Пластичность волатильности:Выделение гладкой нестационарности

Корреляция разностей <<	Оглавление	>> Автокорреляция остатков

---

Для выделения медленно меняющейся составляющей во временном ряду $\textstyle x_{k}=x(t_{k})$ мы будем использовать фильтр Ходрика-Прескотта (далее HP-фильтр). Гладкая составляющая $\textstyle s_{k}$ ряда находится в результате минимизации квадратов её отклонений от эмпирических данных $\textstyle x_{k}$, одновременно с требованием минимальности кривизны $\textstyle s_{k}$:

$\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-s_{k})^{2}+\lambda \cdot \sum _{k=2}^{n-1}(\nabla ^{2}s_{k})^{2}=min,$

(19)

где вторая производная в разностях равна $\textstyle \nabla ^{2}s_{k}=(s_{k+1}-s_{k})-(s_{k}-s_{k-1})$. Степень гладкости $\textstyle s_{k}$ будет тем выше, чем больше параметр $\textstyle \lambda$. Значения $\textstyle \lambda$ варьируются в очень широком диапазоне, поэтому мы будем приводить его десятичный логарифм $\textstyle \nu$, представляя $\textstyle \lambda =10^{\nu }$.

При сглаживании сильно зашумлённых данных всегда присутствует произвол в выборе параметра $\textstyle \lambda$. Если $\textstyle \lambda$ мал, существует опасность обнаружить нестационарность там, где её нет. При слабом сглаживании гладкая составляющая будет повторять любые локальные флуктуации, не имеющие к нестационарности ни какого отношения. С другой стороны, при сильном сглаживании мы рискуем упустить важные детали интересующей нас динамики.

Поэтому нам необходим некоторый статистический критерий степени сглаживания для уменьшения возможного произвола. Как обычно, будем в качестве эталона использовать модель случайного блуждания.

Среднее значение логарифмической доходности равно относительному изменению цены внутри временного лага $\textstyle r_{t}=\ln C_{t}/O_{t}$. Волатильность будем восстанавливать по сглаженному среднему модифицированной амплитуды размаха цены внутри лага $\textstyle \sigma (t)={\overline {(a-|r|/2)}}\cdot {\sqrt {2\pi }}/3$. Говоря о волатильности, всегда подразумеваем волатильность лага (минутную, часовую, дневную и т.д.).

Если число дискретных блужданий цены внутри лага достаточно велико, то, независимо от их распределения, логарифмические доходности $\textstyle r_{t}$ будут нескоррелированными гауссовыми случайными числами. Сгладим их среднее значение $\textstyle {\bar {r}}(t)$ при помощи HP-фильтра с различными параметрами $\textstyle \lambda$ и вычислим типичную величину $\textstyle Err{\bigl [}{\bar {r}}(t){\bigr ]}$ колебаний $\textstyle {\bar {r}}(t)$ вокруг среднего $\textstyle {\bar {r}}$ по всем эмпирическим точкам:

$Err{\bigl [}{\bar {r}}(t){\bigr ]}={\sqrt {\left\langle ({\bar {r}}(t)-{\bar {r}})^{2}\right\rangle }}.$

(20)

Аналогично определяется ошибка вычисления сглаженной волатильности лага. Численные эксперименты показывают, что эти ошибки, с хорошей степенью точности, убывают с ростом параметра $\textstyle \lambda$ следующим образом:

$Err{\bigl [}{\bar {r}}(t){\bigr ]}\approx {\frac {0.50\;\sigma }{\lambda ^{1/8}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Err{\bigl [}\sigma (t){\bigr ]}\approx {\frac {0.15\;\sigma }{\lambda ^{1/8}}},$

(21)

и практически не зависят от числа эмпирических точек $\textstyle n$. Более того, ошибки не зависят и от типа распределения (в случае дискретной модели лагового блуждания). Малая степень 1/8 объясняет причину необходимости использования широкого диапазона для изменения параметра $\textstyle \lambda$.

Соотношения (21) задают типичный коридор колебаний сглаженных величин $\textstyle {\bar {r}}(t)$ и $\textstyle \sigma (t)$, которые являются флуктуациями и статистически не значимы в случае постоянства волатильности. Поэтому они будут нашими ориентирами, по крайней мере, на горизонтальных участках $\textstyle \sigma (t)$.

Приведём типичный пример численного моделирования ($\textstyle \sigma =1$, $\textstyle n=1000$) для трёх значений $\textstyle \lambda$ ($\textstyle \nu =\log _{10}\lambda$):

Более жирная линия соответствует $\textstyle \lambda =1000000$ ($\textstyle \nu =6$), а тонкая - $\textstyle \lambda =1000$ ($\textstyle \nu =3$). Сплошные горизонтальные "уровни значимости" определяют двойную ошибку $\textstyle \pm 2Err[{\bar {r}}(t)]$ в случае $\textstyle \nu =6$, а пунктирные - для $\textstyle \nu =3$ и $\textstyle \nu =9$. В отличие от уровней значимости корреляционных коэффициентов, мы имеем гладкую величину $\textstyle {\bar {r}}(t)$, которая может некоторое время "жить" вне заданного ошибкой диапазона. Тем не менее, соотношения (21) характеризуют значение типичных колебаний сглаженной величины для случайных данных.

Однако в ситуации нестационарности, которая нас, собственно, и интересует, необходимо выдерживать баланс между гладкостью и отсутствием излишнего сглаживания. Так, если $\textstyle \sigma (t)=1+0.5\cdot \sin(2\pi t/T)$, где $\textstyle T$ - общая длительность эксперимента, получаем следующие варианты сглаживания волатильности, оцененной по модифицированной амплитуде размаха:

В данном случае оптимальным значением была $\textstyle \nu =6$, так как $\textstyle \nu =3$ испытывает шумящие колебания вокруг истинной волатильности, а $\textstyle \nu =9$ - фактически не "ловит" синусоиду. Однако ситуация сильно ухудшается, если волатильность испытывает скачок. Так, пусть половину из $\textstyle n=1000$ "торговых дней" волатильность была $\textstyle \sigma =1\%$, а вторую половину $\textstyle \sigma =2\%$. Тогда сглаживания с различными $\textstyle \lambda$ дают такие результаты:

Видно, что в этом случае $\textstyle \nu =6$ существенно размывает ступеньку. Сглаживание с $\textstyle \nu =3$ размывает скачок волатильности существенно меньше, но зато даёт шумящие и незначимые колебания при постоянстве $\textstyle \sigma$.

---

Корреляция разностей <<	Оглавление	>> Автокорреляция остатков