Нелокальность законов сохранения

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Ускоренное движение гироскопа << Оглавление (Глава 3) >> Равноускоренная система отсчёта

В теории относительности сохранение момента импульса совокупности частиц в одной инерциальной системе отсчёта в общем случае не влечёт за собой его сохранения в других инерциальных системах. Для составных систем преобразования (), (), стр.\pageref{moment_R_L_R}, являются лишь первым приближением. Этот факт, по-видимому, первым отметил В.А. Фок \cite{Fock}. Действительно, постоянство момента импульса (и других сохраняющихся величин) в данной системе отсчёта выражается в терминах, синхронизированных во всём пространстве часов. Для системы частиц, находящихся в различных точках пространства, одновременные события в одной системе будут неодновременными в другой.

Чтобы получить преобразования Лоренца для момента импульса совокупности частиц (например, составляющих вращающийся гироскоп), необходимо просуммировать преобразования (), () по всем частицам. Величины, находящиеся в правой части, соответствуют времени . Их сумма даст момент импульса и центр энергии в момент времени . Однако, если фиксировано, в левой части суммируемые величины и относятся к различным моментам времени. Для -той частицы в силу преобразований Лоренца (), стр.\pageref{lorenz_vec0}, имеем:

Так как положения частиц вращающегося тела различны, то различными будут и времена . Поэтому такая сумма не равна суммарному моменту импульса в момент времени :

Аналогично можно зафиксировать время в левой части суммарных преобразований. Тогда слагаемые в правой части будут относиться к различным моментам времени.

В результате преобразования для суммарных величин выглядят существенно более сложными, чем уравнения (), (). Последние справедливы для одиночной частицы или как первое приближение по угловой скорости вращения. В общем случае оказывается, что, хотя и постоянны в системе , они будут изменяться со временем в системе . Естественно, это относится не только к моменту импульса.

Во избежание недоразумений, подчеркнём, что речь идёт о механическом моменте, определённом как . Его несохранение не означает, что нельзя построить некоторую величину (включающую в себя ), которая будет постоянна во всех инерциальных системах отсчёта.

Рассмотрим для примера два массивных шарика, соединённых лёгким стержнем. Пусть в системе такая гантелька вращается с угловой скоростью в плоскости . Центр вращения совпадает с центром масс и началом системы отсчёта. Траектория одного шарика равна

(EQN)

где , , — константы. Второй шарик получается заменой или . Модули скорости шариков одинаковы и равны . Момент импульса гантельки, перпендикулярный плоскости , равен:

(EQN)

где — суммарная масса шариков.

Найдём, как выглядит эта же гантелька для неподвижных наблюдателей в системе , относительно которой движется со скоростью вдоль оси . Подставим в траекторию () преобразования Лоренца:

(EQN)

Введём координату относительно начала системы отсчёта :

(EQN)

где — круговая частота в системе . Первое трансцендентное уравнение позволяет найти . Второе уравнение даёт .

Ниже на рисунке изображены положения шариков и стержня в различные моменты времени. При вращении стержень изгибается, что связано с относительностью одновременности.


Momentum.png

Когда в системе стержень расположен вертикально, то оба шарика находятся на оси . Эти два события имеют одинаковые координаты , поэтому будут одновременны и для наблюдателей в . Поэтому в этот момент вид стержня в обоих системах отсчёта совпадает. Иначе выглядит ситуация, когда в системе стержень занимает горизонтальное положение и шарики пересекают ось . Эти события будут неодновременны в системе , где правый шарик ось ещё не пересёк, а левый это уже сделал.

Дифференцируя (), получаем скорость шарика:

для которой фактор Лоренца равен:

где . При помощи вектора можно в суммарном моменте импульса относительно начала координат системы выделить момент относительно мгновенного положения начала системы , который мы будем помечать тильдой:

(EQN)

где "мгновенный" момент и суммарный импульс равны:

Вектор направлен вдоль оси и имеет длину:

(EQN)

где — момент вращения () в системе . Слагаемое соответствует преобразованию момента в соответствии с соотношением (), не учитывающим относительность одновременности для распределённой системы. Аналогично при помощи можно разделить на две части вектор :

(EQN)

где — суммарная энергия движения. Последний член будем помечать тильдой. Его отношение к даёт радиус-вектор центра энергии относительно мгновенного положения системы . Компоненты суммарного вектора имеют вид:

(EQN)

Запишем также выражения для суммарной энергии и импульса:

(EQN)

Для гантельки в этих соотношениях суммы содержат по два слагаемых для каждого из шариков.

Ниже на рисунке представлена зависимость от времени мгновенного момента импульса и траектория на плоскости мгновенного центра энергии относительно начала системы и суммарного импульса. При этом , , . Время изменяется от 0 до .


L osc.png

Колебания момента импульса в неподвижной системе отсчёта связаны с быстрым вращением шариков в системе . Раскладывая косинус в уравнении () в ряд по , а затем в ряд по , имеем:

где , . При суммировании в () нечётные степени сокращаются, так как для одного шарика будет "", а для второго — "". Поэтому момент в этом приближении постоянен:

Поправка к результату преобразования () совершает осцилляторные колебания с частотой . Центр энергии относительно начала системы в ведущем приближении совпадает с результатом преобразования ():

Суммарная энергия движения в системе зависит от времени следующим образом:

а суммарный импульс не равен :

что приводит не только к колебаниям вектора вслед за центром энергии, но и к увеличению его длины со временем (). Все эти эффекты проявляются только при быстром вращении, когда параметр велик. При малых справедливы преобразования (),().

Полученные соотношения для гантельки позволяют найти суммарные величины, характеризующие вращающееся кольцо или диск. Пусть кольцо состоит из множества "гантелек", равномерно заполняющих плоскость кольца в системе . В системе внешний вид этого диска в любой момент времени изображён на рисунке 20.


Rot disk.png

Внешний вид кольца не меняется со временем, и всегда наблюдается сгущение масс в нижней части кольца в направлении векторного произведения , где момент импульса перпендикулярен рисунку.

Уравнения () для определения и трансцендентны:

где . При суммировании вклада каждого шарика необходимо перейти к интегрированию по углу ("усреднению"):

(EQN)

Можно показать[Thomas], что для нечётных степеней средние равны нулю:

а ненулевые значения имеют вид:

При помощи этих соотношений несложно найти момент импульса и центр энергии летящего в системе вращающегося кольца. Все суммы в соотношениях (), (), () заменяются на интеграл по углу .

Суммарная масса кольца должна равняться , так что:

Суммарная энергия и импульс кольца равны:

В отличие от гантельки, они не зависят от времени. Однако релятивистская связь для суммарных величин не выполняется.

Усредняя (), приходим к выводу, что суммарный момент импульса совпадает с результатом преобразований ():

Момент вращения симметричного кольца будет постоянным в обеих системах отсчёта. Это же будет справедливо и для диска, ось вращения которого перпендикулярна относительной скорости. Заметим, что этот результат справедлив, только когда угловая скорость вращения перпендикулярна скорости . В общем же случае момент импульса линейно увеличивается со временем \cite{Stepsnov_Thomas}. При этом член, зависящий от времени, имеет второй порядок малости по угловой скорости вращения кольца.

Вектор соответствует преобразованию (), а исходный вектор без тильды линейно растёт со временем:

Изменение вектора со временем связано с тем, что суммарный импульс не равен суммарной энергии, умноженной на скорость: . В результате, хотя центр энергии относительно начала системы постоянен, вектор , в силу (), будет линейно увеличиваться со временем.

Тем не менее при малых угловых скоростях с точностью до первого порядка малости по можно считать, что векторы и имеют постоянные компоненты. В этом приближении эффект относительности одновременности можно не учитывать и пользоваться преобразованиями (), () и для суммарных величин. В рамках этого приближения найдём уравнение, описывающее изменение момента импульса вращающегося гироскопа, если он изменяет свою скорость поступательного движения.


Ускоренное движение гироскопа << Оглавление (Глава 3) >> Равноускоренная система отсчёта

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии