Законы сохранения тесно связаны со существованием различных симметрий. Наличие симметрии означает, что при определённых непрерывных преобразованиях действие (интеграл от лагранжиана) не меняется. Это приводит к тому, что не меняются и уравнения движения. С каждой подобной симметрией связан определённый закон сохранения (Эмми Нётер, 1918 г.)
Пусть существуют непрерывные преобразования координат и полей, зависящие от вещественных параметров :
|
(EQN)
|
которые оставляют инвариантным действие:
|
(EQN)
|
(мы пока не конкретизируем трансформационные свойства поля и для краткости опускаем зависимость от производных ).
Например, "приличная" полевая теория должна быть инвариантна относительно преобразований Лоренца. В частности уравнения поля выглядят одинаковым образом для всех инерциальных наблюдателей. Обратим внимание, что в условии инвариантности (), несмотря на множество штрихов, функция Лагранжа стоит одна и та же в левой и правой части (поэтому уравнения движения не меняются). При этом область интегрирования для различных наблюдателей (до и после преобразования Лоренца) различная:
Выше на первом рисунке изображены функции поля в два момента времени и . Значения этих функций задаются при выводе уравнений Лагранжа (стр.\pageref{lagrang_field}). Область интегрирования , ограниченная "трёхмерными пространствами" в моменты времени и приведена на втором рисунке. Эта же область в другой инерциальной системе будет ограничена наклонными к оси времени гиперплоскостями . В общем случае область интегрирования может быть ограничена двумя произвольно "изогнутыми" пространственно-подобными гиперповерхностями.
Разберём подробнее закон преобразования . Пусть в качестве преобразования 4-координат выступают преобразования Лоренца с параметрами , где — скорость системы отсчёта, а — углы поворота её координатных осей. В этом случае .
Скалярным полем называют функцию, значение которой, по определению, одинаковое во всех системах отсчёта:
Представим, например, что в различных точках пространства "стоят" наблюдатели системы отсчёта с синхронизированными часами. Каждый из них "показывает" всем желающим циферблат своих часов. В результате, во всём пространстве системы задана функция . Она постоянна в данный момент времени для наблюдателей в . Эти циферблаты могут видеть соседние к ним наблюдатели из другой системы , движущиеся со скоростью . В силу преобразований Лоренца . Поэтому, эта же скалярная функция (показания часов в различных точках пространства) будет иметь в системе другую функциональную зависимость от координат и времени . Однако её значение (число в данной точке пространства и времени) в системе будет таким же, как и у , так как это просто положение стрелки на часах системы .
Векторное поле — набор из 4-х функций которые в данной точке 4-пространства имеют различные значения в различных системах отсчёта. Эти значения связаны при помощи преобразований Лоренца. Например, 4-потенциал является векторным полем:
Обратим внимание, что в левой части преобразований аргументы у функций имеют штрихи. Это означает, что поле в обоих системах сравнивается в одной точке пространства, в один и тот же момент времени (фиксированное событие 4-пространства). Хотя событие одно, его описание (координаты, время) для наблюдателей в различных системах отсчёта различно и также связано преобразованиями Лоренца.
Тензорное поле второго ранга — набор из 16 функций (два индекса). Их значения в данной точке пространства-времени для наблюдателей в двух системах отсчёта связаны как произведения двух векторных полей. Например, тензор электромагнитного поля является тензорным полем:
Индексов у тензорного поля может быть естественно больше двух.
Будем считать, что параметризация преобразований () выбрана таким образом, что, при нулевых параметрах получаются тождественные преобразования и (для краткости иногда будем опускать индексы у координат, полей и параметров, если это не приводит к неоднозначности). Разложим в ряд Тейлора по малым преобразование координат и полевых функций:
где отклонения от тождественных преобразований равны (по сумма):
При преобразованиях полей может изменяться как их значение (для векторных и тензорных), так и функциональная зависимость от координат и времени. Разделим эти два изменения и найдём связь между ними. Для этого разложим по малым полное изменение поля:
(во втором равенстве штрих у в опущен, так как мы ограничиваемся первым порядком малости по , а они уже присутствуют в ). С другой стороны , поэтому изменение формы функции (без изменения координат) при малых параметрах ведёт себя следующим образом:
Это функциональное изменение состоит из полного изменения за вычетом трансформации, при изменении только аргументов функции. Обратим внимание на черту , помечающую изменение формы.
В качестве примера рассмотрим описанное ранее скалярное поле, дающее показания часов системы . По определению, его значение не меняется при преобразованиях Лоренца (одинаково во всех системах отсчёта). Поэтому . Однако функциональная форма поля различна в различных системах отсчёта. Так как , то опуская штрих у координат и времени и раскладывая по малому параметру преобразования , имеем:
Поэтому малое функциональное изменение равно . В качестве упражнения предлагается найти (\,H) полное и функциональное изменения векторного 4-потенциала заряда, движущегося с постоянной скоростью (стр.\,\pageref{field_cov_A_move_Q}).
В условии инвариантности () переменная в левой части является обычной "немой" переменной интегрирования и может быть переобозначена любым символом. Поэтому опустим у неё штрих:
|
(EQN)
|
Так как это не замена переменной интегрирования, а только её переобозначение, область интегрирования не изменяется и штрих у неё остался. Мы рассматриваем разложение по параметрам преобразования при котором значения старых координат и новых отличаются незначительно: . Соответственно незначительно отличаются и области интегрирования и . Для произвольной функции координат справедлива следующая формула:
|
(EQN)
|
Для её доказательства поставим в левой части формулы у координат штрихи и сделаем преобразование координат в результате которого область интегрирования изменится. При замене переменных дополнительно появляется множитель якобиана преобразования:
Для бесконечно малого преобразования якобиан (определитель производных старых координат по новым) вычисляется следующим образом:
где для краткости записана матрица для 2-х измерений. Определитель с точностью до первого порядка по равен: . Поэтому
В фигурных скобках проведено разложение функции в ряд Тейлора по . Перемножая скобки, сохраняя первый порядок по , и учитывая формулу производной произведения, получаем (). Штрих в левой части у переменной интегрирования можно опустить.
Таким образом, условие инвариантности действия () с одинаковыми областями интегрирования имеет вид:
|
(EQN)
|
Во втором слагаемом в левой части штрих у снова опущен, так как мы удерживаем первый порядок малости по , а там уже стоит множитель , содержащий . Разложим в ряд по первое слагаемое:
в первом приближении по (по сумма):
Подставляя это разложение в () и заменяя производную при помощи уравнений Лагранжа (), стр.\,\pageref{lagrang_field}, получаем:
Функциональное изменение точно также выглядит и для производных полей . Поэтому , и в предыдущем соотношении первые два слагаемых сворачиваются в одно как производная произведения:
Подставим изменение функциональной формы поля , выраженное через полное изменение поля . Изменение координат и поля запишем при помощи коэффициентов и разложения по параметрам преобразований: и :
Это выражение справедливо для любой области и параметров , поэтому оно будет равно нулю только, если нулю равна подынтегральная функция.
Сформулируем теорему Нётер. Пусть действие (и следовательно уравнения движения) инвариантны относительно преобразований координат и полей , зависящих от параметров . Тогда существует сохраняющихся токов , которые нумеруются при помощи индекса :
|
(EQN)
|
Эти токи удовлетворяют уравнениям непрерывности:
|
(EQN)
|
Коэффициенты и , зависящие от координат и полевых функций, являются частными производными преобразований по параметрам в окрестности тождественного преобразования:
|
(EQN)
|
Уравнение непрерывности, как обычно, означает существование сохраняющейся величины. Расписывая его в яном виде:
и интегрируя по некоторой области 3-мерного пространства, имеем:
где применена теорема Гаусса для перехода от объёмного интеграла к поверхностному. Аналогично закону сохранения заряда, пространственные компоненты сохраняющегося тока имеют смысл некоторого вектора потока, который меняет "заряды" в объёме , при пересечении этим потоком поверхности , окружающей объём.
Если поля на бесконечности убывают, поверхностный интеграл равен нулю и "заряд" во всём пространстве сохраняется:
В общем случае существует разновидностей таких сохраняющихся зарядов, по числу параметров преобразования .
Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии