Простые стохастические модели

Точные решения уравнения Ито <<	Оглавление	>> Представление стохастических решений

$\textstyle \bullet$ Логарифмическое блуждание определяется уравнением:

{\;\;dx=\mu \,x\,dt+\sigma \,x\,\delta W\;},

(2.24)

где $\textstyle \mu$ и $\textstyle \sigma$ — константы модели. Часто (2.24) называют геометрическим или экспоненциальным броуновским блужданием.

Если стохастического члена нет ( $\textstyle \sigma =0$ ), то это обычное уравнение экспоненциального роста ( $\textstyle \mu >0$ ) или снижения ( $\textstyle \mu <0$ ):

{\frac {dx}{dt}}=\mu \,x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x(t)=x_{0}\,e^{\mu t}.

Подобная зависимость возникает во многих физических, биологических и социальных системах, от радиоактивного распада до роста экономики.

Случайное воздействие вносит в гладкую динамику определённые коррективы. Подставим функции сноса $\textstyle a(x,t)=\mu \,x$ и волатильности $\textstyle b(x,t)=\sigma \,x$ в условие совместности (2.22). В результате для $\textstyle s(t)$ получается тривиальное уравнение $\textstyle {\dot {s}}(t)=0$ , где точка сверху обозначает производную по времени. Следовательно, $\textstyle s(t)$ — это константа, которую удобно выбрать равной $\textstyle \sigma$ . Интегрирование первого уравнения (2.21) даёт $\textstyle F(x,t)=\ln x$ , и, соответственно, функция $\textstyle f(t)$ равна $\textstyle \mu -\sigma ^{2}/2$ . Окончательное решение ( $\textstyle t_{0}=0$ ) имеет вид:

x(t)=x_{0}\,e^{\left(\mu -\sigma ^{2}/2\right)\,t+\sigma {\sqrt {t}}\,\varepsilon }.

(2.25)

Если в процессе Винера $\textstyle x$ может "уползти" при блуждании в область отрицательных значений $\textstyle x<0$ , то для логарифмической модели это невозможно. Подобное свойство можно было ожидать сразу по виду (2.24). По мере приближения к значению $\textstyle x=0$ снос и волатильность уменьшаются. В результате динамика как бы замораживается при $\textstyle x\to 0$ .

Используя интеграл (1.11), легко вычислить среднее значение и волатильность в произвольный момент времени:

{\bar {x}}(t)=x_{0}\,e^{\mu t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma _{x}(t)={\bar {x}}(t)\cdot {\sqrt {e^{\sigma ^{2}t}-1}}.

Заметим, что необходимо решительно бороться с искушением "по обычному" обращаться со стохастическими уравнениями. Например, разделив (2.24) на $\textstyle x$ , нельзя внести его под дифференциал: $\textstyle dx/x\neq d\ln x$ . Для подобных действий служит лемма Ито (2.15) по которой для процесса логарифмического блуждания $\textstyle d(\ln x)=(\mu -\sigma ^{2}/2)\,dt+\sigma \,\delta W$ . Фактически, при помощи этой замены, найденной по алгоритму "Точные решения уравнения Ито", мы и получили решение (2.25).

Ниже на левом рисунке приведены логарифмические блуждания с нулевым сносом: $\textstyle dx=x\delta W$ . Видно, как они, прижимаясь к $\textstyle x=0$ , тем не менее, остаются в положительной области. В результате получается несимметричное распределение для $\textstyle x$ , которое в данном случае имеет логнормальный вид. Справа динамика дополнена детерминированным сносом: $\textstyle dx=0.05\cdot x\cdot (dt+\delta W)$ . Она имеет ярко выраженный экспоненциальный рост со стохастическими колебаниями вокруг экспоненты.

Эти два примера напоминают нам, что стохастические процессы могут быть как малыми поправками к детерминированной динамике (справа), так и основной сутью исследуемой системы (слева).

Введя винеровский процесс $\textstyle W_{t}=W(t)=\varepsilon {\sqrt {t}}$ , решение для логарифмического блуждания можно записать в следующем виде:

x(t)=e^{(\mu -\sigma ^{2}/2)t+\sigma \,W_{t}}.

Действительно, производные для $\textstyle x(t)=F(t,W)$ равны:

{\frac {\partial x}{\partial t}}=(\mu -\sigma ^{2}/2)\,x,\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial x}{\partial W}}=\sigma \,x,\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial ^{2}x}{\partial W^{2}}}=\sigma ^{2}\,x.

Винеровское блуждание $\textstyle W_{t}$ имеет нулевой снос $\textstyle a=0$ и единичную волатильность $\textstyle b=1$ . Поэтому по лемме Ито (2.15) имеем:

dx=\left({\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial ^{2}x}{\partial W^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial x}{\partial W}}\,\delta W=\mu \,x\,dt+\sigma \,x\,\delta W.

Роль $\textstyle x$ теперь играет процесс $\textstyle W$ , а функция $\textstyle F$ — это $\textstyle x$ .

Задавая различные функции $\textstyle x=F(t,W_{t})$ , удовлетворяющие начальному условию $\textstyle x_{0}=F(0,0)$ , можно найти целый класс точно решаемых стохастических уравнений. После подстановки $\textstyle F(t,W_{t})$ в лемму Ито необходимо исключить $\textstyle W_{t}$ , заменив её на $\textstyle W_{t}=G(t,x)$ , где $\textstyle G$ — обратная к $\textstyle F$ функция. Кроме этого константа $\textstyle x_{0}$ должна сократиться, так как это "внешнее" к динамике условие и "порядочное уравнение" не должно зависеть от него. В качестве упражнения стоит проверить решения ( $\textstyle \mathbf {R} _{}$ ) — ( $\textstyle \mathbf {R} _{}$ ) из Справочника (стр. \pageref{r_exact_from_W_1}). К сожалению, чаще таким методом получаются уравнения, в которых снос зависит от волатильности шума, что не очень естественно для практических приложений.

$\textstyle \bullet$ Процесс Орнштейна - Уленбека:

{\;dx=-\beta \cdot (x-\alpha )\,dt+\sigma \,\delta W}

(2.26)

описывает блуждание, в котором $\textstyle x$ притягивается к уровню, определяемому константой $\textstyle \alpha$ . При этом волатильность $\textstyle \sigma$ считается постоянной. Если $\textstyle x\gg \alpha$ , то снос становится заметно отрицательным и тянет процесс вниз. При опускании $\textstyle x$ ниже $\textstyle \alpha$ снос оказывается положительным и в среднем поднимает $\textstyle x(t)$ вверх. Параметр $\textstyle \beta >0$ характеризует величину "силы притяжения" к равновесному значению $\textstyle \alpha$ .

Условие совместности (2.22) даёт уравнение $\textstyle {\dot {s}}(t)=\beta s(t)$ . Решая его и первое уравнение (2.21) для $\textstyle F(x,t)$ , мы каждый раз выбираем константы интегрирования наиболее "удобным способом", так как начальные условия уже учтены в (2.23), а нам необходимо найти простейшую замену, исключающую $\textstyle x$ из сноса и волатильности:

s(t)=\sigma e^{\beta t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;F(x,t)=xe^{\beta t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(t)=\alpha \beta e^{\beta t}.

В результате решение записывается в следующем виде ( $\textstyle t_{0}=0$ ):

x(t)=\alpha +{\bigl (}x_{0}-\alpha {\bigr )}e^{-\beta t}+{\frac {\sigma }{\sqrt {2\beta }}}\,{\sqrt {1-e^{-2\beta t}}}\cdot \;\varepsilon .

(2.27)

Несложно увидеть, что $\textstyle x(t)$ оказывается гауссово распределённой величиной со средним и дисперсией, зависящими от времени.

Если $\textstyle \beta >0$ , то среднее при больших временах стремится к равновесному уровню $\textstyle \alpha$ . Волатильность становится равной $\textstyle \sigma /{\sqrt {2\beta }}$ . При винеровском или логарифмическом блуждании $\textstyle x(t)$ может уйти как угодно далеко от своего начального значения $\textstyle x_{0}$ . Для процесса (2.26) $\textstyle x(t)$ "заперта" в статистическом коридоре с шириной, равной двойной волатильности $\textstyle \sigma /{\sqrt {2\beta }}$ .

При малых $\textstyle \beta$ процесс Орнштейна-Уленбека по своему поведению становится очень близким к обычному винеровскому блужданию. Траектория $\textstyle x(t)$ достаточно долго блуждает выше или ниже $\textstyle \alpha$ , не уходя, тем не менее, на бесконечность. Волатильность стремится к $\textstyle \sigma /{\sqrt {2\beta }}$ , и тем больше, чем меньше $\textstyle \beta$ . Следовательно, характерный коридор, в котором происходит блуждание, при малых $\textstyle \beta$ расширяется. Если и $\textstyle \sigma$ , и $\textstyle \beta$ достаточно большие, $\textstyle x(t)$ часто пересекает равновесный уровень, начиная напоминать обычный белый шум.

Наличие равновесного уровня в модели Орнштейна-Уленбека полезно для различных финансовых приложений. Например, в случае курсов валют $\textstyle \alpha$ может быть паритетом покупательной способности ( $\textstyle \lessdot$ C), а для процентной ставки - её долгосрочным значением.

Примеры реализаций блуждания Орнштейна-Уленбека при различных параметрах приведены ниже. На левом рисунке $\textstyle \beta =0.1$ , $\textstyle \sigma =0.1$ . На правом — $\textstyle \beta =1$ , $\textstyle \sigma =0.5$ . Величина $\textstyle \alpha$ в обоих случаях равна единице.

Необходимо помнить, что, если решение выражено через винеровскую переменную $\textstyle W_{t}$ , её всегда можно переписать через гауссову случайную величину, заменив $\textstyle W_{t}=\varepsilon {\sqrt {t}}$ . Обратное, вообще говоря, не верно. Если в решении есть $\textstyle \varepsilon$ , нельзя его выразить через $\textstyle W_{t}$ , подставив $\textstyle \varepsilon \to W_{t}/{\sqrt {t}}$ . В качестве упражнения имеет смысл проверить, что подобная замена в (2.27) приводит к случайной функции, не удовлетворяющей (2.26).

Можно объединить положительность $\textstyle x$ и его притяжение к равновесному уровню в следующей логарифмической модели с притяжением:

dx=-\beta \cdot x\cdot \left(\ln {\frac {x}{\alpha }}-1\right)\,dt+\sigma \,x\,\delta W.

(2.28)

Если $\textstyle x>\alpha$ , то снос отрицательный, а при $\textstyle x<\alpha$ — положительный. Множитель $\textstyle x$ "замораживает" динамику при приближении к $\textstyle x=0$ . Для этой модели несложно найти точное решение ( $\textstyle \lessdot$ H).

На самом деле логарифмическая модель с притяжением является простой деформацией процесса Орнштейна-Уленбека. Действительно, если $\textstyle x$ удовлетворяет уравнению (2.26), то несложно проверить, что $\textstyle y=e^{x}$ будет удовлетворять (2.28). Уравнение (2.28) так же соотносится с (2.26), как логарифмическое блуждание с процессом Винера.

Ещё одну модель уместно назвать броуновской ловушкой:

dx=-\beta \cdot (x-\alpha )\,dt\;+\;\sigma \cdot (x-\alpha )\,\delta W.

(2.29)

Член со сносом обеспечивает притяжение к уровню $\textstyle x=\alpha$ , в окрестности которого волатильность становится очень маленькой, а динамика — детерминированной. В результате процесс рано или поздно гарантированно притягивается к значению $\textstyle x=\alpha$ ( $\textstyle \lessdot$ H).

$\textstyle \bullet$ Можно рассмотреть общее стационарное уравнение, снос и волатильность которого не зависят от времени:

dx=a(x)\,dt+b(x)\,\delta W.

Условие совместности записывается следующим образом:

{\frac {{\dot {s}}(t)}{s(t)}}={\frac {1}{2}}\,b\cdot b''-b\cdot \left({\frac {a}{b}}\right)'=\gamma ,

(2.30)

где штрих производная по $\textstyle x$ , точка — по времени, и опущены аргументы у функций. Левая часть зависит только от времени, правая — только от $\textstyle x$ , поэтому это выражение равно некоторой константе, которую мы обозначили через $\textstyle \gamma$ . Проинтегрировав это уравнение, найдём связь между сносом и волатильностью:

a={\frac {{\bigl (}b^{2}{\bigr )}'}{4}}+\eta \cdot b-\gamma b\cdot \int {\frac {dx}{b}},

где $\textstyle \eta$ — ещё один параметр.

Если $\textstyle b(x)=\sigma =const$ — мы приходим к уравнению Орнштейна-Уленбека (2.26). Для $\textstyle b(x)=\sigma x$ точно решаемой задачей является логарифмическая модель с притяжением (2.28), частным случаем которой является логарифмическое блуждание. При $\textstyle b(x)=\sigma {\sqrt {x}}$ снос должен явным образом зависеть от $\textstyle \sigma$ :

a(x)={\frac {\sigma ^{2}}{4}}+\alpha {\sqrt {x}}+2\beta x.

Решение такого уравнения имеет вид ( $\textstyle x_{0}=x(0)$ , $\textstyle \beta >0$ ):

x(t)=\left[{\sqrt {x_{0}}}\,e^{\beta t}+{\frac {\alpha }{2\beta }}\,\left(e^{\beta t}-1\right)+{\frac {\sigma }{\sqrt {8\beta }}}\,{\sqrt {e^{2\beta t}-1}}\cdot \varepsilon \right]^{2}.

Если $\textstyle a(x)/b(x)=const$ , или сноса при блуждании нет $\textstyle a(x)=0$ , то условие совместности (2.30) упрощается:

{\frac {b''}{2}}={\frac {\gamma }{b}}.

Умножая его на интегрирующий множитель $\textstyle b'$ , получаем решение в неявной форме:

x-\alpha =\int {\frac {db}{\sqrt {\beta +4\gamma \ln b}}},

где $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$ — константы интегрирования.

$\textstyle \bullet$ Броуновский мост. Рассмотрим теперь уравнение Ито со сносом, зависящим не только от $\textstyle x$ , но и от времени $\textstyle t$ :

{\;dx=-{\frac {x-\alpha }{T-t}}\,dt+\sigma \,\delta W\;}.

(2.31)

Константа $\textstyle T$ — это выделенное время в будущем ( $\textstyle t<T$ ), когда снос становится бесконечным. Условие совместности даёт:

s(t)={\frac {\sigma }{T-t}},\;\;\;\;\;\;F(x,t)={\frac {x}{T-t}},\;\;\;\;\;\;\;f(t)={\frac {\alpha }{(T-t)^{2}}}.

(2.32)

В результате получаем решение в следующем виде ( $\textstyle x_{0}=x(t_{0})$ ):

x(t)=\alpha +(x_{0}-\alpha )\,{\frac {T-t}{T-t_{0}}}+\sigma \,{\sqrt {\frac {(t-t_{0})(T-t)}{T-t_{0}}}}\cdot \varepsilon .

Среднее процесса при $\textstyle t\to T$ стремится к $\textstyle \alpha$ . При этом волатильность оказывается равной нулю. Это означает, что $\textstyle x(t)$ гарантированно в процессе блуждания достигает равновесного значения $\textstyle x(T)=\alpha$ :

На рисунках в обоих случаях $\textstyle \alpha =1$ . Слева $\textstyle \sigma =0.1$ , справа $\textstyle \sigma =0.05$ . Соединение начального условия $\textstyle x_{0}=x(0)$ и "конечного" $\textstyle x(T)=\alpha$ стохастическими траекториями и дало живописное название процессу.

Можно рассмотреть броуновский мост в более общем случае, с произвольными коэффициентами, зависящими от времени:

dx=-\beta (t)\cdot {\Bigl (}x-\alpha (t){\Bigr )}\,dt+\sigma (t)\,\delta W.

Условия совместности дают:

s(t)=\sigma (t)e^{\,\int \limits _{t_{0}}^{t}\beta (t)dt},\;\;\;F(x,t)=x\,{\frac {s(t)}{\sigma (t)}},\;\;\;f(t)=\alpha (t)\beta (t)\,{\frac {s(t)}{\sigma (t)}}.

Для частного выбора $\textstyle \beta (t)=\beta /(T-t)$ , $\textstyle \alpha (t)=\alpha$ , $\textstyle \sigma (t)=\sigma$ , где $\textstyle \alpha ,\beta$ , $\textstyle T$ и $\textstyle \sigma$ — константы модели, получаем решение в следующем виде ( $\textstyle t_{0}=0$ ):