом приближении имеют вид:

$x'^{\nu }=x^{\nu }+\omega _{\;\mu }^{\nu }\,x^{\mu }.$

(EQN)

Запишем с точностью до первого порядка малости по $\textstyle \omega _{\;\mu }^{\nu }$ условие инвариантности интервала:

$x'^{\nu }x'_{\nu }=(x^{\nu }+\omega _{\;\mu }^{\nu }\,x^{\mu })(x_{\nu }+\omega _{\nu \lambda }\,x^{\lambda })\approx x^{\nu }x_{\nu }+\omega _{\;\mu }^{\nu }\,x^{\mu }x_{\nu }+\omega _{\nu \lambda }\,x^{\lambda }x^{\nu }=x^{\nu }x_{\nu }.$

Учитывая, что $\textstyle A^{\alpha }B_{\alpha }=A_{\alpha }B^{\alpha }$ и переименовывая индексы можно записать $\textstyle \omega _{\;\mu }^{\nu }x^{\mu }x_{\nu }=\omega _{\nu \mu }x^{\mu }x^{\nu }=\omega _{\nu \lambda }x^{\lambda }x^{\nu }$. Поэтому, чтобы интервал был инвариантен ($\textstyle \mathrm {x} '^{2}=\mathrm {x} ^{2}$), должно выполнятся соотношение:

$\omega _{\mu \nu }\,x^{\mu }x^{\nu }=0.$

Это выражение является свёрткой тензора $\textstyle \omega _{\mu \nu }$ с симметричным тензором $\textstyle x^{\mu }x^{\nu }$. Так как $\textstyle \omega _{\mu \nu }$ от координат не зависит, ноль получится, только если коэффициенты $\textstyle \omega _{\mu \nu }$ будут антисимметричными (стр.\,\pageref{m_antisym_sym}):

$\omega _{\mu \nu }=-\omega _{\nu \mu }.$

У антисимметричной матрицы $\textstyle \omega _{\mu \nu }$ диагональные элементы равны нулю, а ненулевых независимых элементов будет 6. Эти 6 элементов и соответствуют 6 параметрам преобразований. Их можно выразить через относительную скорость инерциальных систем отсчёта и углы поворота их координатных осей (см. главу ).

Так как параметры преобразования записаны в виде матрицы, индекс "$\textstyle a$" в токе теоремы Нётер состоит из двух индексов $\textstyle a=(\mu ,\nu )$ и суммирование по нему эквивалентно двойной сумме. Найдём коэффициенты варьирования координат:

$X_{a}^{\nu }\equiv X_{\alpha \beta }^{\nu }={\frac {\partial (x^{\nu }+\omega ^{\nu \mu }x_{\mu })}{\partial \omega ^{\alpha \beta }}}=\delta _{\alpha }^{\nu }x_{\beta }-\delta _{\beta }^{\nu }x_{\alpha }.$

Поясним взятие производной. Пусть индексы имеют конкретное значение, например $\textstyle \alpha =1$, $\textstyle \beta =2$. Ненулевая производная $\textstyle \omega ^{\nu \mu }x_{\mu }$ по $\textstyle \omega ^{12}$ получится от слагаемых $\textstyle \omega ^{12}x_{2}$ и $\textstyle \omega ^{21}x_{1}=-\omega ^{12}x_{1}$. Первое из них соответствует $\textstyle \nu =\alpha =1$, а второе $\textstyle \nu =\beta =2$. Поэтому либо $\textstyle (\nu =\alpha )\cdot x_{\beta }$ либо $\textstyle (\nu =\beta )\cdot (-x_{\alpha })$. В остальных случаях имеем ноль.

Подставляя $\textstyle X_{\alpha \beta }^{\nu }$ в сохраняющийся ток () и опуская индекс $\textstyle \mu$ вниз, получаем:

$J_{\mu ,\alpha \beta }=-T_{\mu \nu }\,(\delta _{\alpha }^{\nu }x_{\beta }-\delta _{\beta }^{\nu }x_{\alpha })+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial ^{\mu }\Psi _{k})}}\,Y_{k,\alpha \beta }.$

Сворачивая с символами Кронекера, окончательно получаем:

$J_{\mu ,\alpha \beta }=L_{\mu ,\alpha \beta }+S_{\mu ,\alpha \beta },$

(EQN)

где первое слагаемое принято называть угловым моментом вращения поля, а второе слагаемое — спиновым моментом поля:

$L_{\mu ,\alpha \beta }=x_{\alpha }\,T_{\mu \beta }-x_{\beta }T_{\mu \alpha },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;S_{\mu ,\alpha \beta }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial ^{\mu }\Psi _{k})}}\,Y_{k,\alpha \beta }.$

Угловой момент определяется каноническим тензором энергии-импульса. Спиновый момент зависит от трансформационных свойств поля относительно преобразований Лоренца (коэффициенты $\textstyle Y_{k,\alpha \beta }$). Оба эти тензора являются антисимметричными по индексам $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$.

Подчеркнём, что названия "угловой" и "спиновый" моменты достаточно условны. Ранее (стр.\,\pageref{sec_spin}) мы определили спин, как полный момент в системе отсчёта, где суммарный импульс равен нулю. В этой системе интегральный угловой момент не обязательно равен нулю:

$L_{\alpha \beta }=\int (x_{\alpha }\,T_{0\beta }-x_{\beta }T_{0\alpha })\,d^{3}x\neq 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P_{\alpha }=\int T_{0\alpha }\,d^{3}x=0.$

Название "спин" для тензора $\textstyle S_{\mu ,\alpha \beta }$ связано лишь с тем, что в его определение не входят явно координаты $\textstyle x_{\alpha }$. В тоже время их наличие в $\textstyle L_{\mu ,\alpha \beta }$ подобно тому, как они входят в момент импульса точечной частицы: $\textstyle x_{\alpha }p_{\beta }-x_{\beta }p_{\alpha }$.

Спиновый момент $\textstyle S_{\mu ,\alpha \beta }$ зависит от трансформационных свойств поля. Например, для векторного электромагнитного поля $\textstyle \Psi _{\nu }=A_{\nu }$ закон преобразования $\textstyle A'^{\nu }(x')=\Lambda _{\;\mu }^{\nu }\,A^{\mu }(x)$ точно такой же, как и закон преобразования для координат. Только вместо координат в производных по $\textstyle \omega ^{\alpha \beta }$ будут стоять полевые функции. Поэтому:

$Y_{\nu ,\alpha \beta }=g_{\nu \alpha }\,A_{\beta }-g_{\nu \beta }\,A_{\alpha }.$

Вместо символов Кронекера записаны коэффициенты метрического тензора, так как индекс $\textstyle \nu$ опущен вниз. В результате, спиновый момент равен:

$S_{\mu ,\alpha \beta }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial ^{\mu }A^{\alpha })}}\,A_{\beta }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial ^{\mu }A^{\beta })}}\,A_{\alpha }.$

где индекс $\textstyle \mu$ опущен вниз.

Для лагранжиана электромагнитного поля

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{16\pi }}\,F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }=-{\frac {1}{8\pi }}\,{\Bigl (}(\partial _{\alpha }A_{\beta })(\partial ^{\alpha }A^{\beta })-(\partial _{\alpha }A_{\beta })(\partial ^{\beta }A^{\alpha }){\Bigr )}$

производная лагранжиана по $\textstyle \partial ^{\mu }A^{\alpha }$ равна $\textstyle -F_{\mu \alpha }/4\pi$, поэтому:

$S_{\mu ,\alpha \beta }={\frac {A_{\alpha }\,F_{\mu \beta }-A_{\beta }\,F_{\mu \alpha }}{4\pi }}.$

Выразим компоненты $\textstyle S_{0,\alpha \beta }$ через напряжённости поля. По индексам $\textstyle \alpha ,\beta$ тензор антисимметричен. Его пространственные компоненты образуют 3-вектор $\textstyle \mathbf {S} =\{S^{0,23},\;S^{0,31},\;S^{0,12}\}$, а временные $\textstyle \mathbf {G} =\{S^{0,10},\;S^{0,20},\;S^{0,30}\}$. Учитывая что $\textstyle \mathbf {E} =-\{F^{01},\,F^{02},\,F^{03}\}$ (стр.\,\pageref{F_E_B_def}), получаем:

$\mathbf {S} ={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {A} }{4\pi }},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {G} ={\frac {\varphi \,\mathbf {E} }{4\pi }}.$

Как мы видим, результат получается калибровочно зависимым. Т.е. если произвести замены $\textstyle \mathbf {A} \mapsto \mathbf {A} +\nabla f$, $\textstyle \varphi \mapsto \varphi -\partial f/\partial t$, где $\textstyle f$ — произвольная функция, напряжённости поля не изменятся. Однако векторы $\textstyle \mathbf {S}$ и $\textstyle \mathbf {G}$ при этом поменяются. Аналогично изменится канонический тензор энергии-импульса (стр.\,\pageref{h_bk_fl_df_Lan_dA}), который также зависит не только от напряжённости поля (тензора $\textstyle F^{\alpha \beta }$), но и от потенциалов.

Заметим, что до сих пор мы рассматриваем поле не взаимодействующее с его источниками (зарядами). Экспериментально измеримым, однако, будет суммарный закон сохранения поля и зарядов, так как непосредственно наблюдаем мы именно заряды.

$\textstyle \bullet$ Бывают также симметрии которые не затрагивают преобразования координат. Рассмотрим два скалярных поля $\textstyle \Phi _{1}(x)$ и $\textstyle \Phi _{2}(x)$ динамика которых описывается следующим лагранжианом ($\textstyle m$ — константа):

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\{(\partial _{\mu }\Phi _{1})^{2}+(\partial _{\mu }\Phi _{2})^{2}\}-{\frac {m^{2}}{2}}\,\{\Phi _{1}^{2}+\Phi _{2}^{2}\}.$

(EQN)

Уравнения движения имеют вид ($\textstyle \lessdot$\,H):

$(\partial ^{2}+m^{2})\Phi _{1}=0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\partial ^{2}+m^{2})\Phi _{2}=0,$

(EQN)

где $\textstyle \partial ^{2}=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }$ — оператор Д'Аламбера. Если бы $\textstyle m=0$, то эти уравнения совпадали с волновыми уравнениями для напряжённостей или потенциалов электромагнитного поля. Отличная от нуля константа $\textstyle m$ приводит к тому, что волны полей $\textstyle \Phi _{i}$ всегда распространяются со скоростью меньшей фундаментальной скорости (которая равна скорости света).

Лагранжиан двухкомпонентного скалярного поля, дополнительно к симметриям трансляции и лоренц-преобразований, инвариантен относительно поворотов в пространстве компонент поля:

$\left\{{\begin{array}{lcllcl}\Phi '_{1}&=&\Phi _{1}\cos \omega &-&\Phi _{2}\sin \omega ,\\\Phi '_{2}&=&\Phi _{1}\sin \omega &+&\Phi _{2}\cos \omega .\end{array}}\right.$

(EQN)

Так как это преобразование не затрагивает координат, величины $\textstyle X_{a}^{\nu }=0$. Параметр один, поэтому индекс $\textstyle a$ опустим, и считая поле $\textstyle \Psi _{k}$ в теореме Нётер двухкомпонентным $\textstyle \Psi _{k}=\{\Phi _{1},\Phi _{2}\}$, запишем:

$Y_{1}={\frac {\partial \Phi '_{1}}{\partial \omega }}{\Bigr |}_{\omega =0}=-\Phi _{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y_{2}={\frac {\partial \Phi '_{2}}{\partial \omega }}{\Bigr |}_{\omega =0}=\Phi _{1}.$

Поэтому сохраняющийся ток имеет вид:

$J^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Phi _{1})}}\,(-\Phi _{2})+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Phi _{2})}}\,\Phi _{1},$

(EQN)

или, учитывая явный вид лагранжиана:

$J^{\mu }=\Phi _{1}\,\partial _{\mu }\Phi _{2}-\Phi _{2}\,\partial _{\mu }\Phi _{1}.$

(EQN)

Проверим выполнимость уравнения непрерывности:

$\partial _{\mu }J^{\mu }=\Phi _{1}\,(\partial ^{2}\Phi _{2})+(\partial _{\mu }\Phi _{1})(\partial ^{\mu }\Phi _{2})-(\partial ^{2}\Phi _{1})\,\Phi _{2}-(\partial _{\mu }\Phi _{1})(\partial ^{\mu }\Phi _{2})=0,$

где ноль получается после подстановки уравнений движения (). Заметим, что если бы в () параметр $\textstyle m$ у каждого поля был бы свой, ноль в уравнении непрерывности не получился бы. Однако в этом случае отсутствовала бы и симметрия лагранжиана.

$\textstyle \bullet$ От действительных полей можно переходить к комплексным. Например, рассмотренное выше двухкомпонентное скалярное поле может быть переформулировано в терминах однокомпонентного комплексного поля. Его действительной и мнимой частью выступают два действительных поля:

$\Psi ={\frac {\Phi _{1}+\imath \Phi _{2}}{\sqrt {2}}}.$

(EQN)

Несложно проверить, что лагранжиан, эквивалентный () имеет вид:

${\mathcal {L}}=(\partial ^{\mu }\Psi ^{*})(\partial _{\mu }\Psi )-m^{2}\,\Psi ^{*}\Psi ,$

(EQN)

где звёздочка — это комплексное сопряжение. Внешне функция стала одна. Однако она по-прежнему двухкомпонентна, поэтому все вычисления (получение уравнений движения, законов сохранения и т.д.) должны проводится так, как будто $\textstyle \Psi$ и $\textstyle \Psi ^{*}$ — это два независимых поля. Например, уравнения Лагранжа дают:

$(\partial ^{2}+m^{2})\Psi =0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\partial ^{2}+m^{2})\Psi ^{*}=0.$

Симметрия лагранжиана () записывается в более компактном виде:

$\Psi \mapsto \Psi '=e^{\imath \omega }\Psi ,\;\;\;\;\;\;\;\;\Psi ^{*}\mapsto \Psi '^{*}=e^{-\imath \omega }\Psi ^{*}.$

Поэтому два коэффициента $\textstyle Y$ равны:

$Y={\frac {\partial (e^{\imath \omega }\Psi )}{\partial \omega }}{\Big |}_{\omega =0}=\imath \Psi ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y^{*}={\frac {\partial (e^{-\imath \omega }\Psi ^{*})}{\partial \omega }}{\Big |}_{\omega =0}=-\imath \Psi ^{*}.$

Суммируя в теореме Нётер $\textstyle Y$ и его комплексное сопряжение, получаем:

$J^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi ^{*})}}\,(-\imath \Psi ^{*})+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi )}}\,(\imath \Psi ).$

Используя лагранжиан (), выражение для тока в явном виде можно записать следующим образом:

$J^{\mu }=\imath (\Psi \partial ^{\mu }\Psi ^{*}-\Psi ^{*}\partial ^{\mu }\Psi ).$

(EQN)

Подставляя () несложно проверить, что этот ток эквивалентен ().

В физике элементарных частиц многие поля имеют более компактное представление в комплексных обозначениях. Связано это с разнообразными симметриями, которые приводят к законам сохранения различных зарядов.

---

Теорема Нётер <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 7)	>> Неоднозначность и ковариантность

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии