Площадь под траекторией Винера

Уравнение для x <<	Оглавление	>> Интегралы Ито

---

$\textstyle \bullet$ Для данной реализации $\textstyle n$ независимых случайных величин $\textstyle \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n}$, имеющих нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией: $\textstyle \varepsilon _{i}\sim N(0,1)$, мы получаем конкретную выборочную траекторию винеровского процесса со значениями, заданными по оси времени с шагом $\textstyle \Delta t=t/n$ :

$W_{n}=W(t_{n})=(\varepsilon _{1}+...+\varepsilon _{n})\,{\sqrt {\Delta t}}=\varepsilon \,{\sqrt {n\Delta t}}=\varepsilon \,{\sqrt {t}}.$

(5.1)

Предел $\textstyle n\to \infty$ соответствует непрерывному стохастическому процессу.

Если использовать $\textstyle \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n}$ при итерационном решении некоторого стохастического уравнения:

$x_{k+1}=a(x_{k},t_{k})\Delta t+b(x_{k},t_{k})\,\varepsilon _{k}\,{\sqrt {\Delta t}},$

получится выборочный процесс, однозначно связанный с траекторией $\textstyle W_{t}$. В этом смысле выборочные решения всех уравнений с общим шумом $\textstyle \delta W=\varepsilon {\sqrt {dt}}$ являются деформацией единственной траектории $\textstyle W_{t}$.

$\textstyle \bullet$ Несмотря на изломанный вид функции $\textstyle W_{t}=W(t)$, можно вычислить площадь под ней, проинтегрировав от нуля до $\textstyle t$:

Интеграл, как и в обычном анализе, определим при помощи интегральной суммы:

$S_{t}=\sum _{k=1}^{n}W_{k-1}\Delta t=\left[\varepsilon _{1}+(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2})+...+(\varepsilon _{1}+...+\varepsilon _{n-1})\right](\Delta t)^{3/2},$

(5.3)

где интервал $\textstyle [0..t]$ разбит на $\textstyle n$ отрезков длительностью $\textstyle \Delta t$. Значение процесса Винера в конце $\textstyle k$ - того отрезка равно накопленной сумме $\textstyle k$ случайных независимых гауссовых изменений на каждом отрезке.

Для других реализаций $\textstyle \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n}$ мы получим другое значение, поэтому $\textstyle S_{t}$ и аналогичные интегралы являются случайными процессами.

Процесс $\textstyle S_{t}$ в момент времени $\textstyle t$ не может быть выражен через $\textstyle W_{t}$, так как зависит не только от значения $\textstyle W_{t}=W(t)$, но и от формы траектории во все моменты времени. Тем не менее, для $\textstyle S_{t}$ можно получить простое представление через скалярные случайные величины.

$\textstyle \bullet$ Перегруппируем интегральную сумму (5.3) следующим образом:

${\bigl [}(n-1)\cdot \varepsilon _{1}+...+1\cdot \varepsilon _{n-1}{\bigr ]}\,(\Delta t)^{3/2}=\eta _{1}{\sqrt {1^{2}+2^{2}+...+(n-1)^{2}}}\,(\Delta t)^{3/2}.$

Сумма гауссовых чисел статистически эквивалентна одному, которое мы обозначили через $\textstyle \eta _{1}\sim N(0,1)$. В результате появляется соответствующий множитель. Сумма ряда $\textstyle 1^{2}+...+(n-1)^{2}$ равна $\textstyle (n-1)n(2n-1)/6$. Устремляя $\textstyle n\to \infty$, $\textstyle \Delta t\to 0$, так что $\textstyle n\Delta t=t$, получаем:

$S_{t}=\int \limits _{0}^{t}W_{\tau }\,d\tau =\eta _{1}\,{\frac {t^{3/2}}{\sqrt {3}}}.$

Таким образом, $\textstyle S_{t}$ — это гауссовый случайный процесс с волатильностью, увеличивающейся со временем как $\textstyle t^{3/2}$, т.е. $\textstyle S_{t}\sim N(0,t^{3}/3)$. Однако это ещё не всё. Величина $\textstyle \eta _{1}$ не является независимой от винеровского блуждания $\textstyle W_{t}$. Действительно, $\textstyle W_{t}$ равен сумме гауссовых чисел $\textstyle \varepsilon _{k}$, которые мы использовали для вычисления интеграла $\textstyle S_{t}$:

${\begin{array}{ll}\displaystyle W_{t}\;=\;{\bigl [}\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+...+\varepsilon _{n-1}+\varepsilon _{n}{\bigr ]}\,(\Delta t)^{1/2}&=\;\eta _{2}\,{\sqrt {t}}\\\displaystyle S_{t}\;\;=\;{\bigl [}(n-1)\,\varepsilon _{1}+(n-2)\,\varepsilon _{2}+...+1\,\varepsilon _{n-1}{\bigr ]}\,(\Delta t)^{3/2}&=\;\displaystyle \eta _{1}\,{\frac {t^{3/2}}{\sqrt {3}}}.\end{array}}$

Первая строка — это запись винеровского процесса в момент времени $\textstyle t$ через накопленную сумму изменений $\textstyle \eta _{2}$ на каждом интервале. Вторая — это интегральная сумма, полученная выше. В обоих случаях $\textstyle \eta _{1}$ и $\textstyle \eta _{2}$ — это гауссовы числа $\textstyle N(0,1)$. Однако, они скоррелированы друг с другом:

$\left\langle W_{t}\,S_{t}\right\rangle =\left\langle \eta _{1}\eta _{2}\right\rangle \,{\frac {t^{2}}{\sqrt {3}}}=(1+2+...+n-1)(\Delta t)^{2}={\frac {(n-1)n}{2}}\,(\Delta t)^{2}\to {\frac {t^{2}}{2}}.$

Две скоррелированные гауссовы переменные $\textstyle \left\langle \eta _{1}\eta _{2}\right\rangle ={\sqrt {3}}/2$ можно представить в виде линейной комбинации (см. стр. \pageref{n_dim_gauss_n2}) независимых гауссовых чисел $\textstyle \varepsilon$, $\textstyle \eta$:

$\eta _{1}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\varepsilon +{\frac {1}{2}}\,\eta ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\eta _{2}=\varepsilon .$

Поэтому окончательно получаем:

$W_{t}=\varepsilon \,{\sqrt {t}},\;\;\;\;\;\;\;\;S_{t}=({\sqrt {3}}\,\varepsilon +\eta )\,{\frac {t^{3/2}}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {W_{t}}{2}}\,t+\eta \,{\frac {t^{3/2}}{2{\sqrt {3}}}}.$

(5.4)

Подобное представление позволяет легко вычислять различные средние, относящиеся к одному моменту времени, например $\textstyle \left\langle W_{t}^{2}\,S_{t}^{2}\right\rangle =5\,t^{4}/6$.

$\textstyle \bullet$ Полученное соотношение для $\textstyle S_{t}$ имеет простую геометрическую интерпретацию. Пусть площадь вычисляется от $\textstyle t_{0}$ до $\textstyle t$, и в этих точках $\textstyle W_{0}=W(t_{0})$ и $\textstyle W_{t}=W(t)$. Тогда в формуле (5.4) необходимо заменить $\textstyle W_{t}$ на $\textstyle W_{t}-W_{0}$ и добавить нижний прямоугольник площадью $\textstyle W_{0}\cdot (t-t_{0})$:

Площадь трапеции между $\textstyle W_{0}$ и $\textstyle W_{t}$ равна $\textstyle (W_{0}+W_{t})(t-t_{0})/2$. Второе слагаемое, пропорциональное гауссовой величине $\textstyle \eta$, представляет собой площадь отклонения истинной траектории от прямой, проходящей через $\textstyle W_{0}$ и $\textstyle W_{t}$.

Эту же формулу можно интерпретировать, как линейную модель предсказания площади по значению начальной и конечной точки траектории $\textstyle S=f(W_{0},W_{t})$. Ошибка подобной модели пропорциональна $\textstyle \eta$, и её дисперсия увеличивается со временем как $\textstyle (t-t_{0})^{3}$.

$\textstyle \bullet$ Если известно $\textstyle n+1$ значений процесса $\textstyle W_{0},W_{1},...,W_{n}$, идущих с шагом $\textstyle \Delta t$ на интервале $\textstyle t-t_{0}=n\cdot \Delta t$, то сумма площадей $\textstyle n$ трапеций и отклонений от них даст суммарную площадь:

$S_{n}=\left({\frac {W_{0}}{2}}+W_{1}+...+W_{n-1}+{\frac {W_{n}}{2}}\right)\,\Delta t+\eta {\sqrt {t-t_{0}}}\,{\frac {\Delta t}{2{\sqrt {3}}}},$

где учтено, что $\textstyle (\eta _{1}+...+\eta _{n}){\sqrt {\Delta t}}=\eta {\sqrt {n\Delta t}}=\eta {\sqrt {t-t_{0}}}$. При $\textstyle \Delta t\to 0$ дисперсия поправки стремится к нулю.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь два отрезка времени $\textstyle [0...t]$ и $\textstyle [t...t+\tau ]$. Площадь в момент времени $\textstyle t+\tau$ равна площади в момент $\textstyle t$ плюс площадь на участке длительностью $\textstyle \tau$:

$S_{t+\tau }=S_{t}+{\frac {W_{t}+W_{t+\tau }}{2}}\,\tau +\eta \,{\frac {\tau ^{3/2}}{2{\sqrt {3}}}}.$

Винеровский процесс в момент времени $\textstyle t+\tau$ можно разбить на сумму двух независимых процессов $\textstyle W_{t+\tau }=W_{t}+{\tilde {W}}_{\tau }=\varepsilon {\sqrt {t}}+{\tilde {\varepsilon }}{\sqrt {\tau }}$, где $\textstyle \varepsilon$ и $\textstyle {\tilde {\varepsilon }}$ пропорциональны независимым накопленным изменениям на каждом отрезке времени (см. стр. \pageref{sect_autocor_fun}). Поэтому:

$S_{t+\tau }=S_{t}+W_{t}\cdot \tau +{\tilde {S}}_{\tau },$

(5.5)

где площадь $\textstyle {\tilde {S}}_{\tau }$ вычисляется под независимым от $\textstyle W_{t}$ процессом $\textstyle {\tilde {W}}_{\tau }$ от нуля до $\textstyle \tau$ и имеет нулевую корреляцию с $\textstyle S_{t}$. В качестве упражнения ($\textstyle \lessdot$ H) стоит вывести это же соотношение непосредственно из (5.3).

$\textstyle \bullet$ Площадь под винеровской траекторией является интегральной величиной, поэтому можно ожидать, что $\textstyle S_{t}$ — более гладкий процесс, чем $\textstyle W_{t}$. Проверим это, вычислив автокорреляцию. Процессы $\textstyle W_{t}$ и $\textstyle S_{t}$ имеют нулевое среднее, поэтому их дисперсии равны средним квадратов:

$\left\langle W_{t}^{2}\right\rangle =\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle \,t=t,\;\;\;\;\;\;\;\left\langle S_{t}^{2}\right\rangle =\left\langle \eta ^{2}\right\rangle \,{\frac {t^{3}}{3}}={\frac {t^{3}}{3}}.$

Воспользуемся записью (5.5) площади $\textstyle S_{t}$ в два различных момента времени $\textstyle t$ и $\textstyle t+\tau$. Так как $\textstyle {\tilde {S}}_{\tau }$ независима от $\textstyle S_{t}$ и $\textstyle W_{t}$, автоковариация легко вычисляется:

$\left\langle S_{t}\,S_{t+\tau }\right\rangle =\left\langle S_{t}^{2}\right\rangle +\left\langle S_{t}\,W_{t}\right\rangle \,\tau ={\frac {t^{3}}{3}}+{\frac {t^{2}}{2}}\,\tau ,$

где учтено, что $\textstyle \left\langle W_{t}\,S_{t}\right\rangle =t^{2}/2$. Разделив ковариацию на волатильности $\textstyle S_{t}$ и $\textstyle S_{t+\tau }$, получим автокорреляционный коэффициент для $\textstyle S$:

$\rho (S_{t},S_{t+\tau })={\frac {\left\langle S_{t}\,S_{t+\tau }\right\rangle }{\sqrt {\left\langle S_{t}^{2}\right\rangle \left\langle S_{t+\tau }^{2}\right\rangle }}}={\frac {1+3T/2}{(1+T)^{3/2}}}\approx 1-{\frac {3}{8}}\,T^{2}+...,$

где $\textstyle T=\tau /t$. Аналогично проводятся вычисления для $\textstyle W$:

$\rho (W_{t},W_{t+\tau })={\frac {\left\langle W_{t}\,W_{t+\tau }\right\rangle }{\sqrt {\left\langle W_{t}^{2}\right\rangle \left\langle W_{t+\tau }^{2}\right\rangle }}}={\frac {1}{\sqrt {1+T}}}\approx 1-T+...$

Корреляция для $\textstyle W_{t}$ быстрее уменьшается с ростом $\textstyle T$ по сравнению с корреляцией для $\textstyle S_{t}$. Графически это представлено ниже на левом графике:

Справа приведены выборочные траектории для $\textstyle W_{t}$ и $\textstyle S_{t}$. Видно, что $\textstyle S_{t}$ — существенно более гладкий процесс.

В первой главе мы уже обсуждали, что свойства процесса в данный момент времени характеризуют его не полностью. В частности, степень изломанности или гладкости определяется автокорреляционной функцией. Чем быстрее процесс забывает свою историю, тем сильнее он изломан и тем быстрее убывает автокорреляция.

$\textstyle \bullet$ В качестве упражнения предлагается проверить справедливость для произвольной детерминированной функции $\textstyle f(t)$ и гауссового числа $\textstyle \eta \sim N(0,1)$ следующих соотношений:

$\int \limits _{0}^{t}f(s)W_{s}\,ds=\sigma (t)\,\eta ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma ^{2}(t)=\int \limits _{0}^{t}{\Bigl [}\int \limits _{s}^{t}f(\tau )\,d\tau {\Bigr ]}^{2}\,ds.$

(5.6)

Если процесс Винера $\textstyle W_{t}=\varepsilon {\sqrt {t}}$, то коэффициент корреляции равен:

$\rho \;=\;\left\langle \varepsilon \,\eta \right\rangle \;=\;{\frac {1}{\sigma (t)\,{\sqrt {t}}}}\cdot \int \limits _{0}^{t}{\Bigl [}\int \limits _{s}^{t}f(\tau )\,d\tau {\Bigr ]}\,ds.$

Например, для степенной функции $\textstyle f(t)=t^{n}$:

$\int \limits _{0}^{t}s^{n}\,W_{s}\,ds={\frac {{\sqrt {2}}\,t^{n+3/2}}{\sqrt {6+7n+2n^{2}}}}\cdot \eta ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\rho ={\frac {\sqrt {6+7n+2n^{2}}}{{\sqrt {2}}(2+n)}}.$

В общем случае корреляционные коэффициенты зависят от времени $\textstyle t$. При вычислении средних от произведения произвольных моментов удобнее выразить $\textstyle \eta$ через $\textstyle \varepsilon$ и независимую от неё случайную величину $\textstyle \varepsilon _{1}$:

$\eta =\rho \,\varepsilon +{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\,\varepsilon _{1}.$

Теперь вычисление средних типа $\textstyle \left\langle \varepsilon ^{2}\eta ^{2}\right\rangle$ не составит труда.

$\textstyle \bullet$ Естественно, интеграл по времени можно вычислять не только от винеровского процесса, но и от любой случайной функции:

$I_{t}=\int \limits _{t_{0}}^{t}f_{\tau }(W_{\tau })\,d\tau$

Индекс у функции означает, что возможна не только зависимость от винеровского процесса $\textstyle W$, но и явная зависимость от времени: $\textstyle f_{t}(W_{t})=f(t,\,W_{t})$, как, например, в (5.6). Функция $\textstyle f$ в общем случае может быть произвольным случайным процессом.

Подобные интегралы являются случайными процессами, так как подынтегральная функция случайна, а верхний предел интеграла переменный. Обычно такие интегралы не выражаются явным образом через процесс Винера. Более того, только в линейном по $\textstyle W_{t}$ случае интеграл оказывается нормально распределённым. В более общем случае это не так.

$\textstyle \bullet$ Использование скалярных случайных чисел позволяет записывать достаточно общие формулы для средних значений стохастических интегралов. Рассмотрим, например, усреднение произведения функции $\textstyle g_{t}(W_{t})$ и интеграла по времени от $\textstyle f_{t}(W_{t})$. Запишем в символическом виде интегральную сумму:

где мы для краткости опустили $\textstyle {\sqrt {\Delta t}}$ внутри функций. Возьмём $\textstyle k$-тое слагаемое в квадратных скобках. Чтобы усреднить его с функцией $\textstyle g$, необходимо сгруппировать в ней $\textstyle k$ первых гауссовых чисел в одно, а оставшиеся $\textstyle n-k$ — во второе:

$g_{t}(\varepsilon _{1}+...+\varepsilon _{k}+\varepsilon _{k+1}+...+\varepsilon _{n})f_{k}(\varepsilon _{1}+...+\varepsilon _{k})=g_{t}(\varepsilon _{a}{\sqrt {k}}+\varepsilon _{a}{\sqrt {n-k}})f_{k}(\varepsilon _{a}{\sqrt {k}}).$

Так так $\textstyle \varepsilon _{a}$ и $\textstyle \varepsilon _{b}$ — два независимых гауссовых числа, то среднее вычислить не представляет труда. Переходя к непрерывному пределу, получаем:

Например:

Аналогично выводится среднее для квадрата интеграла:

и его обобщение для момента $\textstyle k-$того порядка ($\textstyle t_{k+1}=t$):

Другие полезные соотношения можно найти в приложении "Стохастический справочник". Их имеет смысл доказать в качестве упражнения.

---

Уравнение для x <<	Оглавление	>> Интегралы Ито

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения