Интегралы Ито

Площадь под траекторией Винера <<	Оглавление	>> Квадратичный функционал

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь ещё одну возможность введения случайных интегральных величин. В обычном анализе мы говорим об интеграле Римана-Стилтьеса, когда "под дифференциалом" стоит функция, а не обычная переменная интегрирования:

$\int \limits _{t_{0}}^{t}f(t)\,dg(t)=\sum _{k=1}^{n}f_{k-1}\cdot (g_{k}-g_{k-1}).$

Подобным образом можно определить и стохастический интеграл по изменению функции винеровского процесса $\textstyle \delta W$. Для этого рассмотрим $\textstyle n$ бесконечно малых отрезков $\textstyle \Delta t$ (для простоты одинаковой длительности $\textstyle \Delta t=t_{k}-t_{k-1}$), содержащихся в конечном интервале $\textstyle t$. Предполагается, что $\textstyle n\cdot \Delta t=t$ при $\textstyle n\to \infty$ и $\textstyle \Delta t\to 0$:

Значения винеровского процесса $\textstyle W_{k}=W(t_{k})$ на границах отрезков заданы суммой (5.1). Интеграл по изменению случайного винеровского процесса определим следующим образом:

$\int \limits _{0}^{t}f(\tau ,W(\tau ))\;\delta W_{\tau }=\sum _{k=1}^{n}f{\bigl (}t_{k-1},W_{k-1}{\bigr )}\cdot {\bigl [}W_{k}-W_{k-1}{\bigr ]}.$

(5.8)

В подынтегральной функции может находиться любой стохастический процесс, эволюция которого определяется винеровской траекторией $\textstyle W_{t}$. Например, процессы Орнштейна-Уленбека или Феллера не выражаются в явной функциональной форме через $\textstyle W_{t}$, но полностью ею определяются.

Стоит обратить внимание на тот факт, что значения функции "под дифференциалом" вычисляются на краях отрезков: $\textstyle t_{k}=k\cdot \Delta t$, а подынтегральная функция — в его первой точке $\textstyle t_{k-1}$. Другими словами, в духе итерационного решения стохастического уравнения мы считаем, что сначала реализуется случайное число $\textstyle W_{k-1}$, а затем оно изменяется на величину $\textstyle \delta W_{k}=W_{k}-W_{k-1}=\varepsilon _{k}{\sqrt {\Delta t}}$. Вообще говоря, возможны и другие определения стохастического интеграла.

$\textstyle \bullet$ Винеровский процесс имеет нулевой снос $\textstyle a=0$ и единичную волатильность $\textstyle b=1$. Поэтому в силу леммы Ито (2.15), для его квадрата имеем следующее уравнение:

$d(W_{t}^{2})=dt+2W_{t}\delta W_{t}.$

(5.9)

Чтобы его формально проинтегрировать, мы должны определить:

$2\int \limits _{0}^{t}W_{\tau }\delta W_{\tau }\;=\;W_{t}^{2}\;-\;t.$

(5.10)

Первое слагаемое в правой части выглядит естественным для обычных правил интегрирования, чего нельзя сказать о втором. Попробуем с ним разобраться. Для этого запишем представление интеграла в виде суммы:

$2\sum _{k=1}^{n}W_{k-1}{\bigl [}W_{k}-W_{k-1}{\bigr ]}=\sum _{k=1}^{n}\left[W_{k}^{2}-W_{k-1}^{2}-{\bigl (}W_{k}-W_{k-1}{\bigr )}^{2}\right],$

где выполнено элементарное алгебраическое преобразование, которое проще проверить в обратном направлении. При суммировании $\textstyle W_{k}^{2}-W_{k-1}^{2}$ взаимно сокращаются, за исключением границ интегрирования. Так как на нижней границе $\textstyle W_{0}=0$, мы получаем $\textstyle W_{t}^{2}$. Для третьего члена:

$\int \limits _{0}^{t}(\delta W_{\tau })^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}W_{k}-W_{k-1}{\bigr )}^{2}=\sum _{k=1}^{n}\varepsilon _{k}^{2}\cdot \Delta t=u\cdot (n\Delta t)=u\cdot t.$

Вообще говоря, этот интеграл отличается от формулы (5.8), так как "бесконечно малое изменение" $\textstyle \delta W=\varepsilon {\sqrt {dt}}$ стоит в квадрате. Для обычных детерминированных функций подобная сумма оказалась бы равной нулю. Однако благодаря фактору $\textstyle {\sqrt {dt}}$ этот стохастический интеграл имеет конечное значение. В разделе $\textstyle \S$, стр. \pageref{safe_stop}, мы видели, что величина $\textstyle u=(\varepsilon _{1}^{2}+...+\varepsilon _{n}^{2})/n$ при $\textstyle n\to \infty$ имеет нулевую волатильность $\textstyle \sigma _{u}\to 0$ и, следовательно, является детерминированным числом со значением, равным $\textstyle {\overline {u}}=1$. Фактически плотность вероятности $\textstyle P(u)$ при больших $\textstyle n$ — это $\textstyle \chi ^{2}$ - распределение ($\textstyle \lessdot$ C) с очень узким и высоким максимумом в окрестности единицы. Таким образом, стохастический интеграл:

$\int \limits _{0}^{t}(\delta W_{\tau })^{2}=t,$

(5.11)

равен детерминированной величине $\textstyle t$, и мы приходим к (5.10). Часто (5.11) записывают в символическом виде $\textstyle (\delta W_{t})^{2}\sim dt$, что, вообще говоря, неверно. Например, интеграл от $\textstyle W_{\tau }(\delta W_{\tau })^{2}$ не равен интегралу $\textstyle W_{\tau }d\tau$.

$\textstyle \bullet$ Представим при помощи стохастического интеграла решение нестационарного уравнения Ито с нулевым сносом:

$dx=f(t)\,\delta W\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;x(t)=x(0)+\int \limits _{0}^{t}f(\tau )\,\delta W_{\tau }.$

Мы видели ( (2.18) см.Точные решения уравнения Ито, что оно выражается через гауссову переменную $\textstyle \varepsilon \sim N(0,1)$, поэтому:

$\int \limits _{0}^{t}f(\tau )\,\delta W_{\tau }=\left[\int \limits _{0}^{t}f^{2}(\tau )\,d\tau \right]^{1/2}\cdot \varepsilon .$

(5.12)

Если подынтегральная функция зависит не только от времени, но и от винеровской переменной $\textstyle W_{\tau }$, интеграл уже не будет иметь нормальное распределение. Однако, используя рассуждения на стр. \pageref{conect_eq_aver_square}, несложно убедиться, что для стохастического интеграла

$I_{t}=\int \limits _{0}^{t}f(\tau ,W_{\tau })\,\delta W_{\tau }$

среднее равно нулю $\textstyle \left\langle I_{t}\right\rangle =0$, а для среднего квадрата справедливо следующее простое соотношение:

$\left\langle I_{t}^{2}\right\rangle =\int \limits _{0}^{t}\left\langle f^{2}(\tau ,\varepsilon {\sqrt {\tau }})\right\rangle \,d\tau .$

(5.13)

То есть, чтобы вычислить $\textstyle \left\langle I_{t}^{2}\right\rangle$, необходимо возвести подынтегральную функцию в квадрат, усреднить, а затем проинтегрировать по $\textstyle \tau$. При усреднении мы используем обычную случайную гауссову величину $\textstyle \varepsilon$, представляя $\textstyle W_{\tau }=\varepsilon {\sqrt {\tau }}$.

Повторив рассуждения на стр. \pageref{conect_eq_aver_square}, несложно записать среднее для произведения двух процессов $\textstyle I_{1}(t_{1})$ и $\textstyle I_{2}(t_{2})$ с различными подынтегральными функциями $\textstyle f_{1}$ и $\textstyle f_{2}$ в различные моменты времени:

(5.14)

Соотношения (5.12)-(5.14) позволяют вычислять среднее и волатильность случайного процесса, если его решение выражено через стохастический интеграл. Ряд других полезных формул можно найти в приложении "Справочник", стр. \pageref{ref_stoch_int_Ito}.

$\textstyle \bullet$ Используя определение стохастического интеграла в виде суммы (5.8), аналогично обычному анализу можно доказать свойство линейности:

$\int \limits _{0}^{t}{\bigl [}\alpha f(\tau ,W_{\tau })+\beta g(\tau ,W_{\tau }){\bigr ]}\,\delta W_{\tau }=\alpha \int \limits _{0}^{t}f(\tau ,W_{\tau })\,\delta W_{\tau }+\beta \int \limits _{0}^{t}g(\tau ,W_{\tau })\,\delta W_{\tau },$

где $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$ — некоторые константы. Кроме этого, пределы интегрирования можно разбивать на несколько частей:

$\int \limits _{t_{1}}^{t_{3}}f(\tau ,W_{\tau })\,\delta W_{\tau }=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}f(\tau ,W_{\tau })\,\delta W_{\tau }+\int \limits _{t_{2}}^{t_{3}}f(\tau ,W_{\tau })\,\delta W_{\tau }.$

Естественно, предполагается, что времена упорядочены $\textstyle t_{1}<t_{2}<t_{3}$.

$\textstyle \bullet$ Воспользуемся теперь леммой Ито для $\textstyle F(t,W_{t})$, считая, что $\textstyle x(t)=W_{t}$ — винеровский процесс с нулевым сносом и единичной дисперсией.

$dF=\left({\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial ^{2}F}{\partial W^{2}}}\right)dt+{\frac {\partial F}{\partial W}}\;\delta W.$

Интегрируя левую и правую часть, можно записать интегральную версию леммы Ито ($\textstyle F_{0}=F(0,W(0))$):

$F(t,W_{t})-F_{0}=\int \limits _{0}^{t}\left[{\frac {\partial F(\tau ,W_{\tau })}{\partial \tau }}+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial ^{2}F(\tau ,W_{\tau })}{\partial W_{\tau }^{2}}}\right]d\tau +\int \limits _{0}^{t}{\frac {\partial F(\tau ,W_{\tau })}{\partial W_{\tau }}}\;\delta W_{\tau }.$

Понятно, что в этом соотношении, как и во всех выше, нижний предел в интеграле может быть произвольным моментом времени $\textstyle t_{0}$. Если функция $\textstyle F$ не зависит от времени:

$F(W_{t})-F(0)={\frac {1}{2}}\,\int \limits _{0}^{t}F''(W_{\tau })d\tau +\int \limits _{0}^{t}F'(W_{\tau })\,\delta W_{\tau },$

(5.15)

где штрихи — это производные по $\textstyle W$. Это соотношение можно использовать для интегрирования "по частям". Например, если $\textstyle F=W^{2}$, имеем:

$2\int \limits _{0}^{t}W_{\tau }\,\delta W_{\tau }=W_{t}^{2}-\int \limits _{0}^{t}d\tau =W_{t}^{2}-t.$

Подобное сведение интеграла по $\textstyle \delta W$ к интегралу по времени $\textstyle d\tau$ в ряде случаев бывает удобным. Однако, если подынтегральная функция при этом зависит от $\textstyle W$, взять такой интеграл не проще, чем по $\textstyle \delta W_{\tau }$.

---

Площадь под траекторией Винера <<	Оглавление	>> Квадратичный функционал

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения