Пластичность волатильности:Корреляция разностей

Нестационарная статистика <<	Оглавление	>> Выделение гладкой нестационарности

---

Простейший способ устранения относительно гладких нестационарностей во временных рядах - это переход к разностям величин. Если $\textstyle v_{t}$ испытывает локально постоянный снос, то это будет приводить к появлению автокорреляций. Разность двух последовательных величин подобный снос устраняет. Даже, если тренд данных $\textstyle v_{t}$ медленно изменяет своё направление, то в рамках восходящих и нисходящих участков значения разностей меняются незначительно и становятся локально квазистационарными.

Рассмотрим изменение модифицированной амплитуды размаха цены:

$\delta v_{t}=v_{t}-v_{t-1}.$

(EQN)

В качестве данных возьмём ежедневную статистику по фондовому индексу S\&P500 за период 1990-2008 (4791 торговый день) и курса EURUSD (1999-2008, 2495 дня, исключая праздники). Построим сначала автокорреляционные коэффициенты амплитуд ежедневного размаха цены $\textstyle \rho _{s}(v)=cor(v_{t},v_{t-s})$: \includegraphics{pic/sp_delta.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: S\&P500 и EURUSD коррелограммы амплитуд размаха цены} Как обычно, коэффициенты $\textstyle \rho _{s}$ достаточно высокие, однако автокорреляции для индекса S\&P500 более значительны, чем для курса EURUSD, и имеют меньшие колебания.

Перейдём теперь к разностям амплитуд двух соседних дней. Их автокорреляция $\textstyle \rho _{s}(\delta v)$ тут же резко падает: \includegraphics{pic/sp_delta2.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: S\&P500 и EURUSD коррелограммы после перехода к разностям} Отличия разительны. Второй автокорреляционный коэффициент в случае индекса S\&P500 падает в 24 раза, со значения 0.618 до величины 0.026. Для курса EURUSD снижение составляет 17 раз - с 0.449 до 0.027

Пунктирные линии на всех рисунках означают двойную стандартную ошибку, равную $\textstyle 0.03=2/{\sqrt {4791}}$ для индекса S\&P500 и $\textstyle 0.04=2/{\sqrt {2495}}$ для EURUSD.

Наглядно исчезновение корреляционной зависимости можно продемонстрировать на точечных диаграммах связи последовательных значений $\textstyle v_{t}$ и $\textstyle v_{t-s}$.

Ниже на точечных диаграммах явно видны "корреляции" между $\textstyle \{v_{t},v_{t-1}\}$ индекса S\&P500 и их отсутствие для $\textstyle \{\delta v_{t},\delta v_{t-2}\}$: \includegraphics{pic/sp_base_delta.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Точечные диаграммы для S\&P500 до и после перехода к разностям} На рисунке слева точки заполняют область с характерной формой веника, тогда как справа мы имеем симметричное облако с нулевой корреляцией. Похожие результаты обнуления автокорреляционных коэффициентов получаются также для модулей логарифмической доходности $\textstyle |r_{t}|$, и других финансовых инструментов.

Заметим, правда, что для разностей $\textstyle \delta v_{t}$ существует высокая отрицательная автокорреляция со сдвигом в один день $\textstyle \rho _{1}(\delta v)=cor(\delta v_{t},\delta v_{t-1})$. В примере выше она равна -0.49 для S\&P500 и -0.53 для EURUSD. Однако её происхождение связано не со стохастической динамикой волатильности, а с эффектом перекрытия. Поясним это на следующем примере. Предположим, что справедлива простейшая модель:

$v_{t}=\sigma \cdot \theta _{t},$

(EQN)

где $\textstyle \sigma =const$, а $\textstyle \theta _{t}$ - независимые стационарные положительные случайные числа, возникающие по причине ошибок конечности выборки по которой измеряется волатильность. В этом случае изменения $\textstyle \delta v_{t}=\sigma \cdot (\theta _{t}-\theta _{t-1})$ имеют нулевое среднее $\textstyle {\overline {\delta v_{t}}}=0$. Первый автоковариационный коэффициент равен:

$\left\langle \delta v_{t}\cdot \delta v_{t-1}\right\rangle =\sigma ^{2}\left\langle (\theta _{t}-\theta _{t-1})\cdot (\theta _{t-1}-\theta _{t-2})\right\rangle =-\sigma ^{2}\cdot \left[\;{\overline {\theta ^{2}}}-{\overline {\theta }}^{\,2}\;\right]=-\sigma ^{2}\cdot \sigma _{\theta }^{2},$

(EQN)

где $\textstyle \sigma _{\theta }^{2}$ - дисперсия случайных величин $\textstyle \theta$. Среднее квадрата возникает в слагаемом $\textstyle -\left\langle \theta _{t-1}\cdot \theta _{t-1}\right\rangle ={\overline {\theta ^{2}}}$, которое и ответственно за эффект перекрытия. Аналогичным образом получается дисперсия разности $\textstyle \left\langle \delta v_{t}^{2}\right\rangle =2\sigma ^{2}\sigma _{\theta }^{2}$. Поэтому первый автокорреляционный коэффициент в точности равен $\textstyle \rho _{1}(\delta v)=-0.5$, что и наблюдается выше. Корреляции со сдвигами $\textstyle s>1$ будут нулевыми, так как перекрытия уже не возникает.

Тот факт, что для автокорреляций разностей с хорошей степенью точности выполняются соотношения $\textstyle \rho _{1}(\delta v)=-0.5$ и $\textstyle \rho _{s}(\delta v)=0$ при $\textstyle s>1$ свидетельствует в пользу модели (). Однако, если бы параметр $\textstyle \sigma$ был константой, то не возникало бы корреляций между последовательными значениями волатильности $\textstyle \rho _{s}(v)=0$ (в силу независимости $\textstyle \theta _{t}$). Она может возникать, как мы показали выше, в результате плавного изменения величины $\textstyle \sigma$ со временем. Таким образом, фактически $\textstyle \sigma =\sigma (t)$, и является гладкой функцией времени.

Как для окончательного прояснения ситуации с $\textstyle \rho _{1}(\delta v)$, так и для целей дальнейших исследований нам необходима методология выделения гладкой нестационарной составляющей волатильности.

Выделение гладкой нестационарности

Для выделения медленно меняющейся составляющей во временном ряду $\textstyle x_{k}=x(t_{k})$ мы будем использовать фильтр Ходрика-Прескотта (далее HP-фильтр). Гладкая составляющая $\textstyle s_{k}$ ряда находится в результате минимизации квадратов её отклонений от эмпирических данных $\textstyle x_{k}$, одновременно с требованием минимальности кривизны $\textstyle s_{k}$:

$\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-s_{k})^{2}+\lambda \cdot \sum _{k=2}^{n-1}(\nabla ^{2}s_{k})^{2}=min,$

(EQN)

где вторая производная в разностях равна $\textstyle \nabla ^{2}s_{k}=(s_{k+1}-s_{k})-(s_{k}-s_{k-1})$. Степень гладкости $\textstyle s_{k}$ будет тем выше, чем больше параметр $\textstyle \lambda$. Значения $\textstyle \lambda$ варьируются в очень широком диапазоне, поэтому мы будем приводить его десятичный логарифм $\textstyle \nu$, представляя $\textstyle \lambda =10^{\nu }$.

При сглаживании сильно зашумлённых данных всегда присутствует произвол в выборе параметра $\textstyle \lambda$. Если $\textstyle \lambda$ мал, существует опасность обнаружить нестационарность там, где её нет. При слабом сглаживании гладкая составляющая будет повторять любые локальные флуктуации, не имеющие к нестационарности ни какого отношения. С другой стороны, при сильном сглаживании мы рискуем упустить важные детали интересующей нас динамики.

Поэтому нам необходим некоторый статистический критерий степени сглаживания для уменьшения возможного произвола. Как обычно, будем в качестве эталона использовать модель случайного блуждания.

Среднее значение логарифмической доходности равно относительному изменению цены внутри временного лага $\textstyle r_{t}=\ln C_{t}/O_{t}$. Волатильность будем восстанавливать по сглаженному среднему модифицированной амплитуды размаха цены внутри лага $\textstyle \sigma (t)={\overline {(a-|r|/2)}}\cdot {\sqrt {2\pi }}/3$. Говоря о волатильности, всегда подразумеваем волатильность лага (минутную, часовую, дневную и т.д.).

Если число дискретных блужданий цены внутри лага достаточно велико, то, независимо от их распределения, логарифмические доходности $\textstyle r_{t}$ будут нескоррелированными гауссовыми случайными числами. Сгладим их среднее значение $\textstyle {\bar {r}}(t)$ при помощи HP-фильтра с различными параметрами $\textstyle \lambda$ и вычислим типичную величину $\textstyle Err{\bigl [}{\bar {r}}(t){\bigr ]}$ колебаний $\textstyle {\bar {r}}(t)$ вокруг среднего $\textstyle {\bar {r}}$ по всем эмпирическим точкам:

$Err{\bigl [}{\bar {r}}(t){\bigr ]}={\sqrt {\left\langle ({\bar {r}}(t)-{\bar {r}})^{2}\right\rangle }}.$

(EQN)

Аналогично определяется ошибка вычисления сглаженной волатильности лага. Численные эксперименты показывают, что эти ошибки, с хорошей степенью точности, убывают с ростом параметра $\textstyle \lambda$ следующим образом:

$Err{\bigl [}{\bar {r}}(t){\bigr ]}\approx {\frac {0.50\;\sigma }{\lambda ^{1/8}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Err{\bigl [}\sigma (t){\bigr ]}\approx {\frac {0.15\;\sigma }{\lambda ^{1/8}}},$

(EQN)

и практически не зависят от числа эмпирических точек $\textstyle n$. Более того, ошибки не зависят и от типа распределения (в случае дискретной модели лагового блуждания). Малая степень 1/8 объясняет причину необходимости использования широкого диапазона для изменения параметра $\textstyle \lambda$.

Соотношения () задают типичный коридор колебаний сглаженных величин $\textstyle {\bar {r}}(t)$ и $\textstyle \sigma (t)$, которые являются флуктуациями и статистически не значимы в случае постоянства волатильности. Поэтому они будут нашими ориентирами, по крайней мере, на горизонтальных участках $\textstyle \sigma (t)$.

Приведём типичный пример численного моделирования ($\textstyle \sigma =1$, $\textstyle n=1000$) для трёх значений $\textstyle \lambda$ ($\textstyle \nu =\log _{10}\lambda$): \includegraphics{pic/hp_err_av.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Сглаженное среднее гауссового шума} Более жирная линия соответствует $\textstyle \lambda =1000000$ ($\textstyle \nu =6$), а тонкая - $\textstyle \lambda =1000$ ($\textstyle \nu =3$). Сплошные горизонтальные "уровни значимости" определяют двойную ошибку $\textstyle \pm 2Err[{\bar {r}}(t)]$ в случае $\textstyle \nu =6$, а пунктирные - для $\textstyle \nu =3$ и $\textstyle \nu =9$. В отличие от уровней значимости корреляционных коэффициентов, мы имеем гладкую величину $\textstyle {\bar {r}}(t)$, которая может некоторое время "жить" вне заданного ошибкой диапазона. Тем не менее, соотношения () характеризуют значение типичных колебаний сглаженной величины для случайных данных.

Однако в ситуации нестационарности, которая нас, собственно, и интересует, необходимо выдерживать баланс между гладкостью и отсутствием излишнего сглаживания. Так, если $\textstyle \sigma (t)=1+0.5\cdot \sin(2\pi t/T)$, где $\textstyle T$ - общая длительность эксперимента, получаем следующие варианты сглаживания волатильности, оцененной по модифицированной амплитуде размаха: \includegraphics{pic/hp_err_av_si_sin.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Сглаженная волатильность блуждания с $\textstyle \sigma (t)=1+0.5\cdot \sin(2\pi t/T)$} В данном случае оптимальным значением была $\textstyle \nu =6$, так как $\textstyle \nu =3$ испытывает шумящие колебания вокруг истинной волатильности, а $\textstyle \nu =9$ - фактически не "ловит" синусоиду. Однако ситуация сильно ухудшается, если волатильность испытывает скачок. Так, пусть половину из $\textstyle n=1000$ "торговых дней" волатильность была $\textstyle \sigma =1\%$, а вторую половину $\textstyle \sigma =2\%$. Тогда сглаживания с различными $\textstyle \lambda$ дают такие результаты: \includegraphics{pic/hp_err_av_si_step.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Сглаженная волатильность блуждания $\textstyle \sigma (t)$ ступеньки} Видно, что в этом случае $\textstyle \nu =6$ существенно размывает ступеньку. Сглаживание с $\textstyle \nu =3$ размывает скачок волатильности существенно меньше, но зато даёт шумящие и незначимые колебания при постоянстве $\textstyle \sigma$.

Примчания

---

Нестационарная статистика <<	Оглавление	>> Выделение гладкой нестационарности