Точные решения уравнения Ито

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Лемма Ито << Оглавление >> Простые стохастические модели

Несмотря на простой вид, стохастические уравнения (2.4) аналитически интегрировать не так и просто из-за винеровского члена . Это явно видно в случае конечной численной реализации (2.5). Каждое последовательное в итерационной процедуре нелинейным образом зависит от всех предыдущих случайных чисел ( C). Тем не менее, рассмотрим ситуации, в которых можно получить точные решения.

Пусть в процессе Ито функции сноса и волатильности зависят только от времени. Обозначим их через и :

(2.17)

Это уравнение легко интегрируется при помощи "дискретной" интерпретации стохастического члена . Рассмотрим итерации, выполняемые по разностной схеме (2.5):

где и . После итераций итоговое значение будет равно:

Скобки в последнем слагаемом содержат сумму независимых гауссовых чисел, каждое из которых имеет волатильность . В результате получается гауссово число с волатильностью . Поэтому, переходя к непрерывному пределу, получаем ( H):

(2.18)

Решение (2.18) уравнения (2.17) говорит нам, что является нормально распределённым случайным числом со средним и дисперсией, зависящими от времени. Если — не константа, то будущая неопределённость в значении может увеличиваться уже не как , а по другому закону.

Соотношение (2.18) позволяет легко вычислить статистические свойства процесса, в частности, его среднее и волатильность .

Одномерное уравнение Ито для процесса, имеющего произвольный снос и волатильность

(2.19)

заменой иногда можно свести к частному случаю (2.17), для которого решение уже известно. Воспользуемся леммой Ито:

(2.20)

Подберем таким образом, чтобы множители при и в (2.20) оказались функциями и , зависящими только от времени:

(2.21)

где вместо в множитель при подставлено первое уравнение (2.21) и его производная по ( H). Возьмём частные производные первого уравнения (2.21) по и второго по . Вычитая их, мы придём к условию совместности:

(2.22)

Если при данных и можно подобрать такую функцию , при которой уравнение (2.22) обратится в тождество, то мы получим решение стохастического уравнения (2.19) в следующей неявной форме:

(2.23)

где функция определяется вторым соотношением (2.21), а находится из первого уравнения (2.21) ( C).

Решение (2.23) — это нестационарный гауссовый процесс для деформации при помощи нелинейной функции . Естественно, что разрешимость (2.22) позволяет интегрировать уравнение Ито только в ряде частных случаев. Однако, как мы увидим ниже, эти случаи охватывают достаточно широкий класс важных для практических приложений процессов.



Лемма Ито << Оглавление >> Простые стохастические модели

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения