Динамика роста в условиях ограниченности ресурсов описывается при помощи логистического уравнения (стр. \pageref{df_eq_logistic}). Рассмотрим его стохастический аналог с начальным условием :
Прежде чем приступить к анализу задачи, стоит уменьшить число параметров, проведя скейлинговые замены: , . В этих переменных уравнение принимает вид:
где . При масштабировании времени мы воспользовались тем, что . Таким образом, с точностью до размерных преобразований свойства решения определяются единственным параметром . Найдя решение уравнения, мы всегда можем сделать обратное преобразование:
В детерминированном случае () задача имеет простое решение:
В пределе , при любом начальном условии , решение стремится к равновесному значению . Если в этой точке оно находится с самого начала , то решение там и остаётся и не зависит от времени.
Качественно это поведение легко понять. Уравнение имеет две особые точки и . Если разложить в окрестности особой точки в ряд по отклонениям от неё, то уравнение примет вид:
Если , то это точка неустойчивого равновесия. Действительно, при производная будет положительна, и начнёт увеличиваться, удаляясь от . Устойчивое равновесие возможно только, если . Поэтому для логистического уравнения единственной устойчивой точкой является . Именно к ней, в пределе больших времён, и стремится решение.
В стохастическом случае решение найти не так просто. Для анализа асимптотических свойств при воспользуемся
динамическим уравнением для средних (3.3), с и :
Положив производные по времени равными нулю, получаем:
|
(3.13)
|
Как мы видим, стохастичный шум уменьшает численность популяции, которая в детерминированном случае стремится к . Обратим внимание на то, что положительная дисперсия возможна только при . Стационарное уравнение Фоккера-Планка приводит к гамма-распределению:
где . В окрестности максимума гамма - распределение можно приближённо описать гауссианой. Если велико, то максимум сдвигается вправо, и его относительная ширина уменьшается. Асимметрия и эксцесс распределения стремятся к нулю при . Плотность несимметрична (см. стр. \pageref{gamma_density}), поэтому характеристикой значений случайной величины может служить как , так и .
Выберем теперь в динамическом уравнении :
|
(3.14)
|
откуда:
|
(3.15)
|
Обратная функция нелинейна (), и это решение не даёт нам возможности найти . Заметим, что , в силу леммы Ито, удовлетворяет линейному уравнению:
Несмотря на особенность в знаменателе (3.15), при решение не обращается в бесконечность. В этом легко убедиться, разложив экспоненту в ряд при малых . В результате предел решения при имеет вид: Этот результат можно получить сразу из исходного уравнения (3.14), положив .
Поведение решения можно исследовать численными методами. Для этого, при помощи итерационной процедуры (стр. \pageref{process_ito_iter}), генерится большое количество выборочных траекторий. По ним находят среднее , волатильности или плотность вероятности . Детали реализации подобных вычислений на языке ++ мы рассмотрим в девятой главе, а сейчас приведём графики поведения среднего и волатильности процесса.
В качестве начального условия выберем . Слева на рисунках представлены средние значения при различных параметрах (числа возле линий), а справа — волатильности:
Если , то среднее значение стремится к не нулевому уровню . При и среднее, и волатильность стремятся к нулю. Это означает, что при большом стохастическом шуме решение вырождается в константу . Этот результат качественно отличается от детерминированной задачи, где решение всегда стремилось к . Причина подобного поведения состоит в следующем. Снос уравнения имеет точку устойчивого равновесия . Она не даёт процессу при блуждании уходить далеко вверх. В результате происходят колебания вокруг равновесного уровня, в процессе которых, рано или поздно, процесс оказывается в значении . В этот момент снос и волатильность в уравнении обращаются в ноль, и, несмотря на наличие стохастического члена, дальнейшее изменение прекращается, так как .
Значение является точкой неустойчивого равновесия, и малейшее внешнее возмущение может решение с неё столкнуть, в том числе и в область . Поэтому, вообще говоря, логистическое уравнение необходимо дополнить граничным условием в .
Если в качестве начального условия выбрать асимптотическое значение , то при небольших среднее сначала несколько увеличится, а затем начинает асимптотически приближаться к .
Логистическое уравнение имеет устойчивую точку , при которой решение детерминированного уравнения перестаёт изменяться. Для любого стохастического уравнения с небольшой волатильностью также можно изучить поведение решения в окрестности подобной особой точки. Так, в уравнении
разложим в ряд в окрестности , где , а для возьмём "нулевое" приближение:
где штрих — производная по .
Если , то это ни что иное, как уравнение Орнштейна-Уленбека, имеющее при больших следующее решение:
|
(3.16)
|
являющееся стационарным гауссовым процессом с средним и волатильностью .
Для логистического уравнения
поэтому приближённое решение в пределе больших времён в соответствии с формулой (3.16) можно записать в следующем виде:
|
(3.17)
|
где — гауссово случайное число. Асимптотическое значение среднего равно , а дисперсия — . Сравнивая эти значения с точными (3.13), мы видим, что (3.17) — лишь первое приближение по .
К тому же, на самом деле, стационарная плотность вероятности для логистического блуждания - это гамма-распределение. Оно стремится к гауссовому только, когда параметр стохастического шума мал.
Таким образом, использовать решение Орнштейна - Уленбека для нелинейных уравнений, имеющих детерминированное стационарное решение, можно только в предположении малости стохастического воздействия. Тем не менее, подобный способ изучения поведения решения очень полезен, особенно в многомерном случае.
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения