Спин

Неоднозначность и ковариантность <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 7)	>> Электромагнитная масса

---

На протяжении этой книги понятие спина вводилось несколько раз. Напомним (стр.\,\pageref{spin_def}, \pageref{sec_group_puancare}), что при помощи 4-тензора полного момента импульса системы $\textstyle J^{\alpha \beta }$, можно определить следующий 4-вектор:

$S_{\nu }={\frac {1}{2}}\,\varepsilon _{\nu \alpha \beta \gamma }\,J^{\alpha \beta }\,U^{\gamma },$

(EQN)

где $\textstyle U^{\alpha }=P^{\alpha }/M$ — 4-скорость, $\textstyle P^{\alpha }$ — полный 4-импульс и $\textstyle M^{2}=P^{\alpha }P_{\alpha }$. Подчеркнем, что величины $\textstyle P^{\alpha }$ и $\textstyle J^{\alpha \beta }$ являются интегральными. В случае системы точечных частиц они получаются при суммировании импульса и момента импульса по частицам, а в теории поля — это интегралы от соответствующих тензорных плотностей. В системе, в которой $\textstyle \mathbf {P} =0$, компоненты $\textstyle S^{\nu }=\{S^{0},\mathbf {S} \}$ равны $\textstyle \{0,\,J^{23},J^{31},J^{12}\}$. Поэтому в этой системе 3-вектор спина $\textstyle \mathbf {S}$ совпадает с полным моментом импульса (пространственные компоненты $\textstyle J^{\mu \nu }$). В произвольной же системе он пропорционален (стр.\,\pageref{spin_def}) разности полного момента и момента импульса центра энергии. На этом основании величина $\textstyle S_{\nu }$ имеет смысл собственного момента вращения системы (без учета перемещения её как целого). В силу антисимметричности $\textstyle \varepsilon _{\nu \alpha \beta \gamma }$, 4-вектор спина ортогонален 4-скорости системы (или полному 4-импульсу):

$\mathrm {S} \cdot \mathrm {U} =S_{\nu }U^{\nu }=0.$

(EQN)

Тензор суммарного момента импульса поля равен (стр.):

$J^{\mu \nu }=\int (x^{\mu }T^{0\nu }-x^{\nu }T^{0\mu }+S^{0,\mu \nu })d^{3}x,$

(EQN)

где компонента $\textstyle S^{0,\mu \nu }$ зависит от 4-координат только через полевые функции, а $\textstyle T^{\mu \nu }$ — тензор энергии-импульса. Подынтегральная функция неинвариантна относительно трансляционных преобразований $\textstyle x^{\nu }\mapsto x^{\nu }+a^{\nu }$. Если перейти в другую, "сдвинутую" систему отсчета, то поля не поменяются (лагранжиан явно от координат не зависит), но наличие $\textstyle x^{\mu }$ под интегралом приведет к тому, что полный момент изменится:

$J^{\mu \nu }\mapsto J^{\mu \nu }+a^{\mu }P^{\nu }-a^{\nu }P^{\mu },\;\;\;\;\;\;\;P^{\mu }=\int T^{0\mu }\,d^{3}x,$

(EQN)

где $\textstyle P^{\mu }$ — суммарный 4-импульс. Собственный момент импульса (спин) не должен меняться при таком преобразовании. Этому требованию удовлетворяет 4-вектор спина (). Кроме этого, если $\textstyle J^{\alpha \beta }$, $\textstyle P^{\gamma }$ сохраняются, то будет сохраняться и $\textstyle S_{\nu }$ (в отличие от интеграла от $\textstyle S^{0,\alpha \beta }$).

$\textstyle \bullet$ При помощи 4-вектора спина можно определить антисимметричный 4-тензор спина:

$S^{\alpha \beta }=\varepsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }U_{\mu }S_{\nu }.$

(EQN)

Очевидно, что он также как и $\textstyle S^{\nu }$ не изменяется при трансляционных преобразованиях и, в силу антисимметрии $\textstyle \varepsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }$, ортогонален 4-спину и 4-скорости:

$S^{\alpha \beta }S_{\beta }=S^{\alpha \beta }U_{\beta }=0.$

Дуальный к $\textstyle S^{\alpha \beta }$ тензор равен:

${\frac {1}{2}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \mu \nu }S^{\mu \nu }=S_{\alpha }U_{\beta }-S_{\beta }U_{\alpha }.$

(EQN)

Сворачивая это соотношение с $\textstyle U^{\beta }$ и учитывая, что $\textstyle \mathrm {U} ^{2}=1$, а $\textstyle \mathrm {S} \cdot \mathrm {U} =0$, имеем:

$S_{\nu }={\frac {1}{2}}\,\varepsilon _{\nu \alpha \beta \gamma }S^{\alpha \beta }U^{\gamma }.$

(EQN)

Таким образом, 4-вектор спина выражается через 4-тензор спина так же как и через полный момент импульса ().

Подставляя () в () и проводя свёртку символов Леви-Чевиты, можно выразить тензор спина через тензор полного момента импульса:

$S^{\alpha \beta }=J^{\alpha \beta }-(J^{\alpha \gamma }U^{\beta }-J^{\beta \gamma }U^{\alpha })U_{\gamma }.$

(EQN)

Сворачивая () или () с символом Леви-Чевиты, получаем ещё одно соотношение между введенными величинами:

$\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \nu }S^{\nu }=J_{\alpha \beta }U_{\gamma }+J_{\gamma \alpha }U_{\beta }+J_{\beta \gamma }U_{\alpha }=S_{\alpha \beta }U_{\gamma }+S_{\gamma \alpha }U_{\beta }+S_{\beta \gamma }U_{\alpha },$

(EQN)

Заметим, что в () по индексам $\textstyle \alpha$, $\textstyle \beta$, $\textstyle \gamma$ проводится циклическая перестановка. Компоненты антисимметричного 4-тензора выражается через два 3-вектора с проекциями:

$\mathbf {g} =\{S^{10},S^{20},S^{30}\}=\mathbf {U} \times \mathbf {S} ,\;\;\;\;\;\mathbf {s} =\{S^{23},S^{31},S^{12}\}=U^{0}\mathbf {S} -S^{0}\mathbf {U} .$

(EQN)

В системе покоя $\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {U} =0$ первый вектор равен нулю, а второй совпадает с вектором спина $\textstyle \mathbf {S}$ (или полного момента $\textstyle \mathbf {J}$). Напомним, что в векторных обозначениях компоненты 4-вектора спина равны (стр.\,\pageref{spin_def2}):

$S^{0}=\mathbf {J} \mathbf {U} =\mathbf {S} \mathbf {U} /U^{0},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {S} =\mathbf {J} U^{0}-\mathbf {G} \times \mathbf {U} ,$

где $\textstyle \mathbf {J} =\{J^{23},J^{31},J^{12}\}$, $\textstyle \mathbf {G} =\{J^{10},J^{20},J^{30}\}$ и $\textstyle \mathrm {U} =\{U^{0},\,\mathbf {U} \}$. В системе покоя отличны от нуля только пространственные компоненты $\textstyle \mathbf {S}$.

Таким образом, описывать собственный момент импульса системы можно при помощи двух величин: 4-вектора спина $\textstyle S^{\nu }$ и 4-тензора спина $\textstyle S^{\mu \nu }$. Ненулевые компоненты обоих величин в системе покоя совпадают друг с другом и с полным моментом системы.

$\textstyle \bullet$ Представим тензор спина в ещё одном виде. Соотношение () можно переписать следующим образом:

$S^{\alpha \beta }=J^{\alpha \beta }-(X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }),$

(EQN)

где

$X^{\alpha }=\lambda \,U^{\alpha }+{\frac {1}{M}}\,J^{\alpha \gamma }U_{\gamma },$

(EQN)

а $\textstyle \lambda$ — некоторый скаляр. Второе слагаемое непосредственно входит в (), а первое слагаемое сокращается при произвольном $\textstyle \lambda$.

Пусть система имеет компактные размеры и движется в пространстве вдоль некоторой траектории. Вектор $\textstyle X^{\alpha }$ можно интерпретировать как эффективный центр на этой траектории, относительно которого определяется собственный момент вращения (тензор спина):

$S^{\alpha \beta }=\int [(x^{\alpha }-X^{\alpha })T^{0\beta }-(x^{\beta }-X^{\beta })T^{0\alpha }]\,d^{3}x,$

где предполагается, что "спиновая" составляющая $\textstyle S^{0,\alpha \beta }$ плотности полного момента "упрятана" при помощи процедуры Белифанте в симметричный тензор энергии импульса $\textstyle T^{\alpha \beta }$. Так как величины $\textstyle X^{\alpha }$ не зависят от координат $\textstyle \mathbf {x}$, то их можно вынести за интеграл и получается ().

В качестве эффективной траектории системы, напрашивается выбрать её центр энергии:

$\mathbf {R} ={\frac {\int \mathbf {x} T^{00}\,d^{3}x}{\int T^{00}\,d^{3}x}}.$

Если система является замкнутой, то полный момент импульса $\textstyle J^{\alpha \beta }$ и импульс $\textstyle P^{\alpha }$ сохраняются и являются ковариантными величинами. В этом случае центр энергии движется равномерно и прямолинейно. Действительно, так как $\textstyle dJ^{\alpha \beta }/dt=0$, имеем:

$J^{i0}=\int (x^{i}T^{00}-tT^{0i})\,d^{3}x=P^{0}R^{i}-tP^{i}=const,$

откуда следует, что положение центра энергии линейно зависит от времени $\textstyle \mathbf {R} =\mathbf {R} _{0}+\mathbf {u} t$, где $\textstyle \mathbf {R} _{0}=\mathbf {R} (0)$, а $\textstyle \mathbf {u} =\mathbf {P} /P^{0}$ — скорость центра энергии, определяемая через её полный импульс и энергию.

Если же система не замкнута (рассматривается только её часть), момент импульса $\textstyle J^{\alpha \beta }$ такой части не только не будет сохраняться, но и не будет 4-тензором относительно преобразований Лоренца (см.стр.\,\pageref{cov_int_val}).

Для описания равномерного движения центра энергии введём 4-вектор $\textstyle \mathrm {R} =\{t,\,\mathbf {R} \}$ ($\textstyle \lessdot$\,H). Покажем, что если система вращается (её спин отличен от нуля), то эффективная траектория $\textstyle X^{\alpha }$ оказывается сдвинутой относительно центра энергии системы. Тензор полного момента импульса $\textstyle J^{\alpha \beta }$ определяется двумя 3-векторами $\textstyle \mathbf {G} =P^{0}\mathbf {R} -\mathbf {P} t=\{J^{10},J^{20},J^{30}\}$ и $\textstyle \mathbf {J} =\{J^{23},J^{31},J^{12}\}$. Для фиксирования значения $\textstyle \lambda$ в () потребуем, чтобы нулевая компонента 4-вектора $\textstyle X^{\alpha }$ была временем:

$X^{0}=\lambda \gamma +{\frac {\gamma }{M}}\,\mathbf {G} \mathbf {u} =\lambda \gamma +\gamma ^{2}\,(\mathbf {R} \mathbf {u} )-\gamma ^{2}\mathbf {u} ^{2}t=t,$

(EQN)

где учтено, что $\textstyle U^{\alpha }=\{\gamma ,\gamma \mathbf {u} \}$. Поэтому $\textstyle \lambda =\gamma t-\gamma \,\mathbf {R} \mathbf {u} =\mathrm {R} \cdot \mathrm {U}$ и 4-вектор эффективной траектории имеет вид:

$X^{\alpha }=(\mathrm {R} \cdot \mathrm {U} )\,U^{\alpha }+{\frac {1}{M}}\,J^{\alpha \beta }U_{\beta }.$

(EQN)

Заметим, что в силу антисимметричности тензора полного момента $\textstyle J^{\alpha \beta }$ и единичности 4-скорости $\textstyle \mathrm {U} ^{2}=1$ имеет место равенство проекций 4-векторов $\textstyle \mathrm {R}$ и $\textstyle \mathrm {X}$ на 4-скорость: $\textstyle \mathrm {R} \cdot \mathrm {U} =\mathrm {X} \cdot \mathrm {U}$. Пространственные компоненты вектора $\textstyle \mathrm {X} =\{t,\mathbf {X} \}$ образуют модифицированный центр инерции:

$\mathbf {X} =\mathbf {R} -{\frac {\gamma }{M}}\,\mathbf {u} \times (\mathbf {J} -\mathbf {R} \times \mathbf {P} ).$

Учитывая, что пространственные компонент 4-вектора спина () равны $\textstyle \mathbf {S} =\gamma (\mathbf {J} -\mathbf {R} \times \mathbf {P} )$, эффективную траекторию можно переписать следующим образом:

$\mathbf {X} =\mathbf {R} -{\frac {\mathbf {u} \times \mathbf {S} }{M}}=\mathbf {R} -{\frac {\mathbf {u} \times \mathbf {s} }{P^{0}}},$

(EQN)

где проекции вектора $\textstyle \mathbf {s} =\{S^{23},S^{31},S^{12}\}$ являются пространственными компонентами тензора спина (). Таким образом, $\textstyle \mathbf {X}$ сдвинут относительно $\textstyle \mathbf {R}$ тем сильнее, чем быстрее движется и вращается система. Кинематически этот эффект связан со сгущением плотности энергии в нижней части системы относительно плоскости в которой лежат в векторы спина и скорости (см.стр.\,\pageref{rotating_and_moveing_disk}).

Если рассматривается вращающаяся система, которая движется во внешнем поле, то суммарный момент импульса и спин должны быть разбиты на две части (системы и поля). В этом случае спин системы не будет сохраняться, а движение центра энергии не будет прямолинейным и равномерным. Заметим также, что величина $\textstyle \mathrm {R} =\{t,\mathrm {R} \}$ при этом не является 4-вектором, как, впрочем, не будут ковариантными остальные интегральные величины. Тем не менее, считая эффекты нековариантности малыми, можно описать динамику спина во внешнем поле исходя из достаточно общих соображений, что мы сейчас и проделаем.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим частицу (или компактную систему зарядов), обладающую спином и магнитным моментом. Найдем релятивистское уравнение которое описывает движение такой частицы во внешнем электромагнитном поле. В системе покоя частицы, находящейся в магнитном поле, спин испытывает ларморовскую прецессию (),(), стр.\,\pageref{em_larmor_prec}:

${\frac {d\mathbf {S} }{dt}}={\frac {gQ}{2m}}\,\mathbf {S} \times \mathbf {B} ,$

(EQN)

где $\textstyle Q$, $\textstyle m$ — заряд и масса частицы, а $\textstyle g$ — гиромагнитный фактор (для электрона $\textstyle Q=-e$, $\textstyle g\approx 2$). Запишем ковариантную версию этого уравнения, справедливую в любой системе отсчета.

В ковариантном уравнении вектор спина должен замениться на 4-вектор спина, а производная по времени, на производную по инвариантному собственному времени частицы $\textstyle d\tau =dt{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}$. Вместо магнитного поля должен появиться 4-тензор $\textstyle F_{\mu \nu }$. Так как в 3-мерном уравнении Лармора производная линейна по спину и магнитному полю, будем считать, что и в ковариантном уравнении она будет линейна по тензору электромагнитного поля $\textstyle \mathrm {F} \equiv F^{\alpha \beta }$ и спину $\textstyle \mathrm {S} \equiv S^{\alpha }$. Кроме этих двух величин есть ещё 4-вектор скорости $\textstyle \mathrm {U} =\{\gamma ,\,\mathbf {u} \gamma \}$ от которого также может зависеть прецессия спина (в () её нет, так это система покоя частицы). В таких предположениях, наиболее общее ковариантное уравнение имеет вид:

${\frac {d\mathrm {S} }{d\tau }}=\alpha _{1}\,\mathrm {S} +\alpha _{2}\,\mathrm {U} +\alpha _{3}\,\mathrm {F} \cdot \mathrm {S} +\alpha _{4}\,\mathrm {F} \cdot \mathrm {U} +\alpha _{5}\,(\mathrm {S} \cdot \mathrm {F} \cdot \mathrm {U} )\,\mathrm {U} ,$

(EQN)

где $\textstyle \alpha _{i}$ — некоторые константы. Будем считать, что магнитное поле однородно (см.стр.\,\pageref{com_force_m_notodnor_B}) и на частицу действует только сила Лоренца:

$\mathrm {A} ={\frac {d\mathrm {U} }{d\tau }}={\frac {Q}{m}}\,\mathrm {F} \cdot \mathrm {U} .$

(EQN)

Производная условия ортогональности () 4-спина и 4-скорости:

$\mathrm {S} \cdot \mathrm {U} =0\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {d\mathrm {S} }{d\tau }}\cdot \mathrm {U} =-\mathrm {S} \cdot \mathrm {A}$

с учётом уравнений (), () даёт $\textstyle \alpha _{2}=0$, $\textstyle \alpha _{5}=\alpha _{3}-Q/m$. Уравнение Лармора () при $\textstyle \mathrm {U} =\{1,\mathbf {0} \}$ позволяет найти оставшиеся коэффициенты: $\textstyle \alpha _{1}=\alpha _{4}=0$, $\textstyle \alpha _{3}=gQ/2m$. В результате получается уравнение Баргмана-Мишеля-Телегди (BMT) \cite{BargmannMichelTelegdi1959}:

${\frac {d\mathrm {S} }{d\tau }}={\frac {gQ}{2m}}\,\mathrm {F} \cdot \mathrm {S} -{\bigl (}1-{\frac {g}{2}}{\Bigr )}\,(\mathrm {A} \cdot \mathrm {S} )\,\mathrm {U} ,$

(EQN)

где 4-ускорение $\textstyle \mathrm {A}$ определяется силой Лоренца ().

Компоненты 4-вектора, получающегося при свертке $\textstyle F^{\mu \nu }$ и $\textstyle S_{\mu }$ равны $\textstyle \mathrm {F} \cdot \mathrm {S} =\{\mathbf {E} \mathbf {S} ,\;S^{0}\mathbf {E} +\mathbf {S} \times \mathbf {B} \}$, где $\textstyle \mathbf {E}$ и $\textstyle \mathbf {B}$ — электрическое и магнитное поле. Поэтому в 3-мерных обозначениях BMT уравнение имеет вид:

${\frac {d\mathbf {S} }{dt}}={\frac {gQ}{2m\gamma }}\,{\Bigl (}(\mathbf {u} \mathbf {S} )\,\mathbf {E} +\mathbf {S} \times \mathbf {B} {\Bigr )}+{\bigl (}1-{\frac {g}{2}}{\Bigr )}\,\gamma ^{2}\,(\mathbf {a} \mathbf {S} )\,\mathbf {u} .$

(EQN)

Если магнитный момент у частицы со спином отсутствует ($\textstyle g=0$), то прецессия спина имеет чисто кинематическую природу, и из () следует уравнение (), стр.\,\pageref{main_spin}. На самом деле частицы, с зарядом и спином, но без магнитного момента, нам неизвестны. Однако, например, для ядра урана $\textstyle \,_{92}^{235}U$ g-фактор равен $\textstyle g=-0.26$, что в 11 раз меньше, чем у протона и в 8, чем у электрона, при том, что спин в 7 раз больше ($\textstyle 7\hbar /2$). Для такого объекта кинематический эффект преобладает над динамическим.

При движении в однородном магнитном поле ($\textstyle \mathbf {E} =0$, $\textstyle \mathbf {B} =const$) модуль скорости частицы постоянен и 3-вектор ускорения равен (стр.\,\pageref{dynamic_magnit_eq}):

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}={\frac {Q}{m\gamma }}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]=\omega \,[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}=\omega \,[\mathbf {n} \times \mathbf {a} ]=-\omega ^{2}\,\mathbf {u} ,$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf {n}$ — единичный вектор в направлении магнитного поля, а циклотронная частота $\textstyle \omega =-QB/m\gamma$, в зависимости от знака заряда частицы может быть как положительной, так и отрицательной. Уравнение для спина () принимает вид:

${\frac {d\mathbf {S} }{dt}}={\frac {g}{2}}\,\omega \,[\mathbf {n} \times \mathbf {S} ]+{\bigl (}1-{\frac {g}{2}}{\bigr )}\,\gamma ^{2}\,(\mathbf {a} \mathbf {S} )\,\mathbf {u} ,$

(EQN)

откуда, используя () несложно получить:

${\frac {d(\mathbf {u} \mathbf {S} )}{dt}}=\gamma ^{2}\,{\bigl (}1-{\frac {g}{2}}{\bigr )}\,(\mathbf {a} \mathbf {S} ),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {d(\mathbf {a} \mathbf {S} )}{dt}}=-\omega ^{2}\,{\bigl (}1-{\frac {g}{2}}{\bigr )}\,(\mathbf {u} \mathbf {S} ).$

(EQN)

Эти уравнения приводят к уравнениям осцилляторного типа:

${\frac {d^{2}(\mathbf {u} \mathbf {S} )}{dt}}+{\bar {\omega }}^{2}\,(\mathbf {u} \mathbf {S} )=0,\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {d^{2}(\mathbf {a} \mathbf {S} )}{dt}}+{\bar {\omega }}^{2}\,(\mathbf {a} \mathbf {S} )=0,$

(EQN)

где $\textstyle {\bar {\omega }}=\gamma \omega \,(1-g/2)$. Потому проекции спина на скорость и ускорение совершают гармонические колебания с частотой, не зависящей от величины скорости:

$\omega _{a}={\frac {2-g}{2}}\,\gamma \,\omega ={\frac {2-g}{2}}\,{\frac {QB}{m}}.$

(EQN)

Для электрона $\textstyle g\approx 2$ и динамическая ларморовская прецессия практически полностью компенсирует кинематическую прецессию. Небольшое изменение поляризации электрона $\textstyle \mathbf {u} \mathbf {S}$ связано с отклонением $\textstyle g$-фактора от двойки, что позволяет измерять аномальные магнитные моменты \cite{Field1979}.

---

Неоднозначность и ковариантность <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 7)	>> Электромагнитная масса

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии