Ускоренное движение гироскопа

Момент импульса и спин <<	Оглавление (Глава 3)	>> Нелокальность законов сохранения

---

Во второй главе (стр. \pageref{prec_line_sec}) мы рассмотрели ускоренное движение стержня, который при изменении своей скорости перемещается параллельно своему предыдущему положению с точки зрения наблюдателей в мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчёта. В релятивистской теории такой стержень при движении поворачивается относительно наблюдателей в неподвижной (лабораторной) системе отсчёта.

Аналогичный эффект возникает и со спином вращающейся системы. Пусть на гироскоп действует сила, изменяющая его скорость, но при этом отсутствует момент силы. В классической механике собственный момент вращения при этом должен остаться без изменения (хотя, возможно, изменится полный момент за счёт "орбитального движения"). В теории относительности в таких условиях собственный момент вращения (спин) в общем случае изменяется (прецессирует).

Введём три системы отсчёта $\textstyle K$, $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$. Пусть скорость системы $\textstyle K'$ относительно $\textstyle K$ равна $\textstyle \mathbf {v}$, а скорость системы $\textstyle K''$ относительно $\textstyle K'$ равна $\textstyle d\mathbf {v} '$. Соответственно, скорость $\textstyle K''$ относительно $\textstyle K$ равна $\textstyle \mathbf {v} +d\mathbf {v}$. Эти скорости связаны при помощи закона сложения скоростей (), стр.\pageref{transf_u_vec0}:

$d\mathbf {v} '={\frac {({\mathbf {v} }+d\mathbf {v} )-\gamma {\mathbf {v} }+\Gamma \,{\mathbf {v} }\,({\mathbf {v} }({\mathbf {v} }+d\mathbf {v} ))}{\gamma \,(1-{\mathbf {v} }({\mathbf {v} }+d\mathbf {v} ))}}\approx \gamma d\mathbf {v} +{\frac {\gamma ^{3}\mathbf {v} (\mathbf {v} d\mathbf {v} )}{\gamma +1}},$

(EQN)

где приближённое равенство записано с точностью до первого порядка малости по $\textstyle d\mathbf {v}$.

Последующие рассуждения будут справедливы для любого 4-вектора $\textstyle S^{\alpha }$, ортогонального в 4-пространстве к 4-скорости $\textstyle U^{\alpha }=\{\gamma _{u},\,\mathbf {u} \gamma _{u}\}$:

$\mathrm {U} \cdot \mathrm {S} =U^{0}S^{0}-\mathbf {U} \mathbf {S} =0.$

(EQN)

Из этого соотношения следует, что $\textstyle S^{0}=\mathbf {u} \mathbf {S}$. Запишем преобразования для 3-вектора спина (заменяя в () $\textstyle t\mapsto \mathbf {u} \mathbf {S}$ и $\textstyle \mathbf {r} \mapsto \mathbf {S}$):

$\mathbf {S} '=\mathbf {S} -\gamma \mathbf {v} (\mathbf {u} \mathbf {S} )+\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {S} ).$

(EQN)

Обратное преобразование получается заменой скорости $\textstyle \mathbf {v} \mapsto -\mathbf {v}$:

$\mathbf {S} =\mathbf {S} '+\gamma \mathbf {v} (\mathbf {u} '\mathbf {S} ')+\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {S} '),$

(EQN)

так как в любой системе отсчёта $\textstyle S^{0}=\mathbf {u} \mathbf {S}$.

Если гироскоп неподвижен ($\textstyle \mathbf {u} '=0$) относительно системы $\textstyle K'$, то:

$\mathbf {S} =\mathbf {S} '+\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {S} ').$

(EQN)

Обратное преобразование получается из соотношения () после подстановки $\textstyle \mathbf {u} =\mathbf {v}$:

$\mathbf {S} '=\mathbf {S} -{\frac {\gamma }{\gamma +1}}\,\mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {S} ).$

(EQN)

Применим преобразование () между системами $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$. Пусть в системе $\textstyle K''$ находится неподвижный (но вращающийся) гироскоп со спином $\textstyle \mathbf {S} ''$. В этом случае в преобразовании () необходимо добавить всем величинам штрих и заменить $\textstyle \mathbf {v} \mapsto d\mathbf {v} '$. В результате в первом приближении по $\textstyle d\mathbf {v} '$ спин остаётся в системе $\textstyle K'$ без изменений: $\textstyle \mathbf {S} '=\mathbf {S} ''.$

Рассмотрим теперь "точно такой же" гироскоп, неподвижный в системе $\textstyle K'$ со спином $\textstyle \mathbf {S} '$ (см. выше рисунок). Когда начала систем $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ совпадают, аналогично стержням (стр. \pageref{prec_line_sec}) "совпадают" и гироскопы. Поэтому будем считать, что гироскоп системы $\textstyle K''$ получается при изменении на $\textstyle d\mathbf {v} '$ скорости гироскопа системы $\textstyle K'$. Спин гироскопа $\textstyle K''$ в соответствии с () относительно $\textstyle K$ равен:

$\mathbf {S} =\mathbf {S} '+\gamma \mathbf {v} (\mathbf {S} 'd\mathbf {v} ')+\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {S} ').$

(EQN)

Это выражение даёт значение спина гироскопа в момент времени $\textstyle t+dt$ после изменения им скорости на $\textstyle d\mathbf {v} '$ относительно системы $\textstyle K'$. Вычитая из него значение спина () в момент времени $\textstyle t$, получаем:

$d\mathbf {S} =\gamma \mathbf {v} (\mathbf {S} 'd\mathbf {v} ')=\gamma ^{2}\mathbf {v} (\mathbf {S} d\mathbf {v} ),$

(EQN)

где во втором равенстве $\textstyle d\mathbf {v} '$ выражено через $\textstyle d\mathbf {v}$ при помощи (), а вместо $\textstyle \mathbf {S} '$ подставлено выражение ().

Вводя вектор 3-мерного ускорения $\textstyle \mathbf {a} =d\mathbf {v} /dt$, окончательно получаем:

${\frac {d\mathbf {S} }{dt}}=\gamma ^{2}\mathbf {v} \,(\mathbf {a} \mathbf {S} ).$

(EQN)

Если ускорение $\textstyle \mathbf {a}$ остаётся перпендикулярным вектору спина ($\textstyle \mathbf {a} \mathbf {S} =0$), то спин при таком движении не изменяется. В остальных случаях при ускоренном движении происходит изменение спина. Это изменение приводит как к повороту спина (прецессии), так и к изменению модуля вектора $\textstyle \mathbf {S}$.

Обратим внимание на то, что уравнение () отличается от уравнения (), стр.\pageref{main}, описывающего поворот "жёсткого" стержня при криволинейном движении. Поэтому повороты стержня и спина различны.

$\textstyle \bullet$ Уравнению () можно придать ковариантную форму:

${\frac {dS^{\alpha }}{d\tau }}=-V^{\alpha }A^{\beta }S_{\beta },$

(EQN)

где $\textstyle V^{\alpha }=\{\gamma ,\mathbf {v} \gamma \}$ — 4-скорость, а $\textstyle A^{\alpha }$ — 4-ускорение (стр. \pageref{acsel_4vec}):

$A^{\alpha }={\frac {dV^{\alpha }}{d\tau }}=\gamma \,{\frac {d}{dt}}\{\gamma ,\;\mathbf {v} \gamma \}=\{\gamma ^{4}\,(\mathbf {v} \mathbf {a} ),\;\gamma ^{2}\,\mathbf {a} +\gamma ^{4}\,\mathbf {v} \,(\mathbf {v} \mathbf {a} )\}$

(EQN)

и $\textstyle d\tau ={\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}\,dt$ — собственное время системы $\textstyle K'$. Действительно, свёртка 4-ускорения и 4-спина равна:

$A^{\beta }S_{\beta }=A^{0}S^{0}-\mathbf {A} \mathbf {S} =\gamma ^{4}\,(\mathbf {v} \mathbf {a} )\,(\mathbf {v} \mathbf {S} )-\gamma ^{2}\,(\mathbf {a} \mathbf {S} )-\gamma ^{4}\,(\mathbf {v} \mathbf {S} )\,(\mathbf {v} \mathbf {a} )=-\gamma ^{2}\,(\mathbf {a} \mathbf {S} ).$

Дифференциальное уравнение () называется уравнением переноса Ферми. Оно может быть получено из следующих соображений. Пусть изменение спина в ковариантной форме может зависеть только от 4-скорости, 4-ускорения и 4-спина. Тогда из соображений ковариантности:

${\frac {d\mathrm {S} }{d\tau }}=\lambda \,\mathrm {V} +\sigma \,\mathrm {A} +\kappa \,\mathrm {S} ,$

(EQN)

где $\textstyle \lambda$, $\textstyle \sigma$ $\textstyle \kappa$, — некоторые коэффициенты. Будем считать, что в мгновенно сопутствующей инерциальной системе, в которой частица покоится ($\textstyle \mathrm {V} =\{1,\mathbf {0} \}$, $\textstyle \mathrm {A} =\{0,\mathbf {a} \}$, $\textstyle \mathrm {S} =\{0,\mathbf {S} \}$) изменение спина нулевое $\textstyle (d\mathbf {S} /dt=0)$, т.е. спин переносится параллельно своему предыдущему положению. В этом случае несложно видеть, что $\textstyle \sigma =\kappa =0$. Продифференцируем теперь условие ортогональности 4-спина и 4-скорости $\textstyle \mathrm {S\cdot V} =0$:

${\frac {d(\mathrm {S\cdot V} )}{d\tau }}={\frac {d\mathrm {S} }{d\tau }}\cdot \mathrm {V} +\mathrm {S} \cdot {\frac {d\mathrm {V} }{d\tau }}=\lambda +\mathrm {S} \cdot {\frac {d\mathrm {V} }{d\tau }}=0,$

где учтено, что квадрат 4-скорости равен единицы ($\textstyle \mathrm {V} ^{2}=1$). Находя из этого уравнения $\textstyle \lambda$ и подставляя в (), мы приходим к уравнению ().

При переносе Ферми, в cилу $\textstyle \mathrm {V} \cdot \mathrm {S} =0$, остаётся без изменений квадрат 4-вектора спина: $\textstyle \mathrm {S} ^{2}=const$, хотя квадрат 3-вектора спина $\textstyle \mathbf {S} ^{2}$ изменяется, если спин не ортогонален скорости или ускорению.

Отметим также уравнение, описывающее изменение модифицированного спина $\textstyle {\tilde {\mathbf {S} }}=\mathbf {S} M/{\mathcal {E}}=\mathbf {S} /\gamma$ относительно лабораторной системы отсчёта.

${\frac {d{\tilde {\mathbf {S} }}}{dt}}=\gamma ^{2}\,[\mathbf {a} \times [\mathbf {v} \times {\tilde {\mathbf {S} }}].$

(EQN)

Модифицированный спин равен чистой разности полного момента импулься и момента импульса центра энергии: $\textstyle {\tilde {\mathbf {S} }}=\mathbf {L} -\mathbf {R} \times \mathbf {P}$.

При равноускоренном движении (стр. \pageref{lorenz_v}) из состояния покоя интегрирование уравнения прецессии () приводит к следующей зависимости продольной к скорости компоненты спина от времени:

$S_{x}(t)={\frac {S_{x0}}{\sqrt {1-v^{2}(t)}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;S_{y}(t)=S_{y0},$

(EQN)

где $\textstyle S_{x0}=S_{x}(0)$ — начальное значение спина в системе, в которой его суммарный импульс был равен нулю. Это же соотношение следует также из преобразования (). Таким образом, продольная компонента спина увеличивается при ускорении гироскопа, а поперечная компонента остаётся без изменений. На самом деле зависимость () получается не только при равноускоренном движении, но и при любом движении вдоль прямой, для которого уравнение () имеет вид:

${\frac {dS_{x}}{S_{x}}}={\frac {va\,dt}{1-v^{2}(t)}}=-{\frac {1}{2}}\,d{\bigl [}\ln(1-v^{2}(t)){\bigr ]}.$

Его интегрирование приводит к ().

Можно рассмотреть равномерное движение центра энергии гироскопа по окружности. В этом случае поворот стержня и прецессия спина ведут себя схожим образом. При малых скоростях $\textstyle v$ при каждом обороте по окружности спин, как и стержень, поворачивается на небольшой угол, равный $\textstyle \pi v^{2}$ \cite{Stepsnov_Thomas}.

Аналогично спину получается уравнение, описывающее изменение полного момента импульса $\textstyle \mathbf {L}$ гироскопа, записанное относительно неподвижной (лабораторной) системы отсчёта. Так как проекции вектора $\textstyle \mathbf {L}$ являются компонентами 4-тензора, его трансформационные свойства отличаются от свойств спина. Поэтому результирующее уравнение также отличается от () и имеет вид:

${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\gamma ^{2}\,\mathbf {v} \times [\mathbf {L} \times \mathbf {a} ].$

Если ускоренное движение происходит вдоль прямой (векторы $\textstyle \mathbf {v}$ и $\textstyle \mathbf {a}$ параллельны), изменение компонент момента импульса совпадает с соответствующими преобразованиями Лоренца для мгновенно сопутствующей гироскопу инерциальной системы отсчёта.

Отметим, что исходная формула Томаса для прецессии спина отличалась от уравнения (). Это было связано с тем, что Томас учёл только вигнеровское вращение, которое мы рассмотрим в 5-й главе. Однако это не единственный эффект, приводящий к прецессии векторов, связанных с неинерциальной системой отсчёта \cite{Stepsnov_Thomas}.

---

Момент импульса и спин <<	Оглавление (Глава 3)	>> Нелокальность законов сохранения

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии