Интегралы Ито

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Площадь под траекторией Винера << Оглавление >> Квадратичный функционал

Рассмотрим теперь ещё одну возможность введения случайных интегральных величин. В обычном анализе мы говорим об интеграле Римана-Стилтьеса, когда "под дифференциалом" стоит функция, а не обычная переменная интегрирования:

Подобным образом можно определить и стохастический интеграл по изменению функции винеровского процесса . Для этого рассмотрим бесконечно малых отрезков (для простоты одинаковой длительности ), содержащихся в конечном интервале . Предполагается, что при и :

Ito int.png

Значения винеровского процесса на границах отрезков заданы суммой (5.1). Интеграл по изменению случайного винеровского процесса определим следующим образом:

(5.8)

В подынтегральной функции может находиться любой стохастический процесс, эволюция которого определяется винеровской траекторией . Например, процессы Орнштейна-Уленбека или Феллера не выражаются в явной функциональной форме через , но полностью ею определяются.

Стоит обратить внимание на тот факт, что значения функции "под дифференциалом" вычисляются на краях отрезков: , а подынтегральная функция — в его первой точке . Другими словами, в духе итерационного решения стохастического уравнения мы считаем, что сначала реализуется случайное число , а затем оно изменяется на величину . Вообще говоря, возможны и другие определения стохастического интеграла.

Винеровский процесс имеет нулевой снос и единичную волатильность . Поэтому в силу леммы Ито (2.15), для его квадрата имеем следующее уравнение:

(5.9)

Чтобы его формально проинтегрировать, мы должны определить:

(5.10)

Первое слагаемое в правой части выглядит естественным для обычных правил интегрирования, чего нельзя сказать о втором. Попробуем с ним разобраться. Для этого запишем представление интеграла в виде суммы:

где выполнено элементарное алгебраическое преобразование, которое проще проверить в обратном направлении. При суммировании взаимно сокращаются, за исключением границ интегрирования. Так как на нижней границе , мы получаем . Для третьего члена:

Вообще говоря, этот интеграл отличается от формулы (5.8), так как "бесконечно малое изменение" стоит в квадрате. Для обычных детерминированных функций подобная сумма оказалась бы равной нулю. Однако благодаря фактору этот стохастический интеграл имеет конечное значение. В разделе , стр. \pageref{safe_stop}, мы видели, что величина при имеет нулевую волатильность и, следовательно, является детерминированным числом со значением, равным . Фактически плотность вероятности при больших — это - распределение ( C) с очень узким и высоким максимумом в окрестности единицы. Таким образом, стохастический интеграл:

(5.11)

равен детерминированной величине , и мы приходим к (5.10). Часто (5.11) записывают в символическом виде , что, вообще говоря, неверно. Например, интеграл от не равен интегралу .

Представим при помощи стохастического интеграла решение нестационарного уравнения Ито с нулевым сносом:

Мы видели ( (2.18) см.Точные решения уравнения Ито, что оно выражается через гауссову переменную , поэтому:

(5.12)

Если подынтегральная функция зависит не только от времени, но и от винеровской переменной , интеграл уже не будет иметь нормальное распределение. Однако, используя рассуждения на стр. \pageref{conect_eq_aver_square}, несложно убедиться, что для стохастического интеграла

среднее равно нулю , а для среднего квадрата справедливо следующее простое соотношение:

(5.13)

То есть, чтобы вычислить , необходимо возвести подынтегральную функцию в квадрат, усреднить, а затем проинтегрировать по . При усреднении мы используем обычную случайную гауссову величину , представляя .

Повторив рассуждения на стр. \pageref{conect_eq_aver_square}, несложно записать среднее для произведения двух процессов и с различными подынтегральными функциями и в различные моменты времени:

Ito int eq.png
(5.14)

Соотношения (5.12)-(5.14) позволяют вычислять среднее и волатильность случайного процесса, если его решение выражено через стохастический интеграл. Ряд других полезных формул можно найти в приложении "Справочник", стр. \pageref{ref_stoch_int_Ito}.

Используя определение стохастического интеграла в виде суммы (5.8), аналогично обычному анализу можно доказать свойство линейности:

где и — некоторые константы. Кроме этого, пределы интегрирования можно разбивать на несколько частей:

Естественно, предполагается, что времена упорядочены .

Воспользуемся теперь леммой Ито для , считая, что — винеровский процесс с нулевым сносом и единичной дисперсией.

Интегрируя левую и правую часть, можно записать интегральную версию леммы Ито ():

Понятно, что в этом соотношении, как и во всех выше, нижний предел в интеграле может быть произвольным моментом времени . Если функция не зависит от времени:

(5.15)

где штрихи — это производные по . Это соотношение можно использовать для интегрирования "по частям". Например, если , имеем:

Подобное сведение интеграла по к интегралу по времени в ряде случаев бывает удобным. Однако, если подынтегральная функция при этом зависит от , взять такой интеграл не проще, чем по .



Площадь под траекторией Винера << Оглавление >> Квадратичный функционал

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения