Логистическое уравнение — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника) | |||
Строка 5: | Строка 5: | ||
|} | |} | ||
---- | ---- | ||
+ | |||
+ | <math>\textstyle \bullet</math> Динамика роста в условиях ограниченности ресурсов описывается при помощи логистического уравнения (стр. \pageref{df_eq_logistic}). Рассмотрим его стохастический аналог с начальным условием <math>\textstyle x_0=x(0)</math>: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>dx = (\alpha x - \beta x^2)\, dt + \sigma \,x\,\delta W.</math></center> | ||
+ | |||
+ | Прежде чем приступить к анализу задачи, стоит уменьшить число параметров, проведя скейлинговые замены: <math>\textstyle t\to t/\alpha</math>, <math>\textstyle x\to x\alpha/\beta</math>. В этих переменных уравнение принимает вид: | ||
:<center><math>dx = x\cdot (1-x)\, dt + \sqrt{2\gamma}\cdot x\,\delta W,</math></center> | :<center><math>dx = x\cdot (1-x)\, dt + \sqrt{2\gamma}\cdot x\,\delta W,</math></center> | ||
Строка 24: | Строка 30: | ||
Если <math>\textstyle a'(x_\infty)>0</math>, то это точка неустойчивого равновесия. Действительно, при <math>\textstyle x>x_\infty</math> производная <math>\textstyle dx/dt</math> будет положительна, и <math>\textstyle x</math> начнёт увеличиваться, удаляясь от <math>\textstyle x_\infty</math>. Устойчивое равновесие возможно только, если <math>\textstyle a'(x_\infty)<0</math>. Поэтому для логистического уравнения единственной устойчивой точкой является <math>\textstyle x_\infty=1</math>. Именно к ней, в пределе больших времён, и стремится решение. | Если <math>\textstyle a'(x_\infty)>0</math>, то это точка неустойчивого равновесия. Действительно, при <math>\textstyle x>x_\infty</math> производная <math>\textstyle dx/dt</math> будет положительна, и <math>\textstyle x</math> начнёт увеличиваться, удаляясь от <math>\textstyle x_\infty</math>. Устойчивое равновесие возможно только, если <math>\textstyle a'(x_\infty)<0</math>. Поэтому для логистического уравнения единственной устойчивой точкой является <math>\textstyle x_\infty=1</math>. Именно к ней, в пределе больших времён, и стремится решение. | ||
− | <math>\textstyle \bullet</math> В стохастическом случае решение найти не так просто. Для анализа асимптотических свойств при <math>\textstyle t\to\infty</math> воспользуемся динамическим уравнением для средних () | + | <math>\textstyle \bullet</math> В стохастическом случае решение найти не так просто. Для анализа асимптотических свойств при <math>\textstyle t\to\infty</math> воспользуемся |
+ | [[Динамическое уравнение для средних|динамическим уравнением для средних (3.3)]], с <math>\textstyle F=\ln x</math> и <math>\textstyle F=x</math>: | ||
:<center><math>\begin{array}{l} \dot{\left\langle \ln x\right\rangle } = 1 - \left\langle x\right\rangle - \gamma \\ \dot{\left\langle x\right\rangle } = \left\langle x\right\rangle - \left\langle x^2\right\rangle .\\ \end{array}</math></center> | :<center><math>\begin{array}{l} \dot{\left\langle \ln x\right\rangle } = 1 - \left\langle x\right\rangle - \gamma \\ \dot{\left\langle x\right\rangle } = \left\langle x\right\rangle - \left\langle x^2\right\rangle .\\ \end{array}</math></center> | ||
Строка 32: | Строка 39: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \left\langle x\right\rangle =1 - \gamma, \;\;\;\;\; \left\langle x^2\right\rangle = \left\langle x\right\rangle , \;\;\;\;\;\sigma^2_x = \gamma \,\left(1-\gamma\right). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \left\langle x\right\rangle =1 - \gamma, \;\;\;\;\; \left\langle x^2\right\rangle = \left\langle x\right\rangle , \;\;\;\;\;\sigma^2_x = \gamma \,\left(1-\gamma\right). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(3.13)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 45: | Строка 52: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \dot{\left\langle x^{-1}\right\rangle } = (2\gamma-1)\left\langle x^{-1}\right\rangle + 1, </math> | | width="90%" align="center"|<math> \dot{\left\langle x^{-1}\right\rangle } = (2\gamma-1)\left\langle x^{-1}\right\rangle + 1, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(3.14)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 52: | Строка 59: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \left\langle x^{-1}\right\rangle = \left[\frac{1}{x_0} + \frac{1}{2\gamma-1}\right]\cdot e^{(2\gamma-1)\,t} \;-\;\frac{1}{2\gamma-1}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \left\langle x^{-1}\right\rangle = \left[\frac{1}{x_0} + \frac{1}{2\gamma-1}\right]\cdot e^{(2\gamma-1)\,t} \;-\;\frac{1}{2\gamma-1}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(3.15)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 59: | Строка 66: | ||
:<center><math>dy = \bigl[1 + (2\gamma-1) y\bigr] \, dt - \sqrt{2\gamma} \,y \,\delta W.</math></center> | :<center><math>dy = \bigl[1 + (2\gamma-1) y\bigr] \, dt - \sqrt{2\gamma} \,y \,\delta W.</math></center> | ||
− | Несмотря на особенность в знаменателе (), при <math>\textstyle \gamma=1/2</math> решение не обращается в бесконечность. В этом легко убедиться, разложив экспоненту в ряд при малых <math>\textstyle 2\gamma-1</math>. В результате предел решения при <math>\textstyle \gamma\to 1/2</math> имеет вид: <math>\textstyle \left\langle x^{-1}\right\rangle = x^{-1}_0 + t. </math> Этот результат можно получить сразу из исходного уравнения (), положив <math>\textstyle \gamma = 1/2</math>. | + | Несмотря на особенность в знаменателе (3.15), при <math>\textstyle \gamma=1/2</math> решение не обращается в бесконечность. В этом легко убедиться, разложив экспоненту в ряд при малых <math>\textstyle 2\gamma-1</math>. В результате предел решения при <math>\textstyle \gamma\to 1/2</math> имеет вид: <math>\textstyle \left\langle x^{-1}\right\rangle = x^{-1}_0 + t. </math> Этот результат можно получить сразу из исходного уравнения (3.14), положив <math>\textstyle \gamma = 1/2</math>. |
<math>\textstyle \bullet</math> Поведение решения можно исследовать численными методами. Для этого, при помощи итерационной процедуры (стр. \pageref{process_ito_iter}), генерится большое количество выборочных траекторий. По ним находят среднее <math>\textstyle \left\langle x\right\rangle </math>, волатильности <math>\textstyle \sigma_x(t)</math> или плотность вероятности <math>\textstyle P(x_0, t_0\Rightarrow x, t)</math>. Детали реализации подобных вычислений на языке <math>\textstyle C</math>++ мы рассмотрим в девятой главе, а сейчас приведём графики поведения среднего и волатильности процесса. | <math>\textstyle \bullet</math> Поведение решения можно исследовать численными методами. Для этого, при помощи итерационной процедуры (стр. \pageref{process_ito_iter}), генерится большое количество выборочных траекторий. По ним находят среднее <math>\textstyle \left\langle x\right\rangle </math>, волатильности <math>\textstyle \sigma_x(t)</math> или плотность вероятности <math>\textstyle P(x_0, t_0\Rightarrow x, t)</math>. Детали реализации подобных вычислений на языке <math>\textstyle C</math>++ мы рассмотрим в девятой главе, а сейчас приведём графики поведения среднего и волатильности процесса. | ||
Строка 87: | Строка 94: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> x(t) \to x_\infty + \frac{b(x_\infty)}{\sqrt{-2a'(x_\infty)}}\cdot \varepsilon, </math> | | width="90%" align="center"|<math> x(t) \to x_\infty + \frac{b(x_\infty)}{\sqrt{-2a'(x_\infty)}}\cdot \varepsilon, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(3.16)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 96: | Строка 103: | ||
:<center><math>x_\infty=1,\;\;\;\;\;\;\;a'(x_\infty)=-1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b(x_\infty)=\sqrt{2\gamma},</math></center> | :<center><math>x_\infty=1,\;\;\;\;\;\;\;a'(x_\infty)=-1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b(x_\infty)=\sqrt{2\gamma},</math></center> | ||
− | поэтому приближённое решение в пределе больших времён <math>\textstyle t\to\infty</math> в соответствии с формулой () можно записать в следующем виде: | + | поэтому приближённое решение в пределе больших времён <math>\textstyle t\to\infty</math> в соответствии с формулой (3.16) можно записать в следующем виде: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> x(t) \to 1 \;+\; \sqrt{\gamma} \cdot \varepsilon, </math> | | width="90%" align="center"|<math> x(t) \to 1 \;+\; \sqrt{\gamma} \cdot \varepsilon, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(3.17)'''</div> |
|} | |} | ||
− | где <math>\textstyle \varepsilon</math> — гауссово случайное число. Асимптотическое значение среднего равно <math>\textstyle 1</math>, а дисперсия — <math>\textstyle \gamma</math>. Сравнивая эти значения с точными (), мы видим, что () — лишь первое приближение по <math>\textstyle \gamma</math>. | + | где <math>\textstyle \varepsilon</math> — гауссово случайное число. Асимптотическое значение среднего равно <math>\textstyle 1</math>, а дисперсия — <math>\textstyle \gamma</math>. Сравнивая эти значения с точными (3.13), мы видим, что (3.17) — лишь первое приближение по <math>\textstyle \gamma</math>. |
К тому же, на самом деле, стационарная плотность вероятности для логистического блуждания - это гамма-распределение. Оно стремится к гауссовому только, когда параметр стохастического шума <math>\textstyle \gamma</math> мал. | К тому же, на самом деле, стационарная плотность вероятности для логистического блуждания - это гамма-распределение. Оно стремится к гауссовому только, когда параметр стохастического шума <math>\textstyle \gamma</math> мал. | ||
Таким образом, использовать решение Орнштейна - Уленбека для нелинейных уравнений, имеющих детерминированное стационарное решение, можно только в предположении малости стохастического воздействия. Тем не менее, подобный способ изучения поведения решения очень полезен, особенно в многомерном случае. | Таким образом, использовать решение Орнштейна - Уленбека для нелинейных уравнений, имеющих детерминированное стационарное решение, можно только в предположении малости стохастического воздействия. Тем не менее, подобный способ изучения поведения решения очень полезен, особенно в многомерном случае. | ||
− | |||
---- | ---- |
Текущая версия на 17:58, 15 марта 2010
Процесс Феллера << | Оглавление | >> Степенные ряды для средних |
---|
Динамика роста в условиях ограниченности ресурсов описывается при помощи логистического уравнения (стр. \pageref{df_eq_logistic}). Рассмотрим его стохастический аналог с начальным условием :
Прежде чем приступить к анализу задачи, стоит уменьшить число параметров, проведя скейлинговые замены: , . В этих переменных уравнение принимает вид:
где . При масштабировании времени мы воспользовались тем, что . Таким образом, с точностью до размерных преобразований свойства решения определяются единственным параметром . Найдя решение уравнения, мы всегда можем сделать обратное преобразование:
В детерминированном случае () задача имеет простое решение:
В пределе , при любом начальном условии , решение стремится к равновесному значению . Если в этой точке оно находится с самого начала , то решение там и остаётся и не зависит от времени.
Качественно это поведение легко понять. Уравнение имеет две особые точки и . Если разложить в окрестности особой точки в ряд по отклонениям от неё, то уравнение примет вид:
Если , то это точка неустойчивого равновесия. Действительно, при производная будет положительна, и начнёт увеличиваться, удаляясь от . Устойчивое равновесие возможно только, если . Поэтому для логистического уравнения единственной устойчивой точкой является . Именно к ней, в пределе больших времён, и стремится решение.
В стохастическом случае решение найти не так просто. Для анализа асимптотических свойств при воспользуемся динамическим уравнением для средних (3.3), с и :
Положив производные по времени равными нулю, получаем:
(3.13)
|
Как мы видим, стохастичный шум уменьшает численность популяции, которая в детерминированном случае стремится к . Обратим внимание на то, что положительная дисперсия возможна только при . Стационарное уравнение Фоккера-Планка приводит к гамма-распределению:
где . В окрестности максимума гамма - распределение можно приближённо описать гауссианой. Если велико, то максимум сдвигается вправо, и его относительная ширина уменьшается. Асимметрия и эксцесс распределения стремятся к нулю при . Плотность несимметрична (см. стр. \pageref{gamma_density}), поэтому характеристикой значений случайной величины может служить как , так и .
Выберем теперь в динамическом уравнении :
(3.14)
|
откуда:
(3.15)
|
Обратная функция нелинейна (), и это решение не даёт нам возможности найти . Заметим, что , в силу леммы Ито, удовлетворяет линейному уравнению:
Несмотря на особенность в знаменателе (3.15), при решение не обращается в бесконечность. В этом легко убедиться, разложив экспоненту в ряд при малых . В результате предел решения при имеет вид: Этот результат можно получить сразу из исходного уравнения (3.14), положив .
Поведение решения можно исследовать численными методами. Для этого, при помощи итерационной процедуры (стр. \pageref{process_ito_iter}), генерится большое количество выборочных траекторий. По ним находят среднее , волатильности или плотность вероятности . Детали реализации подобных вычислений на языке ++ мы рассмотрим в девятой главе, а сейчас приведём графики поведения среднего и волатильности процесса.
В качестве начального условия выберем . Слева на рисунках представлены средние значения при различных параметрах (числа возле линий), а справа — волатильности:

Если , то среднее значение стремится к не нулевому уровню . При и среднее, и волатильность стремятся к нулю. Это означает, что при большом стохастическом шуме решение вырождается в константу . Этот результат качественно отличается от детерминированной задачи, где решение всегда стремилось к . Причина подобного поведения состоит в следующем. Снос уравнения имеет точку устойчивого равновесия . Она не даёт процессу при блуждании уходить далеко вверх. В результате происходят колебания вокруг равновесного уровня, в процессе которых, рано или поздно, процесс оказывается в значении . В этот момент снос и волатильность в уравнении обращаются в ноль, и, несмотря на наличие стохастического члена, дальнейшее изменение прекращается, так как .
Значение является точкой неустойчивого равновесия, и малейшее внешнее возмущение может решение с неё столкнуть, в том числе и в область . Поэтому, вообще говоря, логистическое уравнение необходимо дополнить граничным условием в .
Если в качестве начального условия выбрать асимптотическое значение , то при небольших среднее сначала несколько увеличится, а затем начинает асимптотически приближаться к .
Логистическое уравнение имеет устойчивую точку , при которой решение детерминированного уравнения перестаёт изменяться. Для любого стохастического уравнения с небольшой волатильностью также можно изучить поведение решения в окрестности подобной особой точки. Так, в уравнении
разложим в ряд в окрестности , где , а для возьмём "нулевое" приближение:
где штрих — производная по .
Если , то это ни что иное, как уравнение Орнштейна-Уленбека, имеющее при больших следующее решение:
(3.16)
|
являющееся стационарным гауссовым процессом с средним и волатильностью .
Для логистического уравнения
поэтому приближённое решение в пределе больших времён в соответствии с формулой (3.16) можно записать в следующем виде:
(3.17)
|
где — гауссово случайное число. Асимптотическое значение среднего равно , а дисперсия — . Сравнивая эти значения с точными (3.13), мы видим, что (3.17) — лишь первое приближение по .
К тому же, на самом деле, стационарная плотность вероятности для логистического блуждания - это гамма-распределение. Оно стремится к гауссовому только, когда параметр стохастического шума мал.
Таким образом, использовать решение Орнштейна - Уленбека для нелинейных уравнений, имеющих детерминированное стационарное решение, можно только в предположении малости стохастического воздействия. Тем не менее, подобный способ изучения поведения решения очень полезен, особенно в многомерном случае.
Процесс Феллера << | Оглавление | >> Степенные ряды для средних |
---|
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения