Сила

Космические полёты <<	Оглавление (Глава 3)	>> Решения динамических уравнений

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим движение частицы под воздействием внешней, не зависящей от времени силы. В классической физике для предсказания траектории частицы $\textstyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)$ достаточно знать её положение и скорость в начальный момент времени. Если траектория является гладкой (дифференцируемой) функцией времени, то с математической точки зрения это означает, что уравнения движения должны быть дифференциальными уравнениями второго порядка:

$\mathbf {f} ({\ddot {\mathbf {r} }},{\dot {\mathbf {r} }},\mathbf {r} )=0,$

где точка над вектором означает производную по времени. Знание уравнений движения, начальных значений скорости $\textstyle \mathbf {u} _{0}={\dot {\mathbf {r} }}(0)$ и положения $\textstyle \mathbf {r} _{0}=\mathbf {r} (0)$ объекта позволяет предсказать его траекторию. Естественно, для этого необходим явный вид уравнений, которые обычно получаются на основе эмпирических наблюдений. Например, при движении небольшого ("пробного") заряда $\textstyle q$ в окрестности неподвижного заряда $\textstyle Q$ выполняется закон Кулона:

${\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {qQ}{r^{3}}}\,\mathbf {r} .$

В левой части уравнения находится производная релятивистского импульса $\textstyle \mathbf {p} =m\mathbf {u} /{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}$. Векторная функция координат в правой части называется силой. Таким образом, по определению сила равна скорости изменения импульса объекта:

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {m\mathbf {a} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}+{\frac {m\mathbf {u} \,(\mathbf {u} \mathbf {a} )}{(1-\mathbf {u} ^{2})^{3/2}}},$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {u} }}$. Можно было бы определить силу, как $\textstyle m\mathbf {a}$ или $\textstyle m\mathbf {a} /{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}$. Однако в этом случае эмпирическое выражение для кулоновского уравнения движения привело бы к тому, что сила оказалась зависящей не только от положения пробного заряда, но и от его скорости и, что совсем нехорошо, — от ускорения.

Поэтому определение () выбрано таким образом, чтобы вектор силы, приводящий к эмпирическим уравнениям движения, выглядел наиболее просто.

Отдельный вопрос, почему "простота" возникает, если сила равна производной импульса? Оставляя этот вопрос пока без ответа, примем () как определение и рассмотрим некоторые общие свойства динамики, не зависящие от явного вида взаимодействия $\textstyle \mathbf {F}$.

$\textstyle \bullet$ Скалярное произведение силы на скорость равно изменению энергии движения частицы:

${\frac {dE}{dt}}=\mathbf {u} \mathbf {F} .$

(EQN)

Кроме прямой проверки, эту формулу легко получить дифференцированием связи энергии, импульса и массы $\textstyle E^{2}=\mathbf {p} ^{2}+m^{2}$ с последующей подстановкой $\textstyle \mathbf {p} =\mathbf {u} E$.

Найдём ускорение пробного тела:

$\mathbf {a} ={\dot {\mathbf {u} }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {p} }{E}}\right)={\frac {\mathbf {F} -\mathbf {u} (\mathbf {u} \mathbf {F} )}{E}}.$

(EQN)

Такое представление не содержит в явном виде массу частицы, поэтому применимо и для безмассовых объектов, например, фотонов. Как известно, в гравитационном поле траектория света отклоняется от прямой линии. Смещение положения звёзд, видимых в момент затмения Солнца возле края его поверхности (относительно их положения в отсутствие Солнца), стало триумфом теории гравитации Эйнштейна:

В последней этот эффект связан с кривизной четырёхмерного пространства и времени. Однако если сила гравитационного притяжения зависит не от массы частицы $\textstyle m$, а от её энергии $\textstyle E$, подобные искривления траектории можно достаточно просто описать в рамках плоского пространства. Подробнее мы рассмотрим эти вопросы во второй части книги.

При помощи () можно записать изменение со временем квадрата скорости:

${\frac {d\mathbf {u} ^{2}}{dt}}={\frac {2(\mathbf {u} \mathbf {F} )}{E}}\,(1-\mathbf {u} ^{2}).$

Такое уравнение движения приводит к тому, что при приближении скорости $\textstyle \mathbf {u}$ к скорости света её модуль перестаёт изменяться, так как множитель $\textstyle (1-\mathbf {u} ^{2})$ "замораживает" динамику. В частности, "светоподобные" объекты, имеющие изначально единичный модуль скорости $\textstyle \mathbf {u} ^{2}=1$, не меняют этого значения. Хотя, конечно, они могут изменить направление скорости под воздействием силы $\textstyle \mathbf {F}$ (если она зависит, например, от энергии объекта $\textstyle E$).

$\textstyle \bullet$ Найдём общее выражение для силы, согласующееся с законами сохранения энергии и момента импульса. Пусть вокруг неподвижного, "точечного" источника силы пространство изотропно. В этом случае сила, действующая на пробную частицу, может зависеть только от вектора расстояния от центра поля $\textstyle \mathbf {r}$ и скорости пробной частицы $\textstyle \mathbf {u}$:

$\mathbf {F} =f_{1}\,\mathbf {r} +f_{2}\,\mathbf {u} \,(\mathbf {r} \mathbf {u} )+f_{3}\,[\mathbf {r} \times \mathbf {u} ],$

где $\textstyle f_{i}$ — скалярные функции, которые могут зависеть от расстояния до источника силы $\textstyle r={\sqrt {\mathbf {r} }}$, модуля скорости $\textstyle u={\sqrt {\mathbf {u} ^{2}}}$ и скалярного произведения $\textstyle \mathbf {r} \mathbf {u}$. Множитель $\textstyle (\mathbf {r} \mathbf {u} )$ при функции $\textstyle f_{2}$ выбран для удобства.

При наличии такого силового воздействия может сохраняться (не меняться во времени) скалярная функция координат и скорости, называемая полной энергией. Простейший выбор такой функции соответствует классической сумме энергии движения $\textstyle E$ и потенциальной энергии $\textstyle V(r)$:

${\mathcal {E}}=E+V(r)=const.$

Учитывая (), возьмём производную полной энергии по времени:

${\frac {d{\mathcal {E}}}{dt}}=\mathbf {u} \mathbf {F} +V'(r){\frac {\mathbf {r} \mathbf {u} }{r}}=f_{1}\,(\mathbf {r} \mathbf {u} )+f_{2}\,(\mathbf {r} \mathbf {u} )\,\mathbf {u} ^{2}+V'(r){\frac {(\mathbf {r} \mathbf {u} )}{r}}=0.$

Из этого уравнения следует, что $\textstyle f_{1}=-f_{2}\,\mathbf {u} ^{2}-V'/r$. Видно, что на сохранение полной энергии пробной частицы не оказывает влияние компонента силы $\textstyle f_{3}$, перпендикулярная скорости. Итак, энергия сохраняется, если сила имеет следующий вид:

$\mathbf {F} =-{\frac {V'(r)}{r}}\,\mathbf {r} -f_{2}\,[\mathbf {u} \times [\mathbf {r} \times \mathbf {u} ]]+f_{3}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {r} ],$

(EQN)

где для компактности мы воспользовались формулой "бац минус цаб": $\textstyle [\mathbf {u} \times [\mathbf {r} \times \mathbf {u} ]]=\mathbf {r} \mathbf {u} ^{2}-\mathbf {u} (\mathbf {r} \mathbf {u} )$. Вторая и третья компоненты силы всегда остаются перпендикулярными скорости, поэтому, изменяя её направление, не изменяют абсолютную величину (т.е. энергию).

Заметим, что полная энергия может и не быть суммой энергии движения $\textstyle E$ и потенциального воздействия $\textstyle V(r)$. В качестве упражнения предлагается проверить, что следующая величина:

${\mathcal {E}}=E\,e^{V(r)}=const$

сохраняется, если сила имеет вид:

$\mathbf {F} =-E\,{\frac {V'(r)}{r}}\,\mathbf {r} -f_{2}\,[\mathbf {u} \times [\mathbf {r} \times \mathbf {u} ]]+f_{3}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {r} ].$

(EQN)

Отличие () от силы (), приводящей к аддитивному закону сохранения энергии, состоит в появлении энергии движения $\textstyle E$, зависящей от скорости в первом слагаемом.

$\textstyle \bullet$ Кроме полной энергии, может также сохраняться момент импульса $\textstyle \mathbf {L}$, перпендикулярный скорости $\textstyle \mathbf {u}$ и радиус-вектору $\textstyle \mathbf {r}$. Благодаря этому траектория частицы всегда остаётся в одной плоскости, проходящей через начальные значения векторов $\textstyle \mathbf {r}$ и $\textstyle \mathbf {u}$. Классическая формула $\textstyle \mathbf {L} =m[\mathbf {r} \times \mathbf {u} ]$ в релятивистском случае может быть обобщена различным образом. Наиболее простое выражение для момента

$\mathbf {L} =[\mathbf {r} \times \mathbf {p} ]=E\,[\mathbf {r} \times \mathbf {u} ]$

сохраняется

${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=[\mathbf {u} \times \mathbf {p} ]+[\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {p} }}]=[\mathbf {r} \times \mathbf {F} ]=f_{2}\,(\mathbf {r} \mathbf {u} )[\mathbf {r} \times \mathbf {u} ]+f_{3}\,(\mathbf {r} (\mathbf {r} \mathbf {u} )-\mathbf {u} \mathbf {r} ^{2})=0$

только, если $\textstyle f_{2}=f_{3}=0$ (векторы $\textstyle \mathbf {u}$, $\textstyle \mathbf {r}$ в общем случае имеют произвольное направление, а $\textstyle [\mathbf {r} \times \mathbf {u} ]$ им перпендикулярен).

Однако это не означает, что нельзя построить соответствующий интеграл движения при $\textstyle f_{2}\neq 0$. Несложно видеть, что вектор $\textstyle [\mathbf {u} \times [\mathbf {r} \times \mathbf {u} ]]$ в выражениях (), () остаётся в плоскости ($\textstyle \mathbf {r}$, $\textstyle \mathbf {u}$), не выводя из неё траекторию движения частицы (в отличие от третьей компоненты силы $\textstyle f_{3}$). Поэтому при наличии $\textstyle f_{2}$ сохраняется следующая величина:

$\mathbf {L} =g(E)\,[\mathbf {r} \times \mathbf {p} ],$

где $\textstyle g(E)$ — некоторая функция энергии движения. Действительно, например, для () c $\textstyle f_{3}=0$ уравнение:

${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=g'(E)(\mathbf {u} \mathbf {F} )[\mathbf {r} \times \mathbf {p} ]+g(E)\,f_{2}\,(\mathbf {r} \mathbf {u} )[\mathbf {r} \times \mathbf {u} ]=0$

выполняется, если

$f_{2}=-E\,{\frac {g'(E)}{g(E)}}\,{\frac {(\mathbf {u} \mathbf {F} )}{(\mathbf {r} \mathbf {u} )}}=E^{2}\,{\frac {g'(E)}{g(E)}}\,{\frac {V'(r)}{r}}.$

В наиболее простом случае линейной зависимости от энергии $\textstyle g(E)=E$ "модифицированный момент импульса" $\textstyle \mathbf {L} =E\,[\mathbf {r} \times \mathbf {p} ]$ сохраняется (движение происходит в плоскости) для следующей силы:

$\mathbf {F} =-E\,{\frac {V'(r)}{r}}\,{\bigl \{}\mathbf {r} +[\mathbf {u} \times [\mathbf {r} \times \mathbf {u} ]]{\bigr \}}.$

Общий множитель $\textstyle E$ возникает для мультипликативной полной энергии и отсутствует в случае аддитивной полной энергии. Для гравитационного взаимодействия при малых скоростях это выражение должно переходить в закон гравитации Ньютона, поэтому $\textstyle V(r)=-\alpha /r$. Как мы увидим во второй части, такая сила в первом приближении по $\textstyle \alpha$ приводит к таким же выражениям для смещения перигелия Меркурия и отклонения света, как и теория гравитации Эйнштейна.

$\textstyle \bullet$ Найдём теперь, как связаны векторы силы для наблюдателей в двух инерциальных системах отсчёта. Для этого запишем преобразования Лоренца (см. стр. \pageref{lorenz_vec0}) для интервала времени $\textstyle dt$ между двумя последовательными положениями объекта в пространстве:

$dt'={\frac {dt-\mathbf {v} \,d\mathbf {r} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}}={\frac {1-\mathbf {v} \,\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}}\,dt,$

где $\textstyle \mathbf {v}$ — относительная скорость систем отсчёта, а $\textstyle \mathbf {u} =d\mathbf {r} /dt$ — скорость объекта. Используя формулу для преобразования квадратов скорости (), стр. \pageref{transf_u2}:

${\frac {\sqrt {1-\mathbf {u} '^{2}}}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}={\frac {\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}{1-\mathbf {v} \mathbf {u} }},$

(EQN)

это соотношение можно переписать в более симметричном виде:

$dt'\,{\sqrt {1-\mathbf {u} '^{2}}}=dt\,{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}.$

(EQN)

В левой и правой части стоит одно выражение, записанное с точки зрения каждой инерциальной системы. Поэтому его называют инвариантом преобразований. В данном случае это бесконечно малое собственное время объекта $\textstyle dt_{0}$, одинаковое для обеих систем отсчёта $\textstyle S$ и $\textstyle S'$. Действительно, если часы движутся со скоростью $\textstyle \mathbf {u}$, то прошедшее на них время относительно системы отсчёта $\textstyle S$ равно $\textstyle dt_{0}=dt{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}$ (см. стр \pageref{time_delay}). Эту же формулу можно записать и для системы $\textstyle S'$, поставив в правой части штрихованную скорость и время. В левой же части в обоих случаях стоит одна и та же величина — собственное время частицы.

Возьмём дифференциалы от преобразования импульса и энергии (стр. \pageref{transform_energey_moment}), считая относительную скорость систем отсчёта $\textstyle \mathbf {v}$ постоянной:

$dE'={\frac {dE-vdp_{x}}{\sqrt {1-v^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;dp'_{x}={\frac {dp_{x}-vdE}{\sqrt {1-v^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;dp'_{y}=dp_{y}.$

Разделим эти соотношения на дифференциалы времени () и, учитывая, что $\textstyle dE/dt=\mathbf {u} \mathbf {F}$, получаем:

${\frac {\mathbf {u} '\mathbf {F} '}{\sqrt {1-\mathbf {u} '^{2}}}}={\frac {\mathbf {u} \mathbf {F} -v\,F_{x}}{{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}\,{\sqrt {1-v^{2}}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {F'_{x}}{\sqrt {1-\mathbf {u} '^{2}}}}={\frac {F_{x}-v\,(\mathbf {u} \mathbf {F} )}{{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}\,{\sqrt {1-v^{2}}}}}.$

Эти преобразования связывают компоненты силы, измеряемой наблюдателями в двух инерциальных системах отсчёта $\textstyle S'$ и $\textstyle S$. Для поперечных к направлению скорости $\textstyle v$ проекций силы неизменными оказываются комбинации $\textstyle F_{y}/{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}$ и $\textstyle F_{z}/{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}$. Это следует из $\textstyle dp'_{y}=dp_{y}$ и $\textstyle dp'_{z}=dp_{z}$.

$\textstyle \bullet$ Мы уже отмечали, что четвёрка величин скалярной энергии и векторного импульса $\textstyle (E,\mathbf {p} )$ преобразуется так же, как и время с радиус-вектором $\textstyle (t,\mathbf {r} )$. Аналогичная ситуация и с силой. В этом случае соответствующими четырьмя величинами (4-вектор силы) являются:

$f^{\alpha }=\left({\frac {\mathbf {u} \mathbf {F} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}},\;{\frac {\mathbf {F} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}\right).$

В первой главе преобразования для координат и времени были записаны в векторном виде (стр. \pageref{lorenz_vec0}):

$\mathbf {r} '=\mathbf {r} -\gamma \mathbf {v} t+\Gamma \,\mathbf {v} \,(\mathbf {v} \mathbf {r} ).$

(EQN)

Аналогичные векторные преобразования справедливы и для силы:

${\frac {{\mathbf {F} }'}{\sqrt {1-\mathbf {u} '^{2}}}}={\frac {{\mathbf {F} }-\gamma \mathbf {v} (\mathbf {u} \mathbf {F} )+\Gamma \,\mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {F} )}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}.$

Отметим также соотношение:

$\mathbf {u} '\mathbf {F} '={\frac {(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\mathbf {F} }{1-\mathbf {u} \mathbf {v} }},$

которое следует из преобразования для нулевых компонент 4-силы. В нём дополнительно учтено преобразование для квадрата скорости ().

В дальнейшем нам понадобится обратное преобразование для силы. Как обычно, оно получается перестановкой штрихованных и нештрихованных величин с заменой $\textstyle \mathbf {v} \mapsto -\mathbf {v}$:

${\frac {\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}{1-\mathbf {v} \mathbf {u} }}\,\mathbf {F} =\mathbf {F} '+\gamma \mathbf {v} (\mathbf {u} '\mathbf {F} ')+\Gamma \,\mathbf {v} (\mathbf {v} \,\mathbf {F} ').$

(EQN)

В этом преобразовании также произведено небольшое упрощение при помощи соотношения ().

Преобразования силы между инерциальными системами отсчёта позволяют найти силу взаимодействия между двумя движущимися объектами, если известна "статическая сила", в ситуации, когда один из объектов неподвижен. Мы воспользуемся этим фактом в следующей главе, чтобы при помощи закона Кулона взаимодействия неподвижного заряда $\textstyle Q$ на пробный заряд $\textstyle q$

$\mathbf {F} ={\frac {qQ}{r^{3}}}\,\mathbf {r}$

найти силу воздействия со стороны движущегося со скоростью $\textstyle \mathbf {v}$ заряда. В результате возникнет специфическая компонента силы, имеющая смысл магнитного поля. В конечном счёте это приведёт нас к уравнениям Максвелла и классической электродинамике, в основе которой на самом деле лежат "лишь" закон Кулона и преобразования Лоренца.

---

Космические полёты <<	Оглавление (Глава 3)	>> Решения динамических уравнений

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии