Рассмотрим теперь ещё одну возможность введения случайных интегральных величин. В обычном анализе мы говорим об интеграле Римана-Стилтьеса, когда "под дифференциалом" стоит функция, а не обычная переменная интегрирования:
Подобным образом можно определить и стохастический интеграл по изменению функции винеровского процесса . Для этого рассмотрим бесконечно малых отрезков (для простоты одинаковой длительности ), содержащихся в конечном интервале . Предполагается, что при и :
Значения винеровского процесса на границах отрезков заданы суммой (5.1). Интеграл по изменению случайного винеровского процесса определим следующим образом:
|
(5.8)
|
В подынтегральной функции может находиться любой стохастический процесс, эволюция которого определяется винеровской траекторией . Например, процессы Орнштейна-Уленбека или Феллера не выражаются в явной функциональной форме через , но полностью ею определяются.
Стоит обратить внимание на тот факт, что значения функции "под дифференциалом" вычисляются на краях отрезков: , а подынтегральная функция — в его первой точке . Другими словами, в духе итерационного решения стохастического уравнения мы считаем, что сначала реализуется случайное число , а затем оно изменяется на величину . Вообще говоря, возможны и другие определения стохастического интеграла.
Винеровский процесс имеет нулевой снос и единичную волатильность . Поэтому в силу леммы Ито (2.15), для его квадрата имеем следующее уравнение:
|
(5.9)
|
Чтобы его формально проинтегрировать, мы должны определить:
|
(5.10)
|
Первое слагаемое в правой части выглядит естественным для обычных правил интегрирования, чего нельзя сказать о втором. Попробуем с ним разобраться. Для этого запишем представление интеграла в виде суммы:
где выполнено элементарное алгебраическое преобразование, которое проще проверить в обратном направлении. При суммировании взаимно сокращаются, за исключением границ интегрирования. Так как на нижней границе , мы получаем . Для третьего члена:
Вообще говоря, этот интеграл отличается от формулы (5.8), так как "бесконечно малое изменение" стоит в квадрате. Для обычных детерминированных функций подобная сумма оказалась бы равной нулю. Однако благодаря фактору этот стохастический интеграл имеет конечное значение. В разделе , стр. \pageref{safe_stop}, мы видели, что величина при имеет нулевую волатильность и, следовательно, является детерминированным числом со значением, равным . Фактически плотность вероятности при больших — это - распределение ( C) с очень узким и высоким максимумом в окрестности единицы. Таким образом, стохастический интеграл:
|
(5.11)
|
равен детерминированной величине , и мы приходим к (5.10). Часто (5.11) записывают в символическом виде , что, вообще говоря, неверно. Например, интеграл от не равен интегралу .
Представим при помощи стохастического интеграла решение нестационарного уравнения Ито с нулевым сносом:
Мы видели ( (2.18) см.Точные решения уравнения Ито, что оно выражается через гауссову переменную , поэтому:
|
(5.12)
|
Если подынтегральная функция зависит не только от времени, но и от винеровской переменной , интеграл уже не будет иметь нормальное распределение. Однако, используя рассуждения на стр. \pageref{conect_eq_aver_square}, несложно убедиться, что для стохастического интеграла
среднее равно нулю , а для среднего квадрата справедливо следующее простое соотношение:
|
(5.13)
|
То есть, чтобы вычислить , необходимо возвести подынтегральную функцию в квадрат, усреднить, а затем проинтегрировать по . При усреднении мы используем обычную случайную гауссову величину , представляя .
Повторив рассуждения на стр. \pageref{conect_eq_aver_square}, несложно записать среднее для произведения двух процессов и с различными подынтегральными функциями и в различные моменты времени:
|
(5.14)
|
Соотношения (5.12)-(5.14) позволяют вычислять среднее и волатильность случайного процесса, если его решение выражено через стохастический интеграл. Ряд других полезных формул можно найти в приложении "Справочник", стр. \pageref{ref_stoch_int_Ito}.
Используя определение стохастического интеграла в виде суммы (5.8), аналогично обычному анализу можно доказать свойство линейности:
где и — некоторые константы. Кроме этого, пределы интегрирования можно разбивать на несколько частей:
Естественно, предполагается, что времена упорядочены .
Воспользуемся теперь леммой Ито для , считая, что — винеровский процесс с нулевым сносом и единичной дисперсией.
Интегрируя левую и правую часть, можно записать интегральную версию леммы Ито ():
Понятно, что в этом соотношении, как и во всех выше, нижний предел в интеграле может быть произвольным моментом времени . Если функция не зависит от времени:
|
(5.15)
|
где штрихи — это производные по . Это соотношение можно использовать для интегрирования "по частям". Например, если , имеем:
Подобное сведение интеграла по к интегралу по времени в ряде случаев бывает удобным. Однако, если подынтегральная функция при этом зависит от , взять такой интеграл не проще, чем по .
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения