Уравнение для x

Разложение вероятности по базису <<	Оглавление	>> Площадь под траекторией Винера

---

Пусть случайный процесс $\textstyle x=f(t,\varepsilon )$ в момент времени $\textstyle t$ выражен через гауссову переменную $\textstyle \varepsilon$. Несмотря на случайность величин, $\textstyle f(t,\varepsilon )$ представляет собой обычную функцию двух аргументов. Найдём уравнение, которому она удовлетворяет. При этом будем предполагать, что существует обратная к $\textstyle f$ функция $\textstyle \varepsilon =g(x,t)$. Нам потребуются переходы от частных производных $\textstyle f$ к $\textstyle g$. Для этого запишем дифференциалы:

$d\varepsilon =\partial _{x}g\,dx+\partial _{t}g\,dt,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;dx=\partial _{\varepsilon }f\,d\varepsilon +\partial _{t}f\,dt,$

где $\textstyle \partial _{x}g=\partial g/\partial x$, и т.д. Подставляя $\textstyle dx$ в первое уравнение, получаем:

$\partial _{\varepsilon }f\cdot \partial _{x}g=1,\;\;\;\partial _{t}g=-\partial _{x}g\cdot \partial _{t}f,\;\;\;\partial _{x}^{2}g=\partial _{x}\left({\frac {1}{\partial _{\varepsilon }f}}\right)=-{\frac {\partial _{\varepsilon }^{2}f\,\partial _{x}g}{(\partial _{\varepsilon }f)^{2}}}.$

(4.26)

Выведем сначала уравнение для обратной функции $\textstyle g(x,t)$. Пусть в момент времени $\textstyle t$ случайная величина, от которой зависит $\textstyle x$, равна $\textstyle \varepsilon _{1}$. Через бесконечно малый интервал времени в $\textstyle t+dt$ это уже другая гауссова переменная $\textstyle \varepsilon _{2}$:

$\varepsilon _{2}=g{\bigl (}x+dx,\;t+dt{\bigr )},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varepsilon _{1}=g(x,t).$

Возведём $\textstyle \varepsilon _{2}$ в $\textstyle k$-тую степень $\textstyle \varepsilon _{2}^{k}=g^{k}{\bigl (}x+dx,\;t+dt{\bigr )}$ и разложим в ряд до первого порядка малости по $\textstyle dt$, и до второго по $\textstyle dx$:

$\varepsilon _{2}^{k}=\varepsilon _{1}^{k}+kg^{k-1}\cdot (g'dx+{\dot {g}}dt)+{\bigl [}k(k-1)g^{k-2}g'^{2}+kg^{k-1}g''{\bigr ]}\,{\frac {(dx)^{2}}{2}}+..,$

где штрих обозначает частную производную по $\textstyle x$, а точка — по времени. В качестве $\textstyle dx$ подставим стохастическое уравнение $\textstyle dx=adt+b\varepsilon {\sqrt {dt}}$, где случайное число $\textstyle \varepsilon$ не зависит от $\textstyle \varepsilon _{1}$. Усредняя левую и правую части $\textstyle \left\langle \varepsilon _{2}^{k}\right\rangle =\left\langle \varepsilon _{1}^{k}\right\rangle$, $\textstyle \left\langle \varepsilon \right\rangle =0$, $\textstyle \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle =1$ и сдвигая $\textstyle k\to k+1$, получаем:

$\left\langle g^{k}\cdot \left(g'\,a+{\dot {g}}+{\frac {D}{2}}\,g''\right)+kg^{k-1}\,{\frac {D}{2}}\,g'^{2}\right\rangle =0,$

где $\textstyle D=b^{2}$ — диффузия процесса. Умножим это соотношение на произвольные коэффициенты $\textstyle F_{k}$ и просуммируем по $\textstyle k=0,1,...$:

$\left\langle F(g)\cdot \left(g'\,a+{\dot {g}}+{\frac {D}{2}}\,g''\right)+F'(g)\,g'^{2}\,{\frac {D}{2}}\right\rangle =0,$

где $\textstyle F(g)=F_{0}+F_{1}g+F_{2}g^{2}+..$ При усреднении производится интегрирование по $\textstyle \varepsilon _{1}=g$ с плотностью вероятности $\textstyle P(\varepsilon _{1})$. Для функций типа $\textstyle g'(x,t)$ предполагается, что после взятия производной необходимо выразить $\textstyle x=f(\varepsilon _{1},t)$ и подставить в $\textstyle g'(x,t)$.

Проинтегрируем по частям второе слагаемое в среднем:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }F'(\varepsilon _{1})g'^{2}\,{\frac {D}{2}}\,P(\varepsilon _{1})\,d\varepsilon _{1}=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(\varepsilon _{1}){\frac {\partial }{\partial \varepsilon _{1}}}\left[g'^{2}\,{\frac {D}{2}}\,P(\varepsilon _{1})\right]\,d\varepsilon _{1}.$

При вычислении производной можно воспользоваться неявным дифференцированием:

${\frac {\partial }{\partial \varepsilon _{1}}}\left[g'^{2}\,{\frac {D}{2}}\right]\;=\;{\frac {\partial }{\partial x}}\left[g'^{2}\,{\frac {D}{2}}\right]{\frac {\partial x}{\partial \varepsilon _{1}}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial x}}\left[g'^{2}\,{\frac {D}{2}}\right]{\frac {1}{g'}},$

где учтено, что $\textstyle \partial x/\partial \varepsilon _{1}=f'=1/g'$ (см. (4.26)).

Вводя функцию $\textstyle \psi (\varepsilon _{1})=-P'(\varepsilon _{1})/P(\varepsilon _{1})$, получаем:

$\left\langle F(g)\cdot \left(g'\,a+{\dot {g}}+{\frac {D}{2}}\,g''+g'^{2}\,{\frac {D}{2}}\,\psi (\varepsilon _{1})-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[g'^{2}\,{\frac {D}{2}}\right]{\frac {1}{g'}}\right)\right\rangle =0.$

В силу произвольности функции $\textstyle F$ множитель в круглых скобках должен быть равен нулю, поэтому для $\textstyle \varepsilon _{1}=g(x,t)$ имеем:

${\dot {g}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial D(x,t)}{\partial x}}g'-a(x,t)g'-{\frac {D(x,t)}{2}}\;{\bigl [}\psi (g)\,g'^{2}-g''{\bigr ]}.$

(4.27)

Воспользовавшись (4.26), после несложных вычислений получаем уравнение относительно $\textstyle f(t,\varepsilon )$:

${\dot {f}}\;=\;a(f,t)\;-\;{\frac {D'(f,t)}{2}}\;+\;{\frac {D(f,t)}{2}}\left[{\frac {\psi (\varepsilon )}{f'}}+{\frac {f''}{f'^{2}}}\right],$

(4.28)

где $\textstyle D'=\partial D/\partial f$ и опущен индекс у $\textstyle \varepsilon _{1}$.

В детерминированном случае ($\textstyle D=0$) получается, как и следовало ожидать, обыкновенное дифференциальное уравнение $\textstyle {\dot {f}}=a(f,t)$. Начальное условие для (4.28) имеет вид $\textstyle x(t_{0},\varepsilon )=x_{0}$.

Для гауссового распределения $\textstyle \psi (\varepsilon )=\varepsilon$. Однако в качестве случайного числа $\textstyle \varepsilon$ можно использовать величину с произвольным распределением. Так, для $\textstyle P(\varepsilon )\sim \varepsilon ^{\gamma -1}e^{-\lambda \varepsilon }$ функция $\textstyle \psi (\varepsilon )=\lambda -(\gamma -1)/\varepsilon$.

В качестве упражнения ($\textstyle \lessdot$ H) предлагается проверить, что уравнения (4.27) и (4.28) согласуются с уравнением Фоккера-Планка.

---

Разложение вероятности по базису <<	Оглавление	>> Площадь под траекторией Винера

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения