Во второй главе (стр. \pageref{prec_line_sec}) мы рассмотрели ускоренное движение стержня, который при изменении своей скорости перемещается параллельно своему предыдущему положению с точки зрения наблюдателей в мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчёта. В релятивистской теории такой стержень при движении поворачивается относительно наблюдателей в неподвижной (лабораторной) системе отсчёта.
Аналогичный эффект возникает и со спином вращающейся системы. Пусть на гироскоп действует сила, изменяющая его скорость, но при этом отсутствует момент силы. В классической механике собственный момент вращения при этом должен остаться без изменения (хотя, возможно, изменится полный момент за счёт "орбитального движения"). В теории относительности в таких условиях собственный момент вращения (спин) в общем случае изменяется (прецессирует).
Введём три системы отсчёта , и . Пусть скорость системы относительно равна , а скорость системы относительно равна . Соответственно, скорость относительно равна . Эти скорости связаны при помощи закона сложения скоростей (), стр.\pageref{transf_u_vec0}:
|
(EQN)
|
где приближённое равенство записано с точностью до первого порядка малости по .
Последующие рассуждения будут справедливы для любого 4-вектора , ортогонального в 4-пространстве к 4-скорости :
|
(EQN)
|
Из этого соотношения следует, что . Запишем преобразования для 3-вектора спина (заменяя в () и ):
|
(EQN)
|
Обратное преобразование получается заменой скорости :
|
(EQN)
|
так как в любой системе отсчёта .
Если гироскоп неподвижен () относительно системы , то:
|
(EQN)
|
Обратное преобразование получается из соотношения () после подстановки :
|
(EQN)
|
Применим преобразование () между системами и . Пусть в системе находится неподвижный (но вращающийся) гироскоп со спином . В этом случае в преобразовании () необходимо добавить всем величинам штрих и заменить . В результате в первом приближении по спин остаётся в системе без изменений:
Рассмотрим теперь "точно такой же" гироскоп, неподвижный в системе со спином (см. выше рисунок). Когда начала систем и совпадают, аналогично стержням (стр. \pageref{prec_line_sec}) "совпадают" и гироскопы. Поэтому будем считать, что гироскоп системы получается при изменении на скорости гироскопа системы . Спин гироскопа в соответствии с () относительно равен:
|
(EQN)
|
Это выражение даёт значение спина гироскопа в момент времени после изменения им скорости на относительно системы . Вычитая из него значение спина () в момент времени , получаем:
|
(EQN)
|
где во втором равенстве выражено через при помощи (), а вместо подставлено выражение ().
Вводя вектор 3-мерного ускорения , окончательно получаем:
|
(EQN)
|
Если ускорение остаётся перпендикулярным вектору спина (), то спин при таком движении не изменяется. В остальных случаях при ускоренном движении происходит изменение спина. Это изменение приводит как к повороту спина (прецессии), так и к изменению модуля вектора .
Обратим внимание на то, что уравнение () отличается от уравнения (), стр.\pageref{main}, описывающего поворот "жёсткого" стержня при криволинейном движении. Поэтому повороты стержня и спина различны.
Уравнению () можно придать ковариантную форму:
|
(EQN)
|
где — 4-скорость, а — 4-ускорение (стр. \pageref{acsel_4vec}):
|
(EQN)
|
и — собственное время системы . Действительно, свёртка 4-ускорения и 4-спина равна:
Дифференциальное уравнение () называется уравнением переноса Ферми. Оно может быть получено из следующих соображений. Пусть изменение спина в ковариантной форме может зависеть только от 4-скорости, 4-ускорения и 4-спина. Тогда из соображений ковариантности:
|
(EQN)
|
где , , — некоторые коэффициенты. Будем считать, что в мгновенно сопутствующей инерциальной системе, в которой частица покоится (, , ) изменение спина нулевое , т.е. спин переносится параллельно своему предыдущему положению. В этом случае несложно видеть, что . Продифференцируем теперь условие ортогональности 4-спина и 4-скорости :
где учтено, что квадрат 4-скорости равен единицы (). Находя из этого уравнения и подставляя в (), мы приходим к уравнению ().
При переносе Ферми, в cилу , остаётся без изменений квадрат 4-вектора спина: , хотя квадрат 3-вектора спина изменяется, если спин не ортогонален скорости или ускорению.
Отметим также уравнение, описывающее изменение модифицированного спина относительно лабораторной системы отсчёта.
|
(EQN)
|
Модифицированный спин равен чистой разности полного момента импулься и момента импульса центра энергии: .
При равноускоренном движении (стр. \pageref{lorenz_v}) из состояния покоя интегрирование уравнения прецессии () приводит к следующей зависимости продольной к скорости компоненты спина от времени:
|
(EQN)
|
где — начальное значение спина в системе, в которой его суммарный импульс был равен нулю. Это же соотношение следует также из преобразования (). Таким образом, продольная компонента спина увеличивается при ускорении гироскопа, а поперечная компонента остаётся без изменений. На самом деле зависимость () получается не только при равноускоренном движении, но и при любом движении вдоль прямой, для которого уравнение () имеет вид:
Его интегрирование приводит к ().
Можно рассмотреть равномерное движение центра энергии гироскопа по окружности. В этом случае поворот стержня и прецессия спина ведут себя схожим образом. При малых скоростях при каждом обороте по окружности спин, как и стержень, поворачивается на небольшой угол, равный \cite{Stepsnov_Thomas}.
Аналогично спину получается уравнение, описывающее изменение полного момента импульса гироскопа, записанное относительно неподвижной (лабораторной) системы отсчёта. Так как проекции вектора являются компонентами 4-тензора, его трансформационные свойства отличаются от свойств спина. Поэтому результирующее уравнение также отличается от () и имеет вид:
Если ускоренное движение происходит вдоль прямой (векторы и параллельны), изменение компонент момента импульса совпадает с соответствующими преобразованиями Лоренца для мгновенно сопутствующей гироскопу инерциальной системы отсчёта.
Отметим, что исходная формула Томаса для прецессии спина отличалась от уравнения (). Это было связано с тем, что Томас учёл только вигнеровское вращение, которое мы рассмотрим в 5-й главе. Однако это не единственный эффект, приводящий к прецессии векторов, связанных с неинерциальной системой отсчёта \cite{Stepsnov_Thomas}.
Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии