Простые стохастические модели

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Точные решения уравнения Ито << Оглавление >> Представление стохастических решений


Логарифмическое блуждание определяется уравнением:

(2.24)

где и — константы модели. Часто (2.24) называют геометрическим или экспоненциальным броуновским блужданием.

Если стохастического члена нет (), то это обычное уравнение экспоненциального роста () или снижения ():

Подобная зависимость возникает во многих физических, биологических и социальных системах, от радиоактивного распада до роста экономики.

Случайное воздействие вносит в гладкую динамику определённые коррективы. Подставим функции сноса и волатильности в условие совместности (2.22). В результате для получается тривиальное уравнение , где точка сверху обозначает производную по времени. Следовательно, — это константа, которую удобно выбрать равной . Интегрирование первого уравнения (2.21) даёт , и, соответственно, функция равна . Окончательное решение () имеет вид:

(2.25)

Если в процессе Винера может "уползти" при блуждании в область отрицательных значений , то для логарифмической модели это невозможно. Подобное свойство можно было ожидать сразу по виду (2.24). По мере приближения к значению снос и волатильность уменьшаются. В результате динамика как бы замораживается при .

Используя интеграл (1.11), легко вычислить среднее значение и волатильность в произвольный момент времени:

Заметим, что необходимо решительно бороться с искушением "по обычному" обращаться со стохастическими уравнениями. Например, разделив (2.24) на , нельзя внести его под дифференциал: . Для подобных действий служит лемма Ито (2.15) по которой для процесса логарифмического блуждания . Фактически, при помощи этой замены, найденной по алгоритму "Точные решения уравнения Ито", мы и получили решение (2.25).

Ниже на левом рисунке приведены логарифмические блуждания с нулевым сносом: . Видно, как они, прижимаясь к , тем не менее, остаются в положительной области. В результате получается несимметричное распределение для , которое в данном случае имеет логнормальный вид. Справа динамика дополнена детерминированным сносом: . Она имеет ярко выраженный экспоненциальный рост со стохастическими колебаниями вокруг экспоненты.

Log winer.png

Эти два примера напоминают нам, что стохастические процессы могут быть как малыми поправками к детерминированной динамике (справа), так и основной сутью исследуемой системы (слева).

Введя винеровский процесс , решение для логарифмического блуждания можно записать в следующем виде:

Действительно, производные для равны:

Винеровское блуждание имеет нулевой снос и единичную волатильность . Поэтому по лемме Ито (2.15) имеем:

Роль теперь играет процесс , а функция — это .

Задавая различные функции , удовлетворяющие начальному условию , можно найти целый класс точно решаемых стохастических уравнений. После подстановки в лемму Ито необходимо исключить , заменив её на , где — обратная к функция. Кроме этого константа должна сократиться, так как это "внешнее" к динамике условие и "порядочное уравнение" не должно зависеть от него. В качестве упражнения стоит проверить решения () — () из Справочника (стр. \pageref{r_exact_from_W_1}). К сожалению, чаще таким методом получаются уравнения, в которых снос зависит от волатильности шума, что не очень естественно для практических приложений.



Процесс Орнштейна - Уленбека:

(2.26)

описывает блуждание, в котором притягивается к уровню, определяемому константой . При этом волатильность считается постоянной. Если , то снос становится заметно отрицательным и тянет процесс вниз. При опускании ниже снос оказывается положительным и в среднем поднимает вверх. Параметр характеризует величину "силы притяжения" к равновесному значению .

Условие совместности (2.22) даёт уравнение . Решая его и первое уравнение (2.21) для , мы каждый раз выбираем константы интегрирования наиболее "удобным способом", так как начальные условия уже учтены в (2.23), а нам необходимо найти простейшую замену, исключающую из сноса и волатильности:

В результате решение записывается в следующем виде ():

(2.27)

Несложно увидеть, что оказывается гауссово распределённой величиной со средним и дисперсией, зависящими от времени.

Если , то среднее при больших временах стремится к равновесному уровню . Волатильность становится равной . При винеровском или логарифмическом блуждании может уйти как угодно далеко от своего начального значения . Для процесса (2.26) "заперта" в статистическом коридоре с шириной, равной двойной волатильности .

При малых процесс Орнштейна-Уленбека по своему поведению становится очень близким к обычному винеровскому блужданию. Траектория достаточно долго блуждает выше или ниже , не уходя, тем не менее, на бесконечность. Волатильность стремится к , и тем больше, чем меньше . Следовательно, характерный коридор, в котором происходит блуждание, при малых расширяется. Если и , и достаточно большие, часто пересекает равновесный уровень, начиная напоминать обычный белый шум.

Наличие равновесного уровня в модели Орнштейна-Уленбека полезно для различных финансовых приложений. Например, в случае курсов валют может быть паритетом покупательной способности ( C), а для процентной ставки - её долгосрочным значением.

Примеры реализаций блуждания Орнштейна-Уленбека при различных параметрах приведены ниже. На левом рисунке , . На правом — , . Величина в обоих случаях равна единице.

Ol.png

Необходимо помнить, что, если решение выражено через винеровскую переменную , её всегда можно переписать через гауссову случайную величину, заменив . Обратное, вообще говоря, не верно. Если в решении есть , нельзя его выразить через , подставив . В качестве упражнения имеет смысл проверить, что подобная замена в (2.27) приводит к случайной функции, не удовлетворяющей (2.26).

Можно объединить положительность и его притяжение к равновесному уровню в следующей логарифмической модели с притяжением:

(2.28)

Если , то снос отрицательный, а при — положительный. Множитель "замораживает" динамику при приближении к . Для этой модели несложно найти точное решение ( H).

На самом деле логарифмическая модель с притяжением является простой деформацией процесса Орнштейна-Уленбека. Действительно, если удовлетворяет уравнению (2.26), то несложно проверить, что будет удовлетворять (2.28). Уравнение (2.28) так же соотносится с (2.26), как логарифмическое блуждание с процессом Винера.

Ещё одну модель уместно назвать броуновской ловушкой:

(2.29)

Член со сносом обеспечивает притяжение к уровню , в окрестности которого волатильность становится очень маленькой, а динамика — детерминированной. В результате процесс рано или поздно гарантированно притягивается к значению ( H).




Можно рассмотреть общее стационарное уравнение, снос и волатильность которого не зависят от времени:

Условие совместности записывается следующим образом:

(2.30)

где штрих производная по , точка — по времени, и опущены аргументы у функций. Левая часть зависит только от времени, правая — только от , поэтому это выражение равно некоторой константе, которую мы обозначили через . Проинтегрировав это уравнение, найдём связь между сносом и волатильностью:

где — ещё один параметр.

Если — мы приходим к уравнению Орнштейна-Уленбека (2.26). Для точно решаемой задачей является логарифмическая модель с притяжением (2.28), частным случаем которой является логарифмическое блуждание. При снос должен явным образом зависеть от :

Решение такого уравнения имеет вид (, ):

Если , или сноса при блуждании нет , то условие совместности (2.30) упрощается:

Умножая его на интегрирующий множитель , получаем решение в неявной форме:

где и — константы интегрирования.




Броуновский мост. Рассмотрим теперь уравнение Ито со сносом, зависящим не только от , но и от времени :

(2.31)

Константа — это выделенное время в будущем (), когда снос становится бесконечным. Условие совместности даёт:

(2.32)

В результате получаем решение в следующем виде ():

Среднее процесса при стремится к . При этом волатильность оказывается равной нулю. Это означает, что гарантированно в процессе блуждания достигает равновесного значения :

Bridge.png

На рисунках в обоих случаях . Слева , справа . Соединение начального условия и "конечного" стохастическими траекториями и дало живописное название процессу.

Можно рассмотреть броуновский мост в более общем случае, с произвольными коэффициентами, зависящими от времени:

Условия совместности дают:

Для частного выбора , , , где , и — константы модели, получаем решение в следующем виде ():

Заданием функции можно добиться произвольного выгиба "моста" вверх или вниз.



Точные решения уравнения Ито << Оглавление >> Представление стохастических решений

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения