Представление стохастических решений

Простые стохастические модели <<	Оглавление	>> Автокорреляция и спектр

---

$\textstyle \bullet$ Мы записываем решения стохастических уравнений с начальным условием $\textstyle x_{0}=x(t_{0})$ при помощи одной или нескольких случайных величин $\textstyle \varepsilon$ и гладкой функции времени: $\textstyle x(t)=f(x_{0},\,t_{0},\;t,\,\varepsilon )$. Так как свойства $\textstyle \varepsilon$ обычно хорошо известны, такое представление позволяет легко находить разнообразные средние и марковскую плотность условной вероятности $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$.

Сама по себе функция $\textstyle f$ не позволяет нарисовать одиночную траекторию. Если мы сгенерим некоторое конкретное число $\textstyle {\tilde {\varepsilon }}$, то $\textstyle x(t)$ не будет графиком случайного процесса. Это обычная гладкая функция. Например, для винеровского процесса без сноса:

$x(t)=x_{0}+\varepsilon \,{\sqrt {t-t_{0}}}.$

(2.33)

Никаких изломов, типичных для случайного процесса, тут, конечно, нет. Дело в том, что для получения свойств $\textstyle x(t)$ в каждый момент времени необходимо генерить различные случайные числа $\textstyle \varepsilon$.

Тем не менее, благодаря "марковости" процессов "начальные" условия $\textstyle (x_{0},t_{0})$ могут быть значением случайной функции на любом этапе эволюции. В частности, мы можем записать следующую цепочку решений:

${\begin{array}{l}x_{1}=f(x_{0},\,t_{0},\;t_{1},\,\varepsilon _{1})\\x_{2}=f(x_{1},\,t_{1},\;t_{2},\,\varepsilon _{2})\\x_{3}=f(x_{2},\,t_{2},\;t_{3},\,\varepsilon _{3}),\;...,\end{array}}$

где интервалы времени $\textstyle t_{i}-t_{i+1}$ — произвольны. Так как случайные переходы от одного момента времени $\textstyle (x_{i},\,t_{i})$ к следующему $\textstyle (x_{i+1},\,t_{i+1})$ не перекрываются, случайные числа $\textstyle \varepsilon _{1}$, $\textstyle \varepsilon _{2}$, $\textstyle \varepsilon _{3}$,.. являются статистически независимыми. Это позволяет вычислять средние, относящиеся к различным моментам времени, и строить выборочные траектории. При этом возникают последовательности вложенных функций, например:

$x_{2}=f(f(x_{0},\,t_{0},\;t_{1},\,\varepsilon _{1}),\,t_{1},\;t_{2},\,\varepsilon _{2}).$

В случае винеровского блуждания, выбирая равный интервал $\textstyle \tau$ между последовательными моментами времени, мы получим:

$x_{t}=x_{0}+\sum _{k=1}^{t}\varepsilon _{k}\tau .$

Хотя выражение для $\textstyle x_{t}$ похоже на итерационную схему, это, на самом деле, точное соотношение, и $\textstyle \tau$ может быть сколь угодно большим.

$\textstyle \bullet$ Существуют и другие способы представления траектории случайного процесса. Рассмотрим для примера разложение Палея-Винера винеровского блуждания на интервале времени $\textstyle t=[0..T]$:

$x(t)=x_{0}+\varepsilon _{0}\,{\frac {t}{\sqrt {T}}}+{\sqrt {2T}}\,\sum _{k=1}^{\infty }\varepsilon _{k}\,{\frac {\sin(\pi k\cdot t/T)}{\pi k}},$

(2.34)

где $\textstyle \varepsilon _{k}\sim N(0,1)$ — независимые нормально распределённые случайные величины. Это разложение имеет такие же статистические свойства, как и существенно более простая запись (2.33). Чтобы в этом убедиться, вычислим среднее квадрата $\textstyle \left\langle x^{2}\right\rangle$ (простое среднее равно нулю $\textstyle \left\langle x\right\rangle =0$):

$\left\langle x^{2}\right\rangle \;=\;x_{0}^{2}+{\frac {t^{2}}{T}}+2T\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\pi k\cdot t/T)}{\pi ^{2}k^{2}}}\;=\;x_{0}^{2}+t,$

(2.35)

где мы воспользовались свойством независимости $\textstyle \left\langle \varepsilon _{i}\varepsilon _{j}\right\rangle =0$, если $\textstyle i\neq j$ и $\textstyle \left\langle \varepsilon _{i}^{2}\right\rangle =1$. Равенство $\textstyle \left\langle x^{2}\right\rangle =x_{0}^{2}+t$ проверяется при помощи фурье — разложения функции $\textstyle f(t)=t-t^{2}/T$ на интервале $\textstyle t=[0..T]$ ($\textstyle \lessdot$ H).

В результате получается такой же результат, как и для (2.33). Плотности вероятности величин (2.33) и (2.34) совпадают, так как сумма гауссовых чисел $\textstyle \varepsilon _{0}$,$\textstyle \varepsilon _{1}$,... — это опять гауссово число, дисперсия которого, как мы показали, равна $\textstyle t$.

Достоинством представления Палея-Винера является то, что с его помощью можно записывать непрерывную функцию одиночной траектории, на конечном интервале времени $\textstyle T$. Для этого, естественно, приходится обрезать суммирование на достаточно большом индексе $\textstyle k=N$. Затем генерятся независимые случайные числа $\textstyle \varepsilon _{0}$,...,$\textstyle \varepsilon _{N}$, и фурье — разложение даёт изломанную кривую. На рисунках ниже приведено последовательное увеличение числа слагаемых в сумме: $\textstyle N=10,20,100$. При этом случайные числа $\textstyle \varepsilon _{0}$, $\textstyle \varepsilon _{1}$,.. на каждом графике повторяются:

Видно, что степень изломанности траектории увеличивается, стремясь в пределе $\textstyle N\to \infty$ к недифференцируемой стохастической кривой.

$\textstyle \bullet$ Изучая стохастические дифференциальные уравнения, можно использовать различный "язык" и различные математические конструкции. Кратко перечислим основные подходы к представлению решений стохастических уравнений, их сильные и слабые стороны.

$\textstyle \triangleright$ Плотность вероятности является базовым и наиболее общим языком описания случайных функций. Так как мы ограничились классом марковских процессов, знание вероятности перехода $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$ между двумя точками позволяет записать вероятность всей траектории. В результате можно вычислять разнообразные средние, и т.п. Чтобы найти $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$, необходимо решить дифференциальное уравнение в частных производных, которое мы рассмотрим в четвёртой главе. Недостатком этого подхода является то, что получение конечного результата иногда требует более кропотливых вычислений, чем в рамках других методов. Примером тому служит описание процесса Орнштейна-Уленбека или процесса Феллера (стр. \pageref{feller_equation}).

$\textstyle \triangleright$ Уравнения для средних мы рассмотрим в следующей главе. Если целью исследования является поиск различных средних значений стохастического процесса, то решение этих уравнений может оказаться самым прямым и простым способом. Дифференциальные уравнения для средних часто приводят к полезным соотношениям в асимптотическом пределе $\textstyle t\to \infty$ и удобны при построении приближённых методов. Кроме ограниченности получаемых результатов, недостаток подхода в том, что эти уравнения оказываются замкнутыми лишь для относительно узкого класса задач.

$\textstyle \triangleright$ Сведение к известному процессу является очень распространённым подходом. Обычно при этом используется винеровский процесс $\textstyle W(t)$ с хорошо изученными и простыми свойствами. Например, логарифмическое блуждание $\textstyle x(t)=x_{0}\exp\{(\mu -\sigma ^{2}/2)t+\sigma \,W(t)\}$ явным образом демонстрирует деформацию винеровского процесса $\textstyle W(t)$ в процесс $\textstyle x(t)$. Подобные решения ищутся при помощи леммы Ито и подходящей замены. Достоинством подхода является быстрота получения конечного результата (когда это возможно). Кроме этого, мы имеем простую запись для выборочных траекторий. Например, можно сгенерить конкретную траекторию $\textstyle W(t)$ и, подставив её в $\textstyle x{\bigl (}t,W(t){\bigr )}$, получить выборочную траекторию процесса $\textstyle x(t)$. Недостатком подхода является то, что для многих процессов найти простую функцию $\textstyle x{\bigl (}t,W(t){\bigr )}$ не очень просто. Так, уже для процесса Орнштейна-Уленбека в аргументе функции $\textstyle W(t)$ необходимо дополнительно деформировать время, а процесс Феллера вообще не имеет простого представления при помощи $\textstyle W(t)$.

$\textstyle \triangleright$ Стохастические интегралы — это наиболее популярный способ как строгого обоснования стохастических уравнений, так и записи их решения при помощи специфических обозначений. Стохастические интегралы являются достаточно нетривиальной математической конструкцией. Несмотря на то, что это очень красивая и мощная техника, иногда получаемые с её помощью результаты оказываются формальными, и воспользоваться ими для вычисления, например, средних или плотности вероятности не представляется возможным. Мы будем обсуждать стохастическое интегрирование в пятой главе.

$\textstyle \triangleright$ Скалярные случайные величины широко используются в этой книге. Стохастичность функции $\textstyle x(t)$ можно придать при помощи обычной случайной величины $\textstyle \varepsilon$, не являющейся процессом, и гладкой функции времени. Величина $\textstyle \varepsilon$ имеет определённое распределение. Чаще всего оно гауссово, однако в общем случае это не обязательно. Дальше мы увидим, что простую форму решению для некоторых процессов можно придать, только используя две или более случайные величины, имеющие совместную плотность вероятности. Запись решения в виде $\textstyle x=f(x_{0},\,t_{0},\;t,\,\varepsilon )$ позволяет легко находить различные средние. Кроме этого, функция $\textstyle f$ эквивалентна заданию в неявной форме марковской плотности вероятности $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$. Действительно, при помощи среднего от произвольной функции $\textstyle F(x)$ можно сделать преобразование, например, от гауссовой переменной $\textstyle \varepsilon$ к $\textstyle x$ (значения начальных условий $\textstyle x_{0}$, $\textstyle t_{0}$ опущены):

$\left\langle F(x)\right\rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(x)\,P(x,t)\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }F{\bigl (}f(\varepsilon ,t){\bigr )}\,P(\varepsilon )\,d\varepsilon ,$

где $\textstyle P(\varepsilon )$ — распределение Гаусса. Проводя во втором интеграле обратную замену $\textstyle x=f(t,\varepsilon )$, мы переходим к первому интегралу, и, следовательно, плотность вероятности случайного процесса в момент времени $\textstyle t$ равна:

$P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {\partial g(x,t)}{\partial x}}\,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\,g^{2}(x,t)\right\},$

(2.36)

где $\textstyle g(x,t)$ — обратная к $\textstyle x=f(t,\varepsilon )$ функция, т.е. $\textstyle \varepsilon =g(x,t)$.

В заключение выскажем очевидную истину. Использование того или иного языка должно диктоваться в первую очередь соображением простоты. В зависимости от того, какие задачи решаются, более адекватным может оказаться любой из перечисленных выше подходов.

---

Простые стохастические модели <<	Оглавление	>> Автокорреляция и спектр

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения